Logaritimo

Logaritmo podem simbolizar potência de outra forma. Como 10 = 100, então log 100 = 2.
Eles são mais curtos que as potências.
Imagine que as potências indiquem a altura de um foguete que, depois de lançado, atinge 10 m em 1 segundo, 100 m em 2 segundo, e assim sucessivamente. O tempo é sempre o logaritmo da altitude.
Se o foguete está a 10.000 m acima do solo, a sua altura é 4. Portanto, o logaritmo de 10.000 e 4.
O que é e onde utiliza-lo ?
A palavra logaritmo origino-se das palavra gregas Logos ( razão ) e arithmos ( números ).
No século XVII, havia dificuldades na elaboração de cálculos devido principalmente às operações de multiplicação, divisão e potenciação.
Burgi, em 1620, e John Napier, em 1614, publicaram as primeiras tabelas de logaritmos, cuja finalidade era a simplificação de cálculos numéricos complicados.
Embora as tabelas de logaritmos não seja tão usadas atualmente como instrumento de cálculo, os logaritmos são de grande importância em diversas áreas, por exemplo, na medição de terremotos.
Para compreendermos melhor o que é logaritmo, consideramos uma base positiva e diferente de 1.
4
Ex: 3 = 81

Ao expoente dessa potência damos o nome de logaritmo. Portanto, 4 é o logaritmo de 81 na base 3.
4
3 = 81 log 81 = 4
3
Dados dois números reais e positivos a e b, sendo 1, chama-se logritmo b na base a o expoente que deve colocar à base a .
Indicamos : log b = x  a = b.
a
Onde b é o logaritmando
A é a base
X é o logaritmo



Condição de existência

CE b>0
1  a > 0

SISTEMA DE LOGARITMO
Chama-se sistema de logaritmo de base a ( 1  a > 0 ), o conjuntos dos logaritmos de todos os números reais positivos na base a .
Dois sistemas de logaritmos destacam-se pelo seu importante papel no campo das Ciências, são eles: sistema de logaritmos decimais (ou sistema de logaritmo de Briggs ) e sistema de logaritmos neperianos (ou sistema de logaritmos naturais ).

LOGARITMOS DECIMAIS

São aqueles na base 10. Indicaremos por log b = x, sem necessidade de colocar a base 10.

SISTEMA NEPERIANO OU NATURAL

É o conjunto dos logaritmos na base e (e é um número irracional que recebe o nome de número de Euler, que vale 2,71828...). Indicaremos In b = x.

CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO

A partir da definição, temos:

a) log 1 = 0
a
O logaritmo de 1 é sempre 0, pois a° = 1.

b) log a = 1
a 1
Quanto a base é igual ao logaritmando, o logaritmo é sempre 1, pois a = a .
n
b) log a = n
a n n
O logaritmo de potência da base é sempre o expoente dessa base pois a = a .
Log a b
d) a = b

Um número a, elevado ao logaritmo de b na base a, é sempre igual a b.

e) log b = log c  b = c
a a
Dois valores são iguais, então, seus logaritmos, na mesma base, também são iguais.

DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Chamamos a condições de existência de um logaritmo de campo de existência ou domínio dos logaritmos.
Exemplo:

a) Determinar o campo de existência da função f (x) = log (x-3 ) indica-se condição de existência por CE. 2

EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS

Podemos classificar as equações em redutíveis, que são solucionadas por meio da definição de logaritmo.
Para resolvermos um equação, devemos obter:

• Condição de existência.
• Verificação com as soluções da equação nas condições de existência .

MUDANÇAS DE BASE

As vezes, em algumas situações, devemos transformar o logaritmo em outra base. Para mudarmos a base de um logaritmo, utilizamos a seguinte fórmula:

Log b em que c será a nova base
Log b = condições: b > 0
a Log a 0 < a  1
c

Conseqüência :

a) log b . log a = log b
a c c

b) log b = 1
a log a
b







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1ª) Aplicando as conseqüências da definição os logaritmos :

a) log 1 = 0
2

b) log 10 = 1
3
C) log 27 = log 3 = 3
3 3 5
2
log 2  32 = log 2  2 5 = log 2 2 = 5
2


log 5 125 log 5 5 3
d) 5 = 5 = 5 3 = 125

log 5 6 . log 3 5 log 3 5 . log 5 6 log 5 6
3 = 3 = 5 = 6

e) log b = log 4
3 3
b = 4

log 4x – 1 = log 2x + 3
2 2

4x – 1 = 2x + 3
4x – 2x = 4
2x = 2
x = 1

S = 1 






2ª) Resolva as condições de existência para o logaritmo :
solução :
a) CE x – 3 > 0 

X – 3 > 0
X > 3 D =  x  R/x > 3 

Solução :
b) x – 1 > 0 e x – 1  1
x > 1 x  2 D =  x  R/x > 1 e x  2 


3ª) Aplique as propriedades dos logaritmos, calculando os logaritmos:

a) Sendo log 2 = x e log 3 = y, calcule log 12
Solução :

Log 12 = log ( 22 . 3 )

= log 22 + log 3
= 2 log 2 + log 3 4
= 2x + y  ac
b) Sendo log y a = 3, log y b = 2 e log y c = 1, calcule log y
b
Solução:

4
 ac 4
Log y = = log y  ac - log y b
b

1
= log y ( ac) 4 - log y b

= 1 log y ( ac ) – log y b
4
= 1 ( log y a + log y c ) – log y b
4
= 1 ( 3 + 1 ) - 2
4
= 1 – 2 = - 1
4ª) Verifique a condição de existência:

a) log 2 2x – 1 = 3
CE 2x – 1 > 0

2x – 1 = 2 3
2x – 1 = 8
x = 9
2
S =  9 
2

b) log 2 log 5 x = 1

CE { x > 0
log 5 x > 0

log 2 log 5 x = 1
log 5 x = 2 1
log 5 x = 2
x = 5 2
x = 25
x = 25 satisfaz as condições de existência.
S = { 25 }

5ª) Escreva em base 2 os seguintes logaritmos :

a) log 3 5

Solução:

log 3 5 = log 2 5
log 2 3

b) Se log 2 = 0,3 e log 3 = 0,48, calcular o valor de log 100 36

Solução:

Log 3 2 = log 2 = 0,3 = 0,625
log 3 0,48