Entes geométricos fundamentais

Os Entes Geométricos Fundamentais são entidades que não apresentam definição, apesar de todos saberem o que é. O ponto, a reta (ou recta, em Portugal) e o plano são os 3 entes geométricos e os elementos fundamentais da geometria clássica. Na matemática moderna, contudo, esses conceitos relativizam-se. Planos podem ser pontos num espaço de dimensão superior, funções podem ser pontos em um espaço funcional. Noutras palavras, na matemática moderna, o que vale são as relações entre entes matemáticos. Entretanto, o estudo de geometria clássica tem óbvias necessidades práticas e teóricas.

Há três tipos de entes geométricos; a linha, os polígonos e os sólidos geométricos.

O ponto é uma entidade geométrica que não tem altura, comprimento ou largura, ou seja, é unidimensional dimensões, (adimensional; adj. 2 gén., que não tem dimensão, tamanho). Em sucessão contínua, os pontos constroem linhas. As linhas têm uma única dimensão; o comprimento. Na disciplina de Geometria, a recta é compreendida como um conjuntos infinito de pontos. As rectas podem intersectar-se em qualquer dos seus pontos ou com planos (também entendidos como conjuntos infinitos de pontos).

Uma figura geométrica (polígono) é constituída, e por isso sempre representada, através de pontos que se situam num mesmo plano (triângulo, quadrado, rectângulo, trapézio, hexágono, pentágono, paralelogramo, losango, etc.).

Uma figura sólida (ou sólido geométrico) é uma figura que tem pontos de representação em diversos planos (cubo, pirâmide, cilindro, esfera, etc.). Os sólidos geométricos têm três dimensões a saber; altura, largura e comprimento. São por isso constituídos por vértices, que ligam arestas, que constroem faces. Estas faces são na generalidade figuras geométricas, excluindo-se raros casos (como a esfera). As faces dos sólidos geométricos podem ser entendidas como planos.

Representação do ponto
É representado por Letras Maiúsculas do nosso alfabeto.

[editar] Distância entre 2 pontos
Sendo e .


[editar] Reta
Ver artigo principal: Recta

RetasUma reta é composta por um conjunto infinito de pontos. É uma entidade que tem apenas comprimento, ou apenas altura ou apenas largura, ou seja, tem apenas uma dimensão, considerada como unidimensional. Para traçar uma reta, dois pontos apenas são necessários. Por um ponto, passam infinitas retas.

A reta é uma entidade geométrica caracterizada pela projeção linear de um ponto no espaço. A reta também pode ser descrita como um arco de circunferência cujo raio é infinito. Sempre se escreve o nome da reta com letras minúsculas.

[editar] Equação
A equação geral da reta num espaço euclidiano de 27 dimensões é a seguinte:

r: (x,y,z) = (o,p,q)+ t(a,b,c)

Onde v=(a,b,c) é um vetor diretor de r. Onde P=(o,p,q) é um ponto de r. Onde Q=(x,y,z) é um ponto qualquer de r. Onde t é o parâmetro que pode tomar como valor qualquer número real.

[editar] Representação da reta
A reta é representada por letras minúsculas do nosso alfabeto ou por dois pontos com uma seta apontando para os dois lados em cima.

[editar] Posição de uma reta no plano
Uma reta pode estar na posição Vertical, Horizontal ou Inclinada(Diagonal).


r=vertical / s=horizontal / t=inclinadaDuas retas podem ser:

Perpendiculares:
Paralelas: Quando não tem nenhum ponto em comum. Quando o coeficiente angular de uma igual da outra ()
Concorrentes: Quando tem apenas dois pontos em comum.
Coincidentes: Quando nao tem todos os pontos em comum.
Uma reta pode ser:

Horizontal: .
Vertical: não definido.
Diagonal: não definido.
[editar] Coeficiente angular
Sendo: e . = Coeficiente angular. = Ponto onde corta o eixo y. Uma reta no plano bidimensional pode ser representada das seguintes formas.




[editar] Semi-reta
Semi-reta é uma parte da reta que tem começo, mas não tem fim. O ponto onde a semi-reta tem início é chamado Ponto de origem.


Semi-Reta[editar] Segmento de reta
Segmento de Reta é um dos infinitos segmento finito de uma reta. É determinado por dois pontos colineares (todo par de pontos é colinear, logo todo par de pontos pode formar um segumento de reta). Dois ou mais segmentos de reta podem ser:

Consecutivos: Têm apenas um ponto em comum
Colineares: Estão na mesma reta
Adjacentes: Têm apenas um ponto em comum e estão na mesma reta, ou seja, são Consecutivos e Colineares ao mesmo tempo.
[editar] Ponto médio de um segmento de reta
Sendo e .



Segmentos Consecutivos, adjacentes e colineares[editar] Plano
Ver artigo principal: Plano

plano alfaUm plano é uma entidade geométrica formada por infinitas retas e infinitos pontos. Para traçar um plano, três pontos não-alinhados são necessários. O plano tem duas dimensões, ou seja tem altura e largura ou altura e comprimento ou largura e comprimento, por isso, é chamado de bidimensional.

[editar] Representação de um plano
Um plano é representado por uma letra minúscula do alfabeto grego, geralmente α ou β ou por três pontos distintos do plano.E por retas paralelas; apesar de não possuir nem um ponto em comum , as retas paralelas são coplanares.

[editar] Equação


Onde n=(a,b,c) é um vetor normal (perpendicular) ao plano. Onde P=(x,y,z) é um ponto desse plano. E d é um número real que satisfaça a equação.

Obtido em "http://pt.wikipedia.org/wiki/Entes_geom%C3%A9tricos_fundamentais"
Categoria: Geometria

Ângulo

Ângulo é a região de um plano concebida pela abertura de duas semi-retas que possuem uma origem em comum, chamada vértice do ângulo. A abertura do ângulo é uma propriedade invariante e é medida em radianos ou graus.
Componentes de um ângulo
Semi-retas - são as duas retas laterais ao ângulo.
Origem ou vértice - ponto onde as duas semi-retas se cruzam.
Bissetriz - é a semi-reta com origem no vértice desse ângulo dividindo-o ao meio.
[editar] Unidades de medidas para ângulos
De forma a medir um ângulo, um círculo com centro no vértice é desenhado. Como a circunferência do círculo é sempre diretamente proporcional ao comprimento de seu raio, a medida de um ângulo é independente do tamanho do círculo.

A medida em radianos de um ângulo é o comprimento do arco cortado pelo ângulo, dividido pelo raio do círculo. O SI utiliza o radiano como a unidade derivada para ângulos. Devido ao seu relacionamento com o comprimento do arco, radianos são uma unidade especial. Senos e co-senos cujos argumentos estão em radianos possuem propriedades analíticas particulares, tal como criar funções exponenciais em base e.

A medida em graus de um ângulo é o comprimento de um arco, dividido pela circunferência de um círculo e multiplicada por 360. O símbolo de graus é um pequeno círculo sobrescrito °. 2π radianos é igual a 360° (um círculo completo), então um radiano é aproximadamente 57° e um grau é π/180 radianos.
O gradiano, também chamado de grado, é uma medida angular onde o arco é divido pela circunferência e multiplicado por 400. Essa forma é usado mais em triangulação.
O ponto é usado em navegação, e é definida como 1/32 do círculo, ou exatamente 11,25°.
...

O círculo completo ou volta completa representa o número ou a fração de voltas completas. Por exemplo, π/2 radianos = 90° = 1/4 de um círculo completo.
O ângulo nulo é um ângulo que tem 0°.

[editar] Medindo ângulos

O ângulo θ é o quociente de s por r.Para medir um ângulo θ, um arco circular centrado no vértice do ângulo é desenhado. O comprimento do arco s é então dividido pelo raio do círculo r, e multiplicado por uma constante k, que depende da unidade de medida selecionada (graus ou radianos). Se a unidade for radianos, k = 1; se a unidade for graus, .


Cabe mencionar que valor de θ é independente do tamanho do círculo (a proporção s/r é mantida), pois se o raio do círculo aumenta, o comprimento do arco também aumenta na mesma proporção.

[editar] Tipos de ângulos
[editar] Quanto ao ângulo

Ângulo agudo
Ângulo reto
Ângulo obtuso
Ângulo raso
Ângulo giro ou ângulo completoCom relação às suas medidas, os ângulos podem ser classificados como

Nulo: Um ângulo nulo mede 0°
Agudo: Ângulo cuja medida é maior do que 0° e menor do que 90°
Reto: Um ângulo reto é um ângulo cuja medida é exatamente 90°. Assim os seus lados estão localizados em retas perpendiculares.
Obtuso: É um ângulo cuja medida está entre 90° e 180°.
Raso: Ângulo que mede exatamente 180°, os seus lados são semi-retas opostas.
Côncavo: Ângulo que mede mais de 180°e menos de 360°.
Giro ou Completo: Ângulo que mede 360°. Também pode ser chamado de Ângulo de uma volta.
O ângulo reto (90°) é provavelmente o ângulo mais importante, pois o mesmo é encontrado em inúmeras aplicações práticas, como no encontro de uma parede com o chão, os pés de uma mesa em relação ao seu tampo, caixas de papelão, esquadrias de janelas, etc...

Um ângulo de 360 graus é o ângulo que completa o círculo. Após esta volta completa este ângulo coincide com o ângulo de zero graus mas possui a grandeza de 360 graus (360°).

[editar] Quanto a posições
Os ângulos têm denominações distintas com relação ao posicionamento de dois ângulos.

Ângulos Congruentes - São chamados Ângulos Congruentes quando dois ângulos têm a mesma medida.
Propriedades da Congruência dos ângulos:


Reflexiva
Simétrica
Transitiva
Ângulos Consecutivos - Dois ângulos são chamados consecutivos se um dos lados de um deles coincide com um dos lados do outro ângulo.
Ângulos Adjacentes - Dois ângulos são adjacentes quando são consecutivos e não possuem pontos internos comuns.
Ângulos opostos pelo vértice - São ângulos compostos por duas retas cujo ângulo interno ou externos a estas retas e diagonalmente opostos são congruentes.
[editar] Quanto a complementações

Ângulos complementares a e b (b é o complemento de a, e a é o complemento de b).
Os ângulos a e b são suplementares; a é agudo e b é obtuso.Ângulos Complementares - Dois ângulos são Complementares quando a soma de suas medidas é igual a 90°. Neste caso, cada um é o complemento do outro.
Ângulos Suplementares - Dois ângulos são Suplementares quando a soma de suas medidas é igual a 180°. Neste caso, cada um é o suplemento do outro.
Ângulos Replementares - Dois ângulos são Replementares quando a soma de suas medidas é igual a 360°. Neste caso, cada um é o replemento do outro.
Ângulos Explementares - Dois ângulos são Explementares quando a diferença de suas medidas é igual a 180. Neste caso, cada um é o explemento do outro