quinta-feira, 31 de dezembro de 2009
Curriculo, formação e educação.
RESUMO
O conteúdo desta monografia, é baseado em inquietações, relacionada às dificuldades de aprendizagem que os educandos tem apresentado na área da Matemática, as implicações da formação de professores, que estão e irão atuar nesta área e, os efeitos da tecnologia para esta aprendizagem. Na tentativa de compreender a complexidade que envolve as propostas curriculares, a dificuldades de aprendizagem na Matemática, a formação de professores e os efeitos da tecnologia para esta aprendizagem, é que este trabalho, partiu das propostas curriculares, a todo um contexto bibliográfico que fizesse referência às inquietações sobre as dificuldades de aprendizagem, e o desenvolvimento da formação de professores. Além, da pesquisa teórico-empírico, trazida de experiências vividas, e a reflexão sobre o uso da tecnologia em sala de aula. É no trabalho da educação Matemática, que se percebe, quanta dificuldade que os alunos tem em apreender os conteúdos desta disciplina. Por isso, e depois de tantas tentativas de amenizar esta situação, depois de muito se questionar sobre o porque do ensino da Matemática trazer consigo tantas dificuldades para muitos dos estudantes, depois de induzir fórmulas e formas para poder explicar e fazer os estudantes entender o tão quanto é importante o conhecimento matemático para se e para o seu relacionamento social, depois de muitas tentativas de persuadir os alunos a deixar fluir o desejo de querer entender por aprender e apreender internalizando o conhecimento e não simplesmente aprender fórmulas estratégicas oportunas de promoção e, sem muito êxito, é que se procurou aprofundar-se em estudos, os quais tenham sido feito neste mesmo sentido, no intuito, de encontrar o melhor caminho, para melhor mediar os assuntos direcionados à disciplina em sala de aula.
Critérios de Divisibilidades
Conhecer os critérios de divisibilidade facilita a resolução de cálculos envolvendo divisões. Vejamos alguns critérios de divisibilidade:
DIVISIBILIDADE POR 2
Um número é divisível por 2 quando é par.
Números pares são os que terminam em 0, ou 2, ou 4, ou 6 , ou 8.
Ex : 42 - 100 - 1.445.086 - 8 - 354 - 570
DIVISIBILIDADE POR 3
Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos é divisível por 3.
Ex : 123 (S= 1 + 2 + 3 = 6) - 36 (S=9) - 1.478.391 ( S=33) - 570 (S=1
DIVISIBILIDADE POR 4
Um número é divisível por 4 quando os dois últimos algarismos formam um número divisível por 4.
Ex : 956 - 844 - 1.336 - 120 - 8.357.916 - 752 - 200
DIVISIBILIDADE POR 5
Um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5 .
Ex : 475 - 800 - 1.267.335 - 10 - 65
DIVISIBILIDADE POR 6
Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e3 ao mesmo tempo.
Ex : 36 - 24 - 126 - 1476
DIVISIBILIDADE POR 7
Tomar o último algarismo e calcular seu dobro. Subtrair esse resultado do número formado pelos algarismos restantes. Se o resultado for divisível por 7 então, o número original também será divisível por 7.
Ex1 :
238 : 8 x 2 = 16
23 - 16 = 7 : como 7 é divisível por 7 , 238 também é divisível.
693 : 3 x 2 = 6
69 - 6 = 63
63 : 3 x 2 = 6
6 - 6 = 0 : como 0 é divisível por 7, 693 também é divisível.
Ex2 :
235 : 5 x 2 = 10
23 - 10 = 13 : como 13 não é divisível por 7, 235 também não é divisível.
DIVISIBILIDADE POR 8
Um número é divisível por 8 quando os três últimos algarismos formam um número divisível por 8.
Ex : 876.400 - 152 - 245.328.168
DIVISIBILIDADE POR 9
Um número é divisível por 9 quando a soma dos seus algarismos é divisível por 9.
Ex : 36 - 162 - 5463 - 5.461.047
DIVISIBILIDADE POR 10
Um número é divisível por 10 quando termina em 0.
Ex : 100 - 120 - 1.252.780 - 1.389.731.630
DIVISIBILIDADE POR 11
Quando a diferença entre as somas dos algarismos de ordem ímpar e de ordem par, a partir da direita for múltipla de 11.
Ex : 7.973.207
S (ordem ímpar) = 7 + 2 + 7 + 7 = 23
S (ordem par) = 0 + 3 + 9 = 12
diferença = 11
OBS: NÚMERO DE DIVISORES:
O conjunto dos divisores de um número natural x é o conjunto D(x) formado por todos os números naturais que são divisores de x.
Exemplo: o conjunto dos divisores de 36.
D(36) = { 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}
DIVISIBILIDADE POR 2
Um número é divisível por 2 quando é par.
Números pares são os que terminam em 0, ou 2, ou 4, ou 6 , ou 8.
Ex : 42 - 100 - 1.445.086 - 8 - 354 - 570
DIVISIBILIDADE POR 3
Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos é divisível por 3.
Ex : 123 (S= 1 + 2 + 3 = 6) - 36 (S=9) - 1.478.391 ( S=33) - 570 (S=1
DIVISIBILIDADE POR 4
Um número é divisível por 4 quando os dois últimos algarismos formam um número divisível por 4.
Ex : 956 - 844 - 1.336 - 120 - 8.357.916 - 752 - 200
DIVISIBILIDADE POR 5
Um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5 .
Ex : 475 - 800 - 1.267.335 - 10 - 65
DIVISIBILIDADE POR 6
Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e3 ao mesmo tempo.
Ex : 36 - 24 - 126 - 1476
DIVISIBILIDADE POR 7
Tomar o último algarismo e calcular seu dobro. Subtrair esse resultado do número formado pelos algarismos restantes. Se o resultado for divisível por 7 então, o número original também será divisível por 7.
Ex1 :
238 : 8 x 2 = 16
23 - 16 = 7 : como 7 é divisível por 7 , 238 também é divisível.
693 : 3 x 2 = 6
69 - 6 = 63
63 : 3 x 2 = 6
6 - 6 = 0 : como 0 é divisível por 7, 693 também é divisível.
Ex2 :
235 : 5 x 2 = 10
23 - 10 = 13 : como 13 não é divisível por 7, 235 também não é divisível.
DIVISIBILIDADE POR 8
Um número é divisível por 8 quando os três últimos algarismos formam um número divisível por 8.
Ex : 876.400 - 152 - 245.328.168
DIVISIBILIDADE POR 9
Um número é divisível por 9 quando a soma dos seus algarismos é divisível por 9.
Ex : 36 - 162 - 5463 - 5.461.047
DIVISIBILIDADE POR 10
Um número é divisível por 10 quando termina em 0.
Ex : 100 - 120 - 1.252.780 - 1.389.731.630
DIVISIBILIDADE POR 11
Quando a diferença entre as somas dos algarismos de ordem ímpar e de ordem par, a partir da direita for múltipla de 11.
Ex : 7.973.207
S (ordem ímpar) = 7 + 2 + 7 + 7 = 23
S (ordem par) = 0 + 3 + 9 = 12
diferença = 11
OBS: NÚMERO DE DIVISORES:
O conjunto dos divisores de um número natural x é o conjunto D(x) formado por todos os números naturais que são divisores de x.
Exemplo: o conjunto dos divisores de 36.
D(36) = { 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}
quarta-feira, 30 de dezembro de 2009
Conjunto dos números
Conjunto dos números naturais (IN)
IN={0, 1, 2, 3, 4, 5,...}
Um subconjunto importante de IN é o conjunto IN*:
IN*={1, 2, 3, 4, 5,...} à o zero foi excluído do conjunto IN.
Podemos considerar o conjunto dos números naturais ordenados sobre uma reta, como mostra o gráfico abaixo:
· Conjunto dos números inteiros (Z)
Z={..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
O conjunto IN é subconjunto de Z.
Temos também outros subconjuntos de Z:
Z* = Z-{0}
Z+ = conjunto dos inteiros não negativos = {0,1,2,3,4,5,...}
Z_ = conjunto dos inteiros não positivos = {0,-1,-2,-3,-4,-5,...}
Observe que Z+=IN.
Podemos considerar os números inteiros ordenados sobre uma reta, conforme mostra o gráfico abaixo:
· Conjunto dos números racionais (Q)
Os números racionais são todos aqueles que podem ser colocados na forma de fração (com o numerador e denominador Î Z). Ou seja, o conjunto dos números racionais é a união do conjunto dos números inteiros com as frações positivas e negativas.
Assim, podemos escrever:
É interessante considerar a representação decimal de um número racional , que se obtém dividindo a por b.
Exemplos referentes às decimais exatas ou finitas:
Exemplos referentes às decimais periódicas ou infinitas:
Toda decimal exata ou periódica pode ser representada na forma de número racional.
· Conjunto dos números irracionais
Os números irracionais são decimais infinitas não periódicas, ou seja, os números que não podem ser escrito na forma de fração (divisão de dois inteiros). Como exemplo de números irracionais, temos a raiz quadrada de 2 e a raiz quadrada de 3:
Um número irracional bastante conhecido é o número p=3,1415926535...
· Conjunto dos números reais (IR)
Dados os conjuntos dos números racionais (Q) e dos irracionais, definimos o conjunto dos números reais como:
IR=Q È {irracionais} = {x|x é racional ou x é irracional}
O diagrama abaixo mostra a relação entre os conjuntos numéricos:
Portanto, os números naturais, inteiros, racionais e irracionais são todos números reais. Como subconjuntos importantes
de IR temos:
IR* = IR-{0}
IR+ = conjunto dos números reais não negativos
IR_ = conjunto dos números reais não positivos
Obs: entre dois números inteiros existem infinitos números reais. Por exemplo:
- Entre os números 1 e 2 existem infinitos números reais:
1,01 ; 1,001 ; 1,0001 ; 1,1 ; 1,2 ; 1,5 ; 1,99 ; 1,999 ; 1,9999 ...
- Entre os números 5 e 6 existem infinitos números reais:
5,01 ; 5,02 ; 5,05 ; 5,1 ; 5,2 ; 5,5 ; 5,99 ; 5,999 ; 5,9999 ...
IN={0, 1, 2, 3, 4, 5,...}
Um subconjunto importante de IN é o conjunto IN*:
IN*={1, 2, 3, 4, 5,...} à o zero foi excluído do conjunto IN.
Podemos considerar o conjunto dos números naturais ordenados sobre uma reta, como mostra o gráfico abaixo:
· Conjunto dos números inteiros (Z)
Z={..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
O conjunto IN é subconjunto de Z.
Temos também outros subconjuntos de Z:
Z* = Z-{0}
Z+ = conjunto dos inteiros não negativos = {0,1,2,3,4,5,...}
Z_ = conjunto dos inteiros não positivos = {0,-1,-2,-3,-4,-5,...}
Observe que Z+=IN.
Podemos considerar os números inteiros ordenados sobre uma reta, conforme mostra o gráfico abaixo:
· Conjunto dos números racionais (Q)
Os números racionais são todos aqueles que podem ser colocados na forma de fração (com o numerador e denominador Î Z). Ou seja, o conjunto dos números racionais é a união do conjunto dos números inteiros com as frações positivas e negativas.
Assim, podemos escrever:
É interessante considerar a representação decimal de um número racional , que se obtém dividindo a por b.
Exemplos referentes às decimais exatas ou finitas:
Exemplos referentes às decimais periódicas ou infinitas:
Toda decimal exata ou periódica pode ser representada na forma de número racional.
· Conjunto dos números irracionais
Os números irracionais são decimais infinitas não periódicas, ou seja, os números que não podem ser escrito na forma de fração (divisão de dois inteiros). Como exemplo de números irracionais, temos a raiz quadrada de 2 e a raiz quadrada de 3:
Um número irracional bastante conhecido é o número p=3,1415926535...
· Conjunto dos números reais (IR)
Dados os conjuntos dos números racionais (Q) e dos irracionais, definimos o conjunto dos números reais como:
IR=Q È {irracionais} = {x|x é racional ou x é irracional}
O diagrama abaixo mostra a relação entre os conjuntos numéricos:
Portanto, os números naturais, inteiros, racionais e irracionais são todos números reais. Como subconjuntos importantes
de IR temos:
IR* = IR-{0}
IR+ = conjunto dos números reais não negativos
IR_ = conjunto dos números reais não positivos
Obs: entre dois números inteiros existem infinitos números reais. Por exemplo:
- Entre os números 1 e 2 existem infinitos números reais:
1,01 ; 1,001 ; 1,0001 ; 1,1 ; 1,2 ; 1,5 ; 1,99 ; 1,999 ; 1,9999 ...
- Entre os números 5 e 6 existem infinitos números reais:
5,01 ; 5,02 ; 5,05 ; 5,1 ; 5,2 ; 5,5 ; 5,99 ; 5,999 ; 5,9999 ...
Cônicas
As cônicas – hipérbole, parábola, elipse e a circunferência, possuem todas elas, um aspecto singular: podem ser obtidas através da interseção de um plano convenientemente escolhido com uma superfície cônica, conforme mostrado na figura a seguir:
Antes de prosseguir, não resisto a fazer mais uma afirmação verdadeira:
A circunferência é, na realidade, uma elipse perfeita, cuja excentricidade é nula.
Nota: Os admiradores da elipse, poderão eventualmente afirmar equivocadamente: a circunferência é uma elipse imperfeita! Eu, prefiro a primeira assertiva, pois é a correta!.
Brincadeiras à parte, prossigamos!
No caso da elipse já sabemos que:
excentricidade = e = c/a
Como é válido na elipse que a2 = b2 + c2 , vem que:
Ora, como c < a , vem imediatamente que e < 1. Também, como a e c são distâncias e portanto, positivas, vem que e > 0. Em resumo, no caso da elipse, a excentricidade é um número situado entre 0 e 1 ou seja:
0 < e < 1.
Observa-se que a elipse é tanto mais achatada quanto mais próximo da unidade estiver a sua excentricidade.
Raciocinando opostamente, se o valor de c se aproxima de zero, os valores de a e de b tendem a igualar-se e a elipse, no caso extremo de c = 0, (o que implica e = 0) transforma-se numa circunferência. A circunferência é então, uma elipse de excentricidade nula.
No caso da hipérbole , já sabemos que c2 = a2 + b2 e, portanto,
Neste caso, c > a, o que significa que a excentricidade de uma hipérbole é um número real maior do que a unidade, ou seja e > 1.
Observe na fórmula acima que se as medidas a e b forem iguais, ou seja
a = b, teremos uma
hipérbole equilátera, cuja excentricidade será igual a e = Ö 2, resultado obtido fazendo a = b na fórmula acima.
Resumindo, observe que sendo e a excentricidade de uma cônica:
Cônica
e
Circunferência
0
Elipse
0 < e < 1
Hipérbole
e > 1
Quanto à parábola , podemos dizer, que a sua excentricidade será igual a 1? Em a realidade, a excentricidade da parábola é igual a 1; Vamos desenvolver este assunto a seguir:
Considere o seguinte problema geral:
Determinar o lugar geométrico dos pontos P(x, y) do plano cartesiano que satisfazem à condição PF = e . Pd, onde F é um ponto fixo do plano denominado foco e d uma reta denominada diretriz, sendo e uma constante real.
Veja a figura abaixo, para ilustrar o desenvolvimento do tema:
Temos então, pela condição dada, PF = e.Pd, onde e é uma constante real.
Usando a fórmula de distancia entre dois pontos, fica:
Quadrando e desenvolvendo ambos os membros da expressão acima, vem:
(x – f)2 + y2 = e2 .(x – d)2
x2 – 2.f.x + f2 + y2 = e2 (x2 – 2.d.x + d2)
x2 – e2.x2 – 2.f.x + e2.2.d.x + y2 + f2– e2.d2 = 0
x2(1 – e2) + y2 + (2e2d – 2f)x + f2 – e2.d2 = 0
Ou finalmente:
x2(1 – e2) + y2 + 2(e2d – f)x + f2 – e2d2 = 0
Fazendo e = 1 na igualdade acima, obteremos
y2 + 2(d – f).x + f2 – d2 = 0
Fazendo d = - f, vem:
y2 – 4fx = 0 ou y2 = 4fx, que é uma parábola da forma y2 = 2px, onde
f = p/2, conforme vimos no texto correspondente.
A constante e é denominada excentricidade.
Vê-se pois, que a excentricidade de uma parábola é igual a 1
ALGUMAS APLICAÇÕES DAS CÔNICAS
O interesse pelo estudo das cônicas remonta a épocas muito recuadas. De fato, estas curvas desempenham um papel importante em vários domínios da física, incluindo a astronomia, na economia, na engenharia e em muitas outras situações, pelo que não é de estranhar que o interesse pelo seu estudo seja tão antigo.
Vejamos então algumas situações onde estas curvas aparecem.
Suponhamos que temos uma lanterna direcionada para uma parede, então o feixe de luz emitido desenhará nessa parede uma curva cónica. Este fato acontece porque o feixe de luz emitido pela lanterna forma um cone, e também porque a parede funciona como um plano que corta o cone formado. Dependendo da inclinação da lanterna relativamente à parede, assim se obtém uma circunferência, uma elipse, uma parábola ou uma hipérbole.
Certos candeiros de cabeceira, cujo quebra luz (abat-jour) é aberto segundo uma circunferência, desenham na parede uma hipérbole e no tecto uma elipse.
Os Engenheiros da área da iluminação usam este fato, entre outros, para construirem candeiros, lanternas, etc...
O som emitido por uma avião a jato supersônico tem a forma de um cone, pelo que, ao chocar com a Terra vai formar uma curva cónica. Assim, dependendo da inclinação do avião relativamente à Terra, vamos obter elipses, parábolas ou hiperboles. A audiometria usa este fato, entre outros, para saber a que distância da Terra o avião pode ultrapassar a velocidade do som.
A superfície formada pela água dentro de um copo é elíptica, sendo circular apenas no caso em que o copo está direito, isto é, está alinhado com o nível, na horizontal.
Se animarmos o copo com um movimento rotativo sobre si próprio, a superfície do líquido nele inserido será a de um paraboloide. Esta técnica é frequentemente usada para se obter este tipo de superficie.
Na astronomia, Kepler mostrou que os planetas do sistema solar descrevem órbitas elípticas, as quais têm o sol num dos focos. Também os satélites artificiais enviados para o espaço percorrem trajetórias elípticas. Mas nem todos os objetos que circulam no espaço têm órbitas elípticas. Existem cometas que percorrem trajetórias hiperbólicas, os quais ao passarem perto de algum planeta com grande densidade, alteram a sua trajetória para outra hipérbole com um foco situado nesse planeta. Como a parábola é um caso de equilibrio entre a elipse e a hipérbole (lembre-se que a excentricidade da parábola é igual a um), a probabilidade de existir algum satélite com órbita parabólica é quase nula. Mas isso não impede a existência de satélites com esta trajetória.
Também as trajetórias dos projéteis, num ambiente sob a ação da força de gravidade, são parabólicas. Já no ambiente terrestre, onde existe a resistência do ar, essas trajectórias são elípticas, mais propriamente, arcos de elipses. No entanto, por vezes, as diferenças entre as trajetórias eliptícas e as parabólicas são quase indiscerniveis, pelo que, pode-se facilmente verificar estes fatos tomando atenção ao jato de água de uma mangueira, cuja a abertura está inclinada para cima. A balística ciência que estuda as trajetória de projéteis, faz uso deste fato para determinar o local da queda de um projétil.
No estudo dos átomos, um campo da Física e da Química, as órbitas dos eletrons em torno do núcleo são elípticas.
antena parabolica
Fazendo uso da propriedade reflectora da parábola, Arquimedes construiu espelhos
parabólicos, os quais por reflectirem a luz solar para um só ponto, foram usados para incendiar os barcos romanos quando das invasões de Siracusa. Lembre-se que a concentração de energia gera calor.
De faco, as propriedades reflectoras das cônicas, e não somente as da parábola, tem contribuido para a construção de telescópios, antenas, radares, farois, ópticas dos carros, lanternas, etc... Na verdade, alguns dos objetos mencionados também obedecem à propriedade refratora das cônicas. Esta propriedade está intimamente ligada à propriedade reflectora, pelo que os seus estudos são muito idênticos. Só para dar uma amostra de objetos mais vulgares que usam a propriedade refratora das cônicas, mencionamos os seguintes: os oculos graduados, as lupas e os microscópios.
A partir da propriedade reflectora das parábolas, os engenheiros civis construiram pontes de suspensão parabólica. Se imaginarmos os cabos que predem o tabuleiro da ponte como raios de luz, facilmente verificamos que o cabo principal, aquele que passa pelos pilares da ponte, tem forma de uma parábola.
As extremidades das asas do famoso avião britanico spitfire, usado com grande sucesso na I grande Guerra, eram arcos de elipses. Embora a razão da sua escolha se prenda ao fato de se obter mais espaço para transportar munições, este tipo de asa diminuia a resistência do ar, favorecendo melhores performances ao avião em vôo.
O sistema de localização de barcos denominado por LORAM (LOng RAnge Navigation), faz uso das hipérboles confocais, onde os radares estão nos focos. A ideia é baseada na diferença de tempo de recepção dos sinais emitidos simultaneamente pelos dois pares de radares, sendo um dos radares comum aos dois pares. O mapa assim construido apresenta curvas hiperbólicas. Esta técnica foi usada na II grande Guerra, para detectar barcos japoneses.
Antes de prosseguir, não resisto a fazer mais uma afirmação verdadeira:
A circunferência é, na realidade, uma elipse perfeita, cuja excentricidade é nula.
Nota: Os admiradores da elipse, poderão eventualmente afirmar equivocadamente: a circunferência é uma elipse imperfeita! Eu, prefiro a primeira assertiva, pois é a correta!.
Brincadeiras à parte, prossigamos!
No caso da elipse já sabemos que:
excentricidade = e = c/a
Como é válido na elipse que a2 = b2 + c2 , vem que:
Ora, como c < a , vem imediatamente que e < 1. Também, como a e c são distâncias e portanto, positivas, vem que e > 0. Em resumo, no caso da elipse, a excentricidade é um número situado entre 0 e 1 ou seja:
0 < e < 1.
Observa-se que a elipse é tanto mais achatada quanto mais próximo da unidade estiver a sua excentricidade.
Raciocinando opostamente, se o valor de c se aproxima de zero, os valores de a e de b tendem a igualar-se e a elipse, no caso extremo de c = 0, (o que implica e = 0) transforma-se numa circunferência. A circunferência é então, uma elipse de excentricidade nula.
No caso da hipérbole , já sabemos que c2 = a2 + b2 e, portanto,
Neste caso, c > a, o que significa que a excentricidade de uma hipérbole é um número real maior do que a unidade, ou seja e > 1.
Observe na fórmula acima que se as medidas a e b forem iguais, ou seja
a = b, teremos uma
hipérbole equilátera, cuja excentricidade será igual a e = Ö 2, resultado obtido fazendo a = b na fórmula acima.
Resumindo, observe que sendo e a excentricidade de uma cônica:
Cônica
e
Circunferência
0
Elipse
0 < e < 1
Hipérbole
e > 1
Quanto à parábola , podemos dizer, que a sua excentricidade será igual a 1? Em a realidade, a excentricidade da parábola é igual a 1; Vamos desenvolver este assunto a seguir:
Considere o seguinte problema geral:
Determinar o lugar geométrico dos pontos P(x, y) do plano cartesiano que satisfazem à condição PF = e . Pd, onde F é um ponto fixo do plano denominado foco e d uma reta denominada diretriz, sendo e uma constante real.
Veja a figura abaixo, para ilustrar o desenvolvimento do tema:
Temos então, pela condição dada, PF = e.Pd, onde e é uma constante real.
Usando a fórmula de distancia entre dois pontos, fica:
Quadrando e desenvolvendo ambos os membros da expressão acima, vem:
(x – f)2 + y2 = e2 .(x – d)2
x2 – 2.f.x + f2 + y2 = e2 (x2 – 2.d.x + d2)
x2 – e2.x2 – 2.f.x + e2.2.d.x + y2 + f2– e2.d2 = 0
x2(1 – e2) + y2 + (2e2d – 2f)x + f2 – e2.d2 = 0
Ou finalmente:
x2(1 – e2) + y2 + 2(e2d – f)x + f2 – e2d2 = 0
Fazendo e = 1 na igualdade acima, obteremos
y2 + 2(d – f).x + f2 – d2 = 0
Fazendo d = - f, vem:
y2 – 4fx = 0 ou y2 = 4fx, que é uma parábola da forma y2 = 2px, onde
f = p/2, conforme vimos no texto correspondente.
A constante e é denominada excentricidade.
Vê-se pois, que a excentricidade de uma parábola é igual a 1
ALGUMAS APLICAÇÕES DAS CÔNICAS
O interesse pelo estudo das cônicas remonta a épocas muito recuadas. De fato, estas curvas desempenham um papel importante em vários domínios da física, incluindo a astronomia, na economia, na engenharia e em muitas outras situações, pelo que não é de estranhar que o interesse pelo seu estudo seja tão antigo.
Vejamos então algumas situações onde estas curvas aparecem.
Suponhamos que temos uma lanterna direcionada para uma parede, então o feixe de luz emitido desenhará nessa parede uma curva cónica. Este fato acontece porque o feixe de luz emitido pela lanterna forma um cone, e também porque a parede funciona como um plano que corta o cone formado. Dependendo da inclinação da lanterna relativamente à parede, assim se obtém uma circunferência, uma elipse, uma parábola ou uma hipérbole.
Certos candeiros de cabeceira, cujo quebra luz (abat-jour) é aberto segundo uma circunferência, desenham na parede uma hipérbole e no tecto uma elipse.
Os Engenheiros da área da iluminação usam este fato, entre outros, para construirem candeiros, lanternas, etc...
O som emitido por uma avião a jato supersônico tem a forma de um cone, pelo que, ao chocar com a Terra vai formar uma curva cónica. Assim, dependendo da inclinação do avião relativamente à Terra, vamos obter elipses, parábolas ou hiperboles. A audiometria usa este fato, entre outros, para saber a que distância da Terra o avião pode ultrapassar a velocidade do som.
A superfície formada pela água dentro de um copo é elíptica, sendo circular apenas no caso em que o copo está direito, isto é, está alinhado com o nível, na horizontal.
Se animarmos o copo com um movimento rotativo sobre si próprio, a superfície do líquido nele inserido será a de um paraboloide. Esta técnica é frequentemente usada para se obter este tipo de superficie.
Na astronomia, Kepler mostrou que os planetas do sistema solar descrevem órbitas elípticas, as quais têm o sol num dos focos. Também os satélites artificiais enviados para o espaço percorrem trajetórias elípticas. Mas nem todos os objetos que circulam no espaço têm órbitas elípticas. Existem cometas que percorrem trajetórias hiperbólicas, os quais ao passarem perto de algum planeta com grande densidade, alteram a sua trajetória para outra hipérbole com um foco situado nesse planeta. Como a parábola é um caso de equilibrio entre a elipse e a hipérbole (lembre-se que a excentricidade da parábola é igual a um), a probabilidade de existir algum satélite com órbita parabólica é quase nula. Mas isso não impede a existência de satélites com esta trajetória.
Também as trajetórias dos projéteis, num ambiente sob a ação da força de gravidade, são parabólicas. Já no ambiente terrestre, onde existe a resistência do ar, essas trajectórias são elípticas, mais propriamente, arcos de elipses. No entanto, por vezes, as diferenças entre as trajetórias eliptícas e as parabólicas são quase indiscerniveis, pelo que, pode-se facilmente verificar estes fatos tomando atenção ao jato de água de uma mangueira, cuja a abertura está inclinada para cima. A balística ciência que estuda as trajetória de projéteis, faz uso deste fato para determinar o local da queda de um projétil.
No estudo dos átomos, um campo da Física e da Química, as órbitas dos eletrons em torno do núcleo são elípticas.
antena parabolica
Fazendo uso da propriedade reflectora da parábola, Arquimedes construiu espelhos
parabólicos, os quais por reflectirem a luz solar para um só ponto, foram usados para incendiar os barcos romanos quando das invasões de Siracusa. Lembre-se que a concentração de energia gera calor.
De faco, as propriedades reflectoras das cônicas, e não somente as da parábola, tem contribuido para a construção de telescópios, antenas, radares, farois, ópticas dos carros, lanternas, etc... Na verdade, alguns dos objetos mencionados também obedecem à propriedade refratora das cônicas. Esta propriedade está intimamente ligada à propriedade reflectora, pelo que os seus estudos são muito idênticos. Só para dar uma amostra de objetos mais vulgares que usam a propriedade refratora das cônicas, mencionamos os seguintes: os oculos graduados, as lupas e os microscópios.
A partir da propriedade reflectora das parábolas, os engenheiros civis construiram pontes de suspensão parabólica. Se imaginarmos os cabos que predem o tabuleiro da ponte como raios de luz, facilmente verificamos que o cabo principal, aquele que passa pelos pilares da ponte, tem forma de uma parábola.
As extremidades das asas do famoso avião britanico spitfire, usado com grande sucesso na I grande Guerra, eram arcos de elipses. Embora a razão da sua escolha se prenda ao fato de se obter mais espaço para transportar munições, este tipo de asa diminuia a resistência do ar, favorecendo melhores performances ao avião em vôo.
O sistema de localização de barcos denominado por LORAM (LOng RAnge Navigation), faz uso das hipérboles confocais, onde os radares estão nos focos. A ideia é baseada na diferença de tempo de recepção dos sinais emitidos simultaneamente pelos dois pares de radares, sendo um dos radares comum aos dois pares. O mapa assim construido apresenta curvas hiperbólicas. Esta técnica foi usada na II grande Guerra, para detectar barcos japoneses.
terça-feira, 29 de dezembro de 2009
Combinação e Arranjos 2
Quando formamos agrupamentos com p elementos, (p
Simples
Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos.
Fórmula: C(m,p) = m!/[(m-p)! p!]
Cálculo para o exemplo: C(4,2)=4!/[2!2!]=24/4=6
Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As combinações simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 6 grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento nem podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:
Cs={AB,AC,AD,BC,BD,CD}
Com repetição
Todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo até p vezes.
Fórmula: Cr(m,p) = C(m+p-1,p)
Cálculo para o exemplo: Cr(4,2)=C(4+2-1,2)=C(5,2)=5!/[2!3!]=10
Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As combinações com repetição desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 10 grupos que têm todas as repetições possíveis de elementos em grupos de 2 elementos não podendo aparecer o mesmo grupo com a ordem trocada. De um modo geral neste caso, todos os agrupamentos com 2 elementos formam um conjunto com 16 elementos:
Cr={AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,DB,DC,DD}
mas para obter as combinações com repetição, deveremos excluir deste conjunto os 6 grupos que já apareceram antes, pois AB=BA, AC=CA, AD=DA, BC=CB, BD=DB e CD=DC, assim as combinações com repetição dos elementos de C tomados 2 a 2, são:
Cr={AA,AB,AC,AD,BB,BC,BD,CC,CD,DD}
----------------------------------------------------------
Regras gerais sobre a Análise Combinatória
Problemas de Análise Combinatória normalmente são muito difíceis mas eles podem ser resolvidos através de duas regras básicas: a regra da soma e a regra do produto.
Regra da soma: A regra da soma nos diz que se um elemento pode ser escolhido de m formas e um outro elemento pode ser escolhido de n formas, então a escolha de um ou outro elemento se realizará de m+n formas, desde que tais escolhas sejam independentes, isto é, nenhuma das escolhas de um elemento pode coincidir com uma escolha do outro.
Regra do Produto: A regra do produto diz que se um elemento H pode ser escolhido de m formas diferentes e se depois de cada uma dessas escolhas, um outro elemento M pode ser escolhido de n formas diferentes, a escolha do par (H,M) nesta ordem poderá ser realizada de m.n formas.
Exemplo: Consideremos duas retas paralelas ou concorrentes sem que os pontos sob análise estejam em ambas, sendo que a primeira r contem m pontos distintos marcados por r1, r2, r3, ..., rm e a segunda s contem n outros pontos distintos marcados por s1, s2, s3, ..., sn. De quantas maneiras podemos traçar segmentos de retas com uma extremidade numa reta e a outra extremidade na outra reta? É fácil ver isto ligando r1 a todos os pontos de s e assim teremos n segmentos, depois ligando r2 a todos os pontos de s e assim teremos n segmentos, e continuamos até o último ponto para obter também n segmentos. Como existem m pontos em r e n pontos em s, teremos m.n segmentos possíveis.
----------------------------------------------------------
Número de combinações simples
Seja C um conjunto com m elementos distintos. No estudo de arranjos, já vimos antes que é possível escolher p elementos de A, mas quando realizamos tais escolhas pode acontecer que duas coleções com p elementos tenham os mesmos elementos em ordens trocadas. Uma situação típica é a escolha de um casal (H,M).
Quando se fala casal, não tem importância a ordem da posição (H,M) ou (M,H), assim não há a necessidade de escolher duas vezes as mesmas pessoas para formar o referido casal. Para evitar a repetição de elementos em grupos com a mesma quantidade p de elementos, introduziremos o conceito de combinação.
Diremos que uma coleção de p elementos de um conjunto C com m elementos é uma combinação de m elementos tomados p a p, se as coleções com p elementos não tem os mesmos elementos que já apareceram em outras coleções com o mesmo número p de elementos.
Aqui temos outra situação particular de arranjo, mas não pode acontecer a repetição do mesmo grupo de elementos em uma ordem diferente.
Isto significa que dentre todos os A(m,p) arranjos com p elementos, existem p! desses arranjos com os mesmos elementos, assim, para obter a combinação de m elementos tomados p a p, deveremos dividir o número A(m,p) por m! para obter apenas o número de arranjos que contem conjuntos distintos, ou seja:
C(m,p) = A(m,p) / p!
Como A(m,p) = m.(m-1).(m-2). ... .(m-p+1), então:
C(m,p) = [ m.(m-1).(m-2). ... .(m-p+1)] / p!
o que pode ser reescrito
C(m,p) = [ m.(m-1).(m-2). ... .(m-p+1)] / [(1.2.3.4....(p-1)p]
Se multiplicarmos numerador e denominador desta fração por
(m-p)(m-p-1)(m-p-2)...3.2.1
que é o mesmo que multiplicar por (m-p)!, o numerador da fração ficará:
m.(m-1).(m-2).....(m-p+1)(m-p)(m-p-1)...3.2.1 = m!
e o denominador ficará:
p! (m-p)!
Assim, a expressão simplificada para a combinação de n elementos tomados p a p, será:
m!
C(m,p) =
---------------------------------------------------------
p! (m-p)!
Número de Arranjos simples
Seja C um conjunto com m elementos. De quantas maneiras diferentes poderemos escolher p elementos (p
c1 c2 c3 c4 c5 ... cm-2 cm-1 cm
Cada vez que um elemento for retirado, indicaremos esta operação com a mudança da cor amarela para a cor bege.
Para escolher o prameiro elemento do conjunto C que possui m elementos, temos m possibilidades. Vamos supor que a escolha tenha caído sobre o m-ésimo elemento de C.
c1 c2 c3 c4 c5 ... cm-2 cm-1 cm
Para escolher o segundo elemento, devemos observar o que sobrou no conjunto e constatamos que agora existem apenas m-1 elementos. Suponhamos que tenha sido retirado o último elemento dentre os que sobraram no conjunto C. O elemento retirado na segunda fase é o (m-1)-ésimo.
c1 c2 c3 c4 c5 ... cm-2 cm-1 cm
Após a segunda retirada, sobraram m-2 possibilidades para a próxima retirada. Do que sobrou, se retirarmos o terceiro elemento como sendo o de ordem (m-2), teremos algo que pode ser visualizado como:
c1 c2 c3 c4 c5 ... cm-2 cm-1 cm
Se continuarmos o processo de retirada, cada vez teremos 1 elemento a menos do que na fase anterior. Para retirar o p-ésimo elemento, restarão m-p+1 possibilidades de escolha.
Para saber o número total de arranjos possíveis de m elementos tomados p a p, basta multiplicar os números que aparecem na segunda coluna da tabela abaixo:
Retirada Número de possibilidades
1 m
2 m-1
3 m-2
... ...
p m-p+1
No.de arranjos m(m-1)(m-2)...(m-p+1)
Denotaremos o número de arranjos de m elementos tomados p a p, por A(m,p) e a expressão para seu cálculo será dada por:
A(m,p) = m(m-1)(m-2)...(m-p+1)
Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de dispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos diferentes? O conjunto solução é:
{AE,AI,AO,AU,EA,EI,EO,EU,IA,IE,
IO,IU,OA,OE,OI,OU,UA,UE,UI,UO}
e a solução numérica é A(5,2) = 5.4= 20 possibilidades
Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de dispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos (não necessariamente diferentes)?
Sugestão: Colocar uma reta com as 5 vogais e outra reta paralela à anterior com as 5 vogais, usar a regra do produto para concluir que existem 5x5=25 possibilidades.
O conjunto solução é:
{AA,AE,AI,AO,AU,EA,EE,EI,EO,EU,IA,IE,II,
IO,IU,OA,OE,OI,OO,OU,UA,UE,UI,UO,UU}
Exemplo: Quantas placas de carros podem existir no atual sistema brasileiro de trânsito que permite 3 letras iniciais e 4 algarismos no final?
XYZ-1234
Sugestão: Considere que existem 26 letras em nosso alfabeto que podem ser dispostas 3 a 3 e 10 algarismos que podem ser dispostos 4 a 4 e em seguida utilize a regra do produto.
Simples
Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos.
Fórmula: C(m,p) = m!/[(m-p)! p!]
Cálculo para o exemplo: C(4,2)=4!/[2!2!]=24/4=6
Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As combinações simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 6 grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento nem podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:
Cs={AB,AC,AD,BC,BD,CD}
Com repetição
Todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo até p vezes.
Fórmula: Cr(m,p) = C(m+p-1,p)
Cálculo para o exemplo: Cr(4,2)=C(4+2-1,2)=C(5,2)=5!/[2!3!]=10
Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As combinações com repetição desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 10 grupos que têm todas as repetições possíveis de elementos em grupos de 2 elementos não podendo aparecer o mesmo grupo com a ordem trocada. De um modo geral neste caso, todos os agrupamentos com 2 elementos formam um conjunto com 16 elementos:
Cr={AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,DB,DC,DD}
mas para obter as combinações com repetição, deveremos excluir deste conjunto os 6 grupos que já apareceram antes, pois AB=BA, AC=CA, AD=DA, BC=CB, BD=DB e CD=DC, assim as combinações com repetição dos elementos de C tomados 2 a 2, são:
Cr={AA,AB,AC,AD,BB,BC,BD,CC,CD,DD}
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Regras gerais sobre a Análise Combinatória
Problemas de Análise Combinatória normalmente são muito difíceis mas eles podem ser resolvidos através de duas regras básicas: a regra da soma e a regra do produto.
Regra da soma: A regra da soma nos diz que se um elemento pode ser escolhido de m formas e um outro elemento pode ser escolhido de n formas, então a escolha de um ou outro elemento se realizará de m+n formas, desde que tais escolhas sejam independentes, isto é, nenhuma das escolhas de um elemento pode coincidir com uma escolha do outro.
Regra do Produto: A regra do produto diz que se um elemento H pode ser escolhido de m formas diferentes e se depois de cada uma dessas escolhas, um outro elemento M pode ser escolhido de n formas diferentes, a escolha do par (H,M) nesta ordem poderá ser realizada de m.n formas.
Exemplo: Consideremos duas retas paralelas ou concorrentes sem que os pontos sob análise estejam em ambas, sendo que a primeira r contem m pontos distintos marcados por r1, r2, r3, ..., rm e a segunda s contem n outros pontos distintos marcados por s1, s2, s3, ..., sn. De quantas maneiras podemos traçar segmentos de retas com uma extremidade numa reta e a outra extremidade na outra reta? É fácil ver isto ligando r1 a todos os pontos de s e assim teremos n segmentos, depois ligando r2 a todos os pontos de s e assim teremos n segmentos, e continuamos até o último ponto para obter também n segmentos. Como existem m pontos em r e n pontos em s, teremos m.n segmentos possíveis.
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Número de combinações simples
Seja C um conjunto com m elementos distintos. No estudo de arranjos, já vimos antes que é possível escolher p elementos de A, mas quando realizamos tais escolhas pode acontecer que duas coleções com p elementos tenham os mesmos elementos em ordens trocadas. Uma situação típica é a escolha de um casal (H,M).
Quando se fala casal, não tem importância a ordem da posição (H,M) ou (M,H), assim não há a necessidade de escolher duas vezes as mesmas pessoas para formar o referido casal. Para evitar a repetição de elementos em grupos com a mesma quantidade p de elementos, introduziremos o conceito de combinação.
Diremos que uma coleção de p elementos de um conjunto C com m elementos é uma combinação de m elementos tomados p a p, se as coleções com p elementos não tem os mesmos elementos que já apareceram em outras coleções com o mesmo número p de elementos.
Aqui temos outra situação particular de arranjo, mas não pode acontecer a repetição do mesmo grupo de elementos em uma ordem diferente.
Isto significa que dentre todos os A(m,p) arranjos com p elementos, existem p! desses arranjos com os mesmos elementos, assim, para obter a combinação de m elementos tomados p a p, deveremos dividir o número A(m,p) por m! para obter apenas o número de arranjos que contem conjuntos distintos, ou seja:
C(m,p) = A(m,p) / p!
Como A(m,p) = m.(m-1).(m-2). ... .(m-p+1), então:
C(m,p) = [ m.(m-1).(m-2). ... .(m-p+1)] / p!
o que pode ser reescrito
C(m,p) = [ m.(m-1).(m-2). ... .(m-p+1)] / [(1.2.3.4....(p-1)p]
Se multiplicarmos numerador e denominador desta fração por
(m-p)(m-p-1)(m-p-2)...3.2.1
que é o mesmo que multiplicar por (m-p)!, o numerador da fração ficará:
m.(m-1).(m-2).....(m-p+1)(m-p)(m-p-1)...3.2.1 = m!
e o denominador ficará:
p! (m-p)!
Assim, a expressão simplificada para a combinação de n elementos tomados p a p, será:
m!
C(m,p) =
---------------------------------------------------------
p! (m-p)!
Número de Arranjos simples
Seja C um conjunto com m elementos. De quantas maneiras diferentes poderemos escolher p elementos (p
c1 c2 c3 c4 c5 ... cm-2 cm-1 cm
Cada vez que um elemento for retirado, indicaremos esta operação com a mudança da cor amarela para a cor bege.
Para escolher o prameiro elemento do conjunto C que possui m elementos, temos m possibilidades. Vamos supor que a escolha tenha caído sobre o m-ésimo elemento de C.
c1 c2 c3 c4 c5 ... cm-2 cm-1 cm
Para escolher o segundo elemento, devemos observar o que sobrou no conjunto e constatamos que agora existem apenas m-1 elementos. Suponhamos que tenha sido retirado o último elemento dentre os que sobraram no conjunto C. O elemento retirado na segunda fase é o (m-1)-ésimo.
c1 c2 c3 c4 c5 ... cm-2 cm-1 cm
Após a segunda retirada, sobraram m-2 possibilidades para a próxima retirada. Do que sobrou, se retirarmos o terceiro elemento como sendo o de ordem (m-2), teremos algo que pode ser visualizado como:
c1 c2 c3 c4 c5 ... cm-2 cm-1 cm
Se continuarmos o processo de retirada, cada vez teremos 1 elemento a menos do que na fase anterior. Para retirar o p-ésimo elemento, restarão m-p+1 possibilidades de escolha.
Para saber o número total de arranjos possíveis de m elementos tomados p a p, basta multiplicar os números que aparecem na segunda coluna da tabela abaixo:
Retirada Número de possibilidades
1 m
2 m-1
3 m-2
... ...
p m-p+1
No.de arranjos m(m-1)(m-2)...(m-p+1)
Denotaremos o número de arranjos de m elementos tomados p a p, por A(m,p) e a expressão para seu cálculo será dada por:
A(m,p) = m(m-1)(m-2)...(m-p+1)
Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de dispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos diferentes? O conjunto solução é:
{AE,AI,AO,AU,EA,EI,EO,EU,IA,IE,
IO,IU,OA,OE,OI,OU,UA,UE,UI,UO}
e a solução numérica é A(5,2) = 5.4= 20 possibilidades
Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de dispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos (não necessariamente diferentes)?
Sugestão: Colocar uma reta com as 5 vogais e outra reta paralela à anterior com as 5 vogais, usar a regra do produto para concluir que existem 5x5=25 possibilidades.
O conjunto solução é:
{AA,AE,AI,AO,AU,EA,EE,EI,EO,EU,IA,IE,II,
IO,IU,OA,OE,OI,OO,OU,UA,UE,UI,UO,UU}
Exemplo: Quantas placas de carros podem existir no atual sistema brasileiro de trânsito que permite 3 letras iniciais e 4 algarismos no final?
XYZ-1234
Sugestão: Considere que existem 26 letras em nosso alfabeto que podem ser dispostas 3 a 3 e 10 algarismos que podem ser dispostos 4 a 4 e em seguida utilize a regra do produto.
Circunferência
Introdução
Este trabalho irá abordar sobre circunferência.
Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano eqüidistantes de um ponto fixo, desse mesmo plano, denominado centro da circunferência.
A circunferência possui características não comumente encontradas em outras figuras planas.
Círculo (ou disco) é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja distância a um ponto fixo 0 é menor ou igual que uma distância r dada.
Circunferência
A circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos de um plano que estão localizados a uma mesma distância r de um ponto fixo denominado o centro da circunferência.
A circunferência possui características não comumente encontradas em outras figuras planas, como o fato de ser a única figura plana que pode ser rodada em torno de um ponto sem modificar sua posição aparente. É também a única figura que é simétrica em relação a um número infinito de eixos de simetria. A circunferência é importante em praticamente todas as áreas do conhecimento como nas Engenharias, Matemática, Física, Química, Biologia, Arquitetura, Astronomia, Artes e também é muito utilizado na indústria e bastante utilizada nas residências das pessoas.
Algumas definições
Raio - Raio de uma circunferência (ou de um círculo) é um segmento de reta com uma extremidade no centro da circunferência e a outra extremidade num ponto qualquer da circunferência.
Arco – é uma parte da circunferência limitada por dois pontos, que se chamam extremidades do arco.
Corda – é um segmento de infinitos pontos alinhados, cujos pontos extremos com um ponto da circunferência. Quando esse segmento passa pelo centro da circunferência, temos o que chamamos de diâmetro.
O diâmetro é sempre a corda maior: como é a corda que passa pelo centro, sua medida é igual a duas vezes a medida do raio.
Assim, para medir a maior distância entre dois pontos de uma circunferência, deve medir o diâmetro, ou seja, o seu instrumento de medida (régua, trena ou fita métrica) deve passar pelo centro da circunferência. Em alguns casos, porém, apenas uma parte da circunferência é utilizada.
Tangente – é a reta que tem um único ponto comum à circunferência, este ponto é conhecido como ponto de tangência ou ponto de contato.
Secante – é a reta que intercepta a circunferência em dois pontos distintos, se essa reta intercepta a circunferência em dois pontos quaisquer, podemos dizer também que é a reta que contem uma corda.
Para simbolizar a corda que une os pontos P e Q, utilizamos a notação de segmento de reta, ou seja, corda PQ.
Por outro lado, o arco também começa em P e termina em Q mas, como você pode ver, a corda e o arco são diferentes e por isso a simbologia também deve ser diferente. Para o arco, usamos PQ.
Da mesma forma que a maior corda é o diâmetro, o maior arco é aquele que tem as
extremidades em um diâmetro. Esse arco é chamado semicircunferência, e a parte do círculo correspondente é chamada semicírculo.
O Comprimento da circunferência
Quanto maior for o raio (ou o diâmetro) de uma circunferência maior será o seu comprimento. Imagine que você vai caminhar em torno de uma praça circular: você andará menos em uma praça com 500 metros de diâmetro do que numa praça com 800 metros de diâmetro.
No exemplo abaixo, cada uma das três circunferências foi cortada no ponto marcado com uma tesourinha, e a linha do traçado de cada uma delas foi esticada.
Círculo
Círculo (ou disco) é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja distância a um ponto fixo 0 é menor ou igual que uma distância r dada. Quando a distância é nula, o círculo se reduz a um ponto. O círculo é a reunião da circunferência com o conjunto de pontos localizados dentro da mesma. É uma figura geométrica bastante comum em nosso dia-a-dia. Observe à sua volta quantos objetos circulares estão presentes: nas moedas, nos discos, a mesa de refeição...
Agora pense, o que faríamos para:
* riscar no tecido o contorno de uma toalha de mesa redonda?
* desenhar um círculo no seu caderno?
* marcar o limite das escavações de um poço no chão?
Quando falamos em círculo, ninguém tem dúvida quanto ao formato dessa figura geométrica. No entanto, em geometria, costuma-se fazer uma pequena distinção entre círculo e circunferência, sobre a qual você já deve ter ouvido falar.
A superfície de uma moeda, de uma pizza ou de um disco é um círculo.
Quando riscamos no papel ou no chão apenas o contorno do círculo, este contorno é chamado circunferência. O compasso é um instrumento utilizado para desenhar circunferências.
O compasso possui duas “pernas”, uma delas tem uma ponta metálica, que deve ser assentada no papel, no local que será o centro da circunferência, a outra ponta,
com a grafite, deve ser girada para obter o traçado da circunferência.
Antes de traçar uma circunferência, devemos decidir qual será a abertura entre as pernas do compasso.
À distância entre as duas pontas do compasso define o raio da circunferência.
Utilizando uma tachinha, um barbante e um giz podem-se riscar uma circunferência no chão ou no tecido. Os operários, jardineiros e pedreiros, por exemplo, costumam usar uma corda e duas estacas.
Equação reduzida da circunferência
Uma circunferência é determinada quando conhecemos a posição do seu centro e o valor do seu raio. Imaginando no plano cartesiano uma circunferência de centro no ponto C = (a, b) e com raio R, vamos representar por P = (x, y) um ponto qualquer que pertence a essa circunferência. Que propriedade tem o ponto P?
Se P pertence à circunferência, sua distância até o centro é igual ao raio.
Como a distância do ponto C = (a, b) ao ponto P = (x, y) é igual a R, usando a fórmula da distância entre dois pontos temos:
(x - a)2 + (y - b)2 = R
Elevando ao quadrado os dois membros, a expressão obtida é a equação da circunferência de centro (a, b) e raio R.
Portanto, (x - a)² + (y - b)² = r² é a equação reduzida da circunferência e permite determinar os elementos essenciais para a construção da circunferência: as coordenadas do centro e o raio.
Observação: Quando o centro da circunferência estiver na origem (C(0,0)), a equação da circunferência será x² + y² = r² .
Exemplo:
Seja uma circunferência cuja equação é:
(x - 2) ² + (y - 3)² = 100
Verificar se a circunferência passa pela origem ,quais as coordenadas do centro e quanto vale o raio:
Pela expressão temos que: R = 10 e C(2,3)
Fazendo x=0 e y=0, temos que: (-2) ² + (-3) ² = 13
Como 13 é diferente de 100, logo a circunferência não passa pela origem.
Equação geral da circunferência
Desenvolvendo a equação reduzida, obtemos a equação geral da circunferência:
Como exemplo, vamos determinar a equação geral da circunferência de centro C(2, -3) e raio r = 4.
A equação reduzida da circunferência é:
(x - 2)² +(y + 3) ² = 16
Desenvolvendo os quadrados dos binômios, temos:
Determinação do centro e do raio da circunferência, dada a equação geral
Dada a equação geral de uma circunferência, utilizamos o processo de fatoração de trinômio quadrado perfeito para transformá-la na equação reduzida e , assim, determinamos o centro e o raio da circunferência.
Para tanto, a equação geral deve obedecer a duas condições:
* os coeficientes dos termos x² e y² devem ser iguais a 1;
* não deve existir o termo xy.
Então, vamos determinar o centro e o raio da circunferência cuja equação geral é
x² + y² - 6x + 2y - 6 = 0.
Observando a equação, vemos que ela obedece às duas condições. Assim:
* 1º passo: agrupamos os termos em x e os termos em y e isolamos o termo independente
x² - 6x + _ + y² + 2y + _ = 6
* 2º passo: determinamos os termos que completam os quadrados perfeitos nas variáveis x e y, somando a ambos os membros as parcelas correspondentes
* 3º passo: fatoramos os trinômios quadrados perfeitos
(x - 3) ² + (y + 1) ² = 16
* 4º passo: obtida a equação reduzida, determinamos o centro e o raio
Posição de um ponto em relação a uma circunferência
Em relação à circunferência de equação (x - a) ² + (y - b) ² = r², o ponto P(m, n) pode ocupar as seguintes posições:
a) P é exterior à circunferência
b) P pertence à circunferência
c) P é interior à circunferência
Assim, para determinar a posição de um ponto P(m, n) em relação a uma circunferência, basta substituir as coordenadas de P na expressão (x - a) ² + (y - b) ² - r²:
* se (m - a) ² + (n - b) ² - r² > 0, então P é exterior à circunferência;
* se (m - a) ² + (n - b) ² - r² = 0, então P pertence à circunferência;
* se (m - a) ² + (n - b) ² - r² < 0, então P é interior à circunferência.
Posição de uma reta em relação a uma circunferência
Dadas uma reta s: Ax + Bx + C = 0 e uma circunferência α de equação (x - a) ² + (y - b)² = r², vamos examinar as posições relativas entre s e α :
Também podemos determinar a posição de uma reta em relação a uma circunferência calculando a distância da reta ao centro da circunferência. Assim, dadas a reta s: Ax + By + C = 0 e a circunferência α :
(x - a) ² + ( y - b ) ² = r², temos:
Assim:
Condições de tangência entre reta e circunferência
Dados uma circunferência α e um ponto P(x, y) do plano, temos:
a) se P pertence à circunferência, então existe uma única reta tangente à circunferência por P
b) se P é exterior à circunferência, então existem duas retas tangentes a ela por P
c) se P é interior à circunferência, então não existe reta tangente à circunferência passando pelo ponto P
Posições Relativas entre Ponto e Circunferência
* Externo:
d > r ;
d - r > 0
* Interno:
d < r
d - r < 0
* Pertence à Circunferência:
d = r
d - r = 0
’
Posições Relativas entre Reta e Circunferência
* Tangente:
A reta tem um só ponto A comum com a circunferência, e os outros pontos da reta são exteriores à circunferência. A tangente a um círculo, num ponto, é a perpendicular ao raio que tem extremidade nesse ponto.
d = r
* Secante:
A reta tem dois pontos distintos A e B comuns com a circunferência.
d < r
* Externo:
A reta não tem ponto comum com a circunferência. Todos os pontos da reta são exteriores à circunferência
d > r
Posições Relativas entre duas Circunferências
* Não se interceptam: (d = distância entre os Centros)
* Externamente:
A duas circunferências não têm ponto em comum.
d > r1 + r2
* Internamente:
As duas circunferências não têm pontos em comum e os pontos de uma delas são interiores à outra.
d < |r1 - r2|
* São Tangentes:
* Externamente:
As duas circunferências têm um único ponto em comum e os demais pontos de uma delas são exteriores à outra. O ponto comum é o ponto de tangência.
d = r1 + r2
* Internamente:
As duas circunferências têm um único ponto em comum e os demais pontos de uma delas são interiores à outra. O ponto comum é o ponto da tangência.
d = |r1 - r2|
* São Secantes:
As duas circunferências têm dois pontos distintos em comum. São denominadas circunferências SECANTES.
|r1 - r2| < d < r1 + r2
* Caso particular: Concêntricas:
As duas circunferências são interiores e os centros das duas são coincidentes.
d = 0
Conclusão
Nosso trabalho consiste em falar sobre circunferência. Nesta ação, conseguimos compreender o que é circunferência; é o lugar geométrico de todos os pontos de um plano que estão localizados a uma mesma distância r de um ponto fixo denominado o centro da circunferência.
Este trabalho irá abordar sobre circunferência.
Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano eqüidistantes de um ponto fixo, desse mesmo plano, denominado centro da circunferência.
A circunferência possui características não comumente encontradas em outras figuras planas.
Círculo (ou disco) é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja distância a um ponto fixo 0 é menor ou igual que uma distância r dada.
Circunferência
A circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos de um plano que estão localizados a uma mesma distância r de um ponto fixo denominado o centro da circunferência.
A circunferência possui características não comumente encontradas em outras figuras planas, como o fato de ser a única figura plana que pode ser rodada em torno de um ponto sem modificar sua posição aparente. É também a única figura que é simétrica em relação a um número infinito de eixos de simetria. A circunferência é importante em praticamente todas as áreas do conhecimento como nas Engenharias, Matemática, Física, Química, Biologia, Arquitetura, Astronomia, Artes e também é muito utilizado na indústria e bastante utilizada nas residências das pessoas.
Algumas definições
Raio - Raio de uma circunferência (ou de um círculo) é um segmento de reta com uma extremidade no centro da circunferência e a outra extremidade num ponto qualquer da circunferência.
Arco – é uma parte da circunferência limitada por dois pontos, que se chamam extremidades do arco.
Corda – é um segmento de infinitos pontos alinhados, cujos pontos extremos com um ponto da circunferência. Quando esse segmento passa pelo centro da circunferência, temos o que chamamos de diâmetro.
O diâmetro é sempre a corda maior: como é a corda que passa pelo centro, sua medida é igual a duas vezes a medida do raio.
Assim, para medir a maior distância entre dois pontos de uma circunferência, deve medir o diâmetro, ou seja, o seu instrumento de medida (régua, trena ou fita métrica) deve passar pelo centro da circunferência. Em alguns casos, porém, apenas uma parte da circunferência é utilizada.
Tangente – é a reta que tem um único ponto comum à circunferência, este ponto é conhecido como ponto de tangência ou ponto de contato.
Secante – é a reta que intercepta a circunferência em dois pontos distintos, se essa reta intercepta a circunferência em dois pontos quaisquer, podemos dizer também que é a reta que contem uma corda.
Para simbolizar a corda que une os pontos P e Q, utilizamos a notação de segmento de reta, ou seja, corda PQ.
Por outro lado, o arco também começa em P e termina em Q mas, como você pode ver, a corda e o arco são diferentes e por isso a simbologia também deve ser diferente. Para o arco, usamos PQ.
Da mesma forma que a maior corda é o diâmetro, o maior arco é aquele que tem as
extremidades em um diâmetro. Esse arco é chamado semicircunferência, e a parte do círculo correspondente é chamada semicírculo.
O Comprimento da circunferência
Quanto maior for o raio (ou o diâmetro) de uma circunferência maior será o seu comprimento. Imagine que você vai caminhar em torno de uma praça circular: você andará menos em uma praça com 500 metros de diâmetro do que numa praça com 800 metros de diâmetro.
No exemplo abaixo, cada uma das três circunferências foi cortada no ponto marcado com uma tesourinha, e a linha do traçado de cada uma delas foi esticada.
Círculo
Círculo (ou disco) é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja distância a um ponto fixo 0 é menor ou igual que uma distância r dada. Quando a distância é nula, o círculo se reduz a um ponto. O círculo é a reunião da circunferência com o conjunto de pontos localizados dentro da mesma. É uma figura geométrica bastante comum em nosso dia-a-dia. Observe à sua volta quantos objetos circulares estão presentes: nas moedas, nos discos, a mesa de refeição...
Agora pense, o que faríamos para:
* riscar no tecido o contorno de uma toalha de mesa redonda?
* desenhar um círculo no seu caderno?
* marcar o limite das escavações de um poço no chão?
Quando falamos em círculo, ninguém tem dúvida quanto ao formato dessa figura geométrica. No entanto, em geometria, costuma-se fazer uma pequena distinção entre círculo e circunferência, sobre a qual você já deve ter ouvido falar.
A superfície de uma moeda, de uma pizza ou de um disco é um círculo.
Quando riscamos no papel ou no chão apenas o contorno do círculo, este contorno é chamado circunferência. O compasso é um instrumento utilizado para desenhar circunferências.
O compasso possui duas “pernas”, uma delas tem uma ponta metálica, que deve ser assentada no papel, no local que será o centro da circunferência, a outra ponta,
com a grafite, deve ser girada para obter o traçado da circunferência.
Antes de traçar uma circunferência, devemos decidir qual será a abertura entre as pernas do compasso.
À distância entre as duas pontas do compasso define o raio da circunferência.
Utilizando uma tachinha, um barbante e um giz podem-se riscar uma circunferência no chão ou no tecido. Os operários, jardineiros e pedreiros, por exemplo, costumam usar uma corda e duas estacas.
Equação reduzida da circunferência
Uma circunferência é determinada quando conhecemos a posição do seu centro e o valor do seu raio. Imaginando no plano cartesiano uma circunferência de centro no ponto C = (a, b) e com raio R, vamos representar por P = (x, y) um ponto qualquer que pertence a essa circunferência. Que propriedade tem o ponto P?
Se P pertence à circunferência, sua distância até o centro é igual ao raio.
Como a distância do ponto C = (a, b) ao ponto P = (x, y) é igual a R, usando a fórmula da distância entre dois pontos temos:
(x - a)2 + (y - b)2 = R
Elevando ao quadrado os dois membros, a expressão obtida é a equação da circunferência de centro (a, b) e raio R.
Portanto, (x - a)² + (y - b)² = r² é a equação reduzida da circunferência e permite determinar os elementos essenciais para a construção da circunferência: as coordenadas do centro e o raio.
Observação: Quando o centro da circunferência estiver na origem (C(0,0)), a equação da circunferência será x² + y² = r² .
Exemplo:
Seja uma circunferência cuja equação é:
(x - 2) ² + (y - 3)² = 100
Verificar se a circunferência passa pela origem ,quais as coordenadas do centro e quanto vale o raio:
Pela expressão temos que: R = 10 e C(2,3)
Fazendo x=0 e y=0, temos que: (-2) ² + (-3) ² = 13
Como 13 é diferente de 100, logo a circunferência não passa pela origem.
Equação geral da circunferência
Desenvolvendo a equação reduzida, obtemos a equação geral da circunferência:
Como exemplo, vamos determinar a equação geral da circunferência de centro C(2, -3) e raio r = 4.
A equação reduzida da circunferência é:
(x - 2)² +(y + 3) ² = 16
Desenvolvendo os quadrados dos binômios, temos:
Determinação do centro e do raio da circunferência, dada a equação geral
Dada a equação geral de uma circunferência, utilizamos o processo de fatoração de trinômio quadrado perfeito para transformá-la na equação reduzida e , assim, determinamos o centro e o raio da circunferência.
Para tanto, a equação geral deve obedecer a duas condições:
* os coeficientes dos termos x² e y² devem ser iguais a 1;
* não deve existir o termo xy.
Então, vamos determinar o centro e o raio da circunferência cuja equação geral é
x² + y² - 6x + 2y - 6 = 0.
Observando a equação, vemos que ela obedece às duas condições. Assim:
* 1º passo: agrupamos os termos em x e os termos em y e isolamos o termo independente
x² - 6x + _ + y² + 2y + _ = 6
* 2º passo: determinamos os termos que completam os quadrados perfeitos nas variáveis x e y, somando a ambos os membros as parcelas correspondentes
* 3º passo: fatoramos os trinômios quadrados perfeitos
(x - 3) ² + (y + 1) ² = 16
* 4º passo: obtida a equação reduzida, determinamos o centro e o raio
Posição de um ponto em relação a uma circunferência
Em relação à circunferência de equação (x - a) ² + (y - b) ² = r², o ponto P(m, n) pode ocupar as seguintes posições:
a) P é exterior à circunferência
b) P pertence à circunferência
c) P é interior à circunferência
Assim, para determinar a posição de um ponto P(m, n) em relação a uma circunferência, basta substituir as coordenadas de P na expressão (x - a) ² + (y - b) ² - r²:
* se (m - a) ² + (n - b) ² - r² > 0, então P é exterior à circunferência;
* se (m - a) ² + (n - b) ² - r² = 0, então P pertence à circunferência;
* se (m - a) ² + (n - b) ² - r² < 0, então P é interior à circunferência.
Posição de uma reta em relação a uma circunferência
Dadas uma reta s: Ax + Bx + C = 0 e uma circunferência α de equação (x - a) ² + (y - b)² = r², vamos examinar as posições relativas entre s e α :
Também podemos determinar a posição de uma reta em relação a uma circunferência calculando a distância da reta ao centro da circunferência. Assim, dadas a reta s: Ax + By + C = 0 e a circunferência α :
(x - a) ² + ( y - b ) ² = r², temos:
Assim:
Condições de tangência entre reta e circunferência
Dados uma circunferência α e um ponto P(x, y) do plano, temos:
a) se P pertence à circunferência, então existe uma única reta tangente à circunferência por P
b) se P é exterior à circunferência, então existem duas retas tangentes a ela por P
c) se P é interior à circunferência, então não existe reta tangente à circunferência passando pelo ponto P
Posições Relativas entre Ponto e Circunferência
* Externo:
d > r ;
d - r > 0
* Interno:
d < r
d - r < 0
* Pertence à Circunferência:
d = r
d - r = 0
’
Posições Relativas entre Reta e Circunferência
* Tangente:
A reta tem um só ponto A comum com a circunferência, e os outros pontos da reta são exteriores à circunferência. A tangente a um círculo, num ponto, é a perpendicular ao raio que tem extremidade nesse ponto.
d = r
* Secante:
A reta tem dois pontos distintos A e B comuns com a circunferência.
d < r
* Externo:
A reta não tem ponto comum com a circunferência. Todos os pontos da reta são exteriores à circunferência
d > r
Posições Relativas entre duas Circunferências
* Não se interceptam: (d = distância entre os Centros)
* Externamente:
A duas circunferências não têm ponto em comum.
d > r1 + r2
* Internamente:
As duas circunferências não têm pontos em comum e os pontos de uma delas são interiores à outra.
d < |r1 - r2|
* São Tangentes:
* Externamente:
As duas circunferências têm um único ponto em comum e os demais pontos de uma delas são exteriores à outra. O ponto comum é o ponto de tangência.
d = r1 + r2
* Internamente:
As duas circunferências têm um único ponto em comum e os demais pontos de uma delas são interiores à outra. O ponto comum é o ponto da tangência.
d = |r1 - r2|
* São Secantes:
As duas circunferências têm dois pontos distintos em comum. São denominadas circunferências SECANTES.
|r1 - r2| < d < r1 + r2
* Caso particular: Concêntricas:
As duas circunferências são interiores e os centros das duas são coincidentes.
d = 0
Conclusão
Nosso trabalho consiste em falar sobre circunferência. Nesta ação, conseguimos compreender o que é circunferência; é o lugar geométrico de todos os pontos de um plano que estão localizados a uma mesma distância r de um ponto fixo denominado o centro da circunferência.
segunda-feira, 28 de dezembro de 2009
Cálculo Diferencial
Para os leitores mais interessados nas origens das palavras, calculus, na Roma antiga, era uma pequena pedra ou seixo utilizado para contagem e jogo, e o verbo latino calculare passou a significar "figurar", "computar", "calcular". Hoje o Cálculo é um sistema de métodos para resolver problemas quantitativos de uma natureza particular, como no cálculo de probabilidades, no cálculo de variações, etc. O cálculo abordado agora é às vezes chamado o Cálculo para distingui-lo de todos os outros cálculos subordinados.
Às vezes é dito que o cálculo foi inventado por aqueles dois grandes gênios do século XVII, Newton e Leibniz. Na verdade o Cálculo é produto de um longo processo evolutivo que começou na Grécia Antiga e continuou no século XIX. Newton e Leibniz foram homens verdadeiramente notáveis e suas contribuições foram de importância decisiva, mas o assunto nem começou tampouco terminou com eles.
Problemas semelhantes estavam presentes nas mentes de muitos cientistas europeus do século XVII, tendo destaques às realizações de Fermat, onde cada um colaborou imensurávelmente com engenhosos métodos de resolução de problemas. A grande realização de Newton e Leibniz foi reconhecer e explorar a intrínseca relação entre o problema da tangente a uma função f(x) e a área sob esse mesmo gráfico, que na época ninguém entendia muito bem.
Podemos dizer que eles foram os primeiros a entenderem profundamente o Teorema Fundamental do Cálculo, o que diz que a solução do problema da tangente pode ser utilizada para resolver o problema da área. Esse teorema, certamente o mais importante da matemática, foi descoberto por cada um deles, quase que simultaneamente, independentemente um do outro. Porém sendo o trabalho de Leibniz mais claro, atribuíram-lhe todos méritos. Seus sucessores uniram os dois fantásticos raciocínios para criar uma arte de resolução de problemas de poder e versatilidade impressionantes.
OS PROBLEMAS BÁSICOS DO CÁLCULO.
Os problemas do cálculo resumem-se em um numero de dois, são eles: o problema das retas tangentes e o problema das áreas sob uma curva. Iniciaremos nossa abordagem pelo problema das tangentes, pois para dissolvermos o problema das áreas é necessário, anteriormente, o domínio de artifícios geométricos e algébricos propostos pelas tangentes.
Temos então uma reta tangente a uma curva expressa por y = f(x), nosso estará concentrado em encontrar o coeficiente angular formado entre a reta tangente e a curva. Antes de prosseguirmos devemos ter total conhecimento do que é uma reta tangente. Temos uma circunferência como exemplo, uma reta tangente seria aquela que interceptaria a circunferência em apenas um ponto, esse seria o nosso ponto de tangencia, portanto as retas não tangentes interceptam a curva em dois ou mais pontos ou interceptam-na em ponto nenhum.
Essa situação reflete a idéia que a maioria das pessoas tem de tangente à uma curva num ponto dado como sendo uma reta que toca a curva naquele ponto. Essa definição foi usada com sucesso pelos gregos ao tratarem de circunferências e algumas curvas especiais, mas, para curvas em geral, ela é falha. Observando a figura abaixo vemos que a reta R1 tangencia a curva perfeitamente, porém o mesmo não ocorre com R2, visualmente a reta toca a curva em um único ponto, isso é óbvio, ainda assim ela não é uma reta tangente.
Eis que Fermat, grande matemático do século XVII, generalizou o conceito de reta tangente à curvas quaisquer, o enunciado era o seguinte: considere uma curva f(x) e P um dado ponto fixo sobre essa curva. Considere Q um segundo ponto próximo de P sobre essa curva e desenhe uma reta secante PQ.
A reta tangente à P pode ser encarada como posição-limite da reta secante variável quando Q desliza ao longo da curva em direção a P. Veremos mais adiante que essa idéia qualitativa nos leva a métodos quantitativos para o cálculo do coeficiente angular exato em termos da função f(x). É preciso não banalizar tal conceito, pois, sem ele, não haveria a formalização do conceito de velocidade e aceleração instantânea ou qualquer tipo de força em Física.
Às vezes é dito que o cálculo foi inventado por aqueles dois grandes gênios do século XVII, Newton e Leibniz. Na verdade o Cálculo é produto de um longo processo evolutivo que começou na Grécia Antiga e continuou no século XIX. Newton e Leibniz foram homens verdadeiramente notáveis e suas contribuições foram de importância decisiva, mas o assunto nem começou tampouco terminou com eles.
Problemas semelhantes estavam presentes nas mentes de muitos cientistas europeus do século XVII, tendo destaques às realizações de Fermat, onde cada um colaborou imensurávelmente com engenhosos métodos de resolução de problemas. A grande realização de Newton e Leibniz foi reconhecer e explorar a intrínseca relação entre o problema da tangente a uma função f(x) e a área sob esse mesmo gráfico, que na época ninguém entendia muito bem.
Podemos dizer que eles foram os primeiros a entenderem profundamente o Teorema Fundamental do Cálculo, o que diz que a solução do problema da tangente pode ser utilizada para resolver o problema da área. Esse teorema, certamente o mais importante da matemática, foi descoberto por cada um deles, quase que simultaneamente, independentemente um do outro. Porém sendo o trabalho de Leibniz mais claro, atribuíram-lhe todos méritos. Seus sucessores uniram os dois fantásticos raciocínios para criar uma arte de resolução de problemas de poder e versatilidade impressionantes.
OS PROBLEMAS BÁSICOS DO CÁLCULO.
Os problemas do cálculo resumem-se em um numero de dois, são eles: o problema das retas tangentes e o problema das áreas sob uma curva. Iniciaremos nossa abordagem pelo problema das tangentes, pois para dissolvermos o problema das áreas é necessário, anteriormente, o domínio de artifícios geométricos e algébricos propostos pelas tangentes.
Temos então uma reta tangente a uma curva expressa por y = f(x), nosso estará concentrado em encontrar o coeficiente angular formado entre a reta tangente e a curva. Antes de prosseguirmos devemos ter total conhecimento do que é uma reta tangente. Temos uma circunferência como exemplo, uma reta tangente seria aquela que interceptaria a circunferência em apenas um ponto, esse seria o nosso ponto de tangencia, portanto as retas não tangentes interceptam a curva em dois ou mais pontos ou interceptam-na em ponto nenhum.
Essa situação reflete a idéia que a maioria das pessoas tem de tangente à uma curva num ponto dado como sendo uma reta que toca a curva naquele ponto. Essa definição foi usada com sucesso pelos gregos ao tratarem de circunferências e algumas curvas especiais, mas, para curvas em geral, ela é falha. Observando a figura abaixo vemos que a reta R1 tangencia a curva perfeitamente, porém o mesmo não ocorre com R2, visualmente a reta toca a curva em um único ponto, isso é óbvio, ainda assim ela não é uma reta tangente.
Eis que Fermat, grande matemático do século XVII, generalizou o conceito de reta tangente à curvas quaisquer, o enunciado era o seguinte: considere uma curva f(x) e P um dado ponto fixo sobre essa curva. Considere Q um segundo ponto próximo de P sobre essa curva e desenhe uma reta secante PQ.
A reta tangente à P pode ser encarada como posição-limite da reta secante variável quando Q desliza ao longo da curva em direção a P. Veremos mais adiante que essa idéia qualitativa nos leva a métodos quantitativos para o cálculo do coeficiente angular exato em termos da função f(x). É preciso não banalizar tal conceito, pois, sem ele, não haveria a formalização do conceito de velocidade e aceleração instantânea ou qualquer tipo de força em Física.
Binômio de Newton
Denomina-se Binômio de Newton , a todo binômio da forma (a + b)n , sendo n um número natural .
Exemplo:
B = (3x - 2y)4 ( onde a = 3x, b = -2y e n = 4 [grau do binômio] ).
Nota 1:
Isaac Newton - físico e matemático inglês(1642 - 1727).
Suas contribuições à Matemática, estão reunidas na monumental obra Principia Mathematica, escrita em 1687.
Exemplos de desenvolvimento de binômios de Newton:
a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
b) (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3
c) (a + b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4
d) (a + b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5ab4 + b5
Nota 2:
Não é necessário memorizar as fórmulas acima, já que elas possuem uma lei de formação bem definida, senão vejamos:
Vamos tomar por exemplo, o item (d) acima:
Observe que o expoente do primeiro e últimos termos são iguais ao expoente do binômio,
ou seja, igual a 5.
A partir do segundo termo, os coeficientes podem ser obtidos a partir da seguinte regra prática de fácil memorização:
Multiplicamos o coeficiente de a pelo seu expoente e dividimos o resultado pela ordem do termo. O resultado será o coeficiente do próximo termo. Assim por exemplo, para obter o coeficiente do terceiro termo do item (d) acima teríamos: 5.4 = 20; agora dividimos 20 pela ordem do termo anterior (2 por se tratar do segundo termo) 20:2 = 10 que é o coeficiente do terceiro termo procurado.
Observe que os expoentes da variável a decrescem de n até 0 e os expoentes de b crescem de 0 até n. Assim o terceiro termo é 10 a3b2 (observe que o expoente de a decresceu de 4 para 3 e o de b cresceu de 1 para 2).
Usando a regra prática acima, o desenvolvimento do binômio de Newton (a + b)7 será:
(a + b)7 = a7 + 7 a6b + 21 a5b2 + 35 a4b3 + 35 a3b4 + 21 a2b5 + 7 ab6 + b7
Como obtivemos, por exemplo, o coeficiente do 6º termo (21 a2b5) ?
Pela regra: coeficiente do termo anterior = 35. Multiplicamos 35 pelo expoente de a que é igual a 3 e dividimos o resultado pela ordem do termo que é 5.
Então, 35 . 3 = 105 e dividindo por 5 (ordem do termo anterior) vem 105:5 = 21, que é o coeficiente do sexto termo, conforme se vê acima.
Observações:
1) o desenvolvimento do binômio (a + b)n é um polinômio.
2) o desenvolvimento de (a + b)n possui n + 1 termos .
3) os coeficientes dos termos eqüidistantes dos extremos , no desenvolvimento de (a + b)n são iguais .
4) a soma dos coeficientes de (a + b)n é igual a 2n .
Fórmula do termo geral de um Binômio de Newton
Um termo genérico Tp+1 do desenvolvimento de (a+b)n , sendo p um número natural, é dado por
OBS:Sendo as formulas estão logo no começo do texto.
é denominado Número Binomial e Cn.p é o número de combinações simples de n elementos, agrupados p a p, ou seja, o número de combinações simples de n elementos de taxa p. Este número é também conhecido como Número Combinatório.
Exercícios Resolvidos:
1 - Determine o 7º termo do binômio (2x + 1)9 , desenvolvido segundo as potências decrescentes de x.
Solução:
Vamos aplicar a fórmula do termo geral de (a + b)n , onde a = 2x , b = 1 e n = 9. Como queremos o sétimo termo, fazemos p = 6 na fórmula do termo geral e efetuamos os cálculos indicados. Temos então:
T6+1 = T7 = C9,6 . (2x)9-6 . (1)6 = 9! /[(9-6)! . 6!] . (2x)3 . 1 = 9.8.7.6! / 3.2.1.6! . 8x3 = 84.8x3 = 672x3.
Portanto o sétimo termo procurado é 672x3.
2 - Qual o termo médio do desenvolvimento de (2x + 3y)8 ?
Solução:
Temos a = 2x , b = 3y e n = 8. Sabemos que o desenvolvimento do binômio terá 9 termos, porque
n = 8. Ora sendo T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 os termos do desenvolvimento do binômio, o termo do meio (termo médio) será o T5 (quinto termo). Logo, o nosso problema resume-se ao cálculo do T5 . Para isto, basta fazer p = 4 na fórmula do termo geral e efetuar os cálculos decorrentes. Teremos:
T4+1 = T5 = C8,4 . (2x)8-4 . (3y)4 = 8! / [(8-4)! . 4!] . (2x)4 . (3y)4 = 8.7.6.5.4! / (4! . 4.3.2.1) . 16x4.81y4
Fazendo as contas vem:
T5 = 70.16.81.x4 . y4 = 90720x4y4 , que é o termo médio procurado.
3 - Desenvolvendo o binômio (2x - 3y)3n , obtemos um polinômio de 16 termos . Qual o valor de n?
Solução:
Ora, se o desenvolvimento do binômio possui 16 termos, então o expoente do binômio é igual a 15.
Logo, 3n = 15 de onde conclui-se que n = 5.?
4 - Qual a soma dos coeficientes dos termos do desenvolvimento de :
a) (2x - 3y)12 ?
Resp: 1
b) (x - y)50 ?
Resp: 0
Solução:
a) basta fazer x=1 e y=1. Logo, a soma S procurada será: S = (2.1 -3.1)12 = (-1)12 = 1
b) analogamente, fazendo x = 1 e y = 1, vem: S = (1 - 1)50 = 050 = 0.
5 - Determine o termo independente de x no desenvolvimento de (x + 1/x )6 .
Solução:
Sabemos que o termo independente de x é aquele que não depende de x, ou seja, aquele que não possui x.
Temos no problema dado: a = x , b = 1/x e n = 6.
Pela fórmula do termo geral, podemos escrever:
Tp+1 = C6,p . x6-p . (1/x)p = C6,p . x6-p . x-p = C6,p . x6-2p .
Ora, para que o termo seja independente de x, o expoente desta variável deve ser zero,
pois x0 = 1. Logo, fazendo 6 - 2p = 0, obtemos p=3. Substituindo então p por 6, teremos o termo procurado. Temos então:
T3+1 = T4 = C6,3 . x0 = C6,3 = 6! /[(6-3)! . 3! ] = 6.5.4.3! / 3!.3.2.1 = 20.
Logo, o termo independente de x é o T4 (quarto termo) que é igual a 20.
Exercícios propostos
1) Qual é o termo em x5 no desenvolvimento de (x + 3)8 ?
2) Determine a soma dos coeficientes do desenvolvimento de (x - 3y)7 .
3) Qual é o valor do produto dos coeficientes do 2o. e do penúltimo termo do desenvolvimento de (x - 1)80 ?
4) FGV-SP - Desenvolvendo-se a expressão [(x + 1/x) . (x - 1/x)]6 , obtém-se como termo independente de x o valor:
a) 10
b) -10
c) 20
d) -20
e) 36
5) UF. VIÇOSA - A soma dos coeficientes do desenvolvimento de (2x + 3y)m é 625. O valor de m é:
a) 5
b) 6
c)10
d) 3
e) 4
6) MACK-SP - Os 3 primeiros coeficientes no desenvolvimento de (x2 + 1/(2x))n estão em progressão aritmética.O valor de n é:
a) 4
b) 6
c) 8
d) 10
e) 12
7) No desenvolvimento de (3x + 13)n há 13 termos. A soma dos coeficientes destes termos
é igual a:
Resp: 248
8 - UFBA-92 - Sabendo-se que a soma dos coeficientes no desenvolvimento do binômio (a + b)m é igual a 256, calcule (m/2)!
Resp: 24
9 - UFBA-88 - Calcule o termo independente de x no desenvolvimento de (x2 + 1/x)9.
Resp: O termo independente de x é o sétimo e é igual a 84.
10 - Calcule a soma dos coeficientes do desenvolvimento do binômio (3x - 1)10.
Resp: 1024
Gabarito:
1) T4 = 1512.x5
2) – 128
3) 6400
4) D
5) E
6) 8
7) 248
8) 24
9) 84
10) 1024
domingo, 27 de dezembro de 2009
Arranjos e Permutações
São agrupamentos formados com p elementos, (p
Simples
Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos.
Fórmula: As(m,p) = m!/(m-p)!
Cálculo para o exemplo: As(4,2) = 4!/2!=24/2=12
Exemplo: Seja Z={A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os arranjos simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 12 grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento mas que podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:
As={AB,AC,AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,DC}
Com repetição
Todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo de p elementos.
Fórmula: Ar(m,p) = mp
Cálculo para o exemplo: Ar(4,2) = 42=16
Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os arranjos com repetição desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 16 grupos que onde aparecem elementos repetidos em cada grupo. Todos os agrupamentos estão no conjunto:
Ar={AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,DB,DC,DD}
Condicional
Todos os elementos aparecem em cada grupo de p elementos, mas existe uma condição que deve ser satisfeita acerca de alguns elementos.
Fórmula: N=A(m1,p1).A(m-m1,p-p1)
Cálculo para o exemplo: N=A(3,2).A(7-3,4-2)=A(3,2).A(4,2)=6×12=72
Exemplo: Quantos arranjos com 4 elementos do conjunto {A,B,C,D,E,F,G}, começam com duas letras escolhidas no subconjunto {A,B,C}?
Aqui temos um total de m=7 letras, a taxa é p=4, o subconjunto escolhido tem m1=3 elementos e a taxa que este subconjunto será formado é p1=2. Com as letras A,B e C, tomadas 2 a 2, temos 6 grupos que estão no conjunto:
PABC = {AB,BA,AC,CA,BC,CB}
Com as letras D,E,F e G tomadas 2 a 2, temos 12 grupos que estão no conjunto:
PDEFG = {DE,DF,DG,ED,EF,EG,FD,FE,FG,GD,GE,GF}
Usando a regra do produto, teremos 72 possibilidades obtidas pela junção de um elemento do conjunto PABC com um elemento do conjunto PDEFG. Um típico arranjo para esta situação é CAFG.
---------------------------------------------------------
Permutações
Quando formamos agrupamentos com m elementos, de forma que os m elementos sejam distintos entre sí pela ordem. As permutações podem ser simples, com repetição ou circulares.
Simples
São agrupamentos com todos os m elementos distintos.
Fórmula: Ps(m) = m!
Cálculo para o exemplo: Ps(3) = 3!=6
Exemplo: Seja C={A,B,C} e m=3. As permutações simples desses 3 elementos são 6 agrupamentos que não podem ter a repetição de qualquer elemento em cada grupo mas podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:
Ps={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}
Com repetição
Dentre os m elementos do conjunto C={x1,x2,x3,...,xn}, faremos a suposição que existem m1 iguais a x1, m2 iguais a x2, m3 iguais a x3, ... , mn iguais a xn, de modo que m1+m2+m3+...+mn=m.
Fórmula: Se m=m1+m2+m3+...+mn, então
Pr(m)=C(m,m1).C(m-m1,m2). C(m-m1-m2,m3) ... C(mn,mn)
Anagrama: Um anagrama é uma (outra) palavra construída com as mesmas letras da palavra original trocadas de posição.
Cálculo para o exemplo: m1=4, m2=2, m3=1, m4=1 e m=6, logo: Pr(6)=C(6,4).C(6-4,2).C(6-4-1,1)=C(6,4).C(2,2).C(1,1)=15
Exemplo: Quantos anagramas podemos formar com as 6 letras da palavra ARARAT. A letra A ocorre 3 vezes, a letra R ocorre 2 vezes e a letra T ocorre 1 vez. As permutações com repetição desses 3 elementos do conjunto C={A,R,T} em agrupamentos de 6 elementos são 15 grupos que contêm a repetição de todos os elementos de C aparecendo também na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:
Pr={AAARRT,AAATRR,AAARTR,AARRTA,AARTTA,
AATRRA,AARRTA,ARAART,ARARAT,ARARTA,
ARAATR,ARAART,ARAATR,ATAARA,ATARAR}
Circulares
Ocorre quando obtemos grupos com m elementos distintos formando uma circunferência de círculo.
Fórmula: Pc(m) = (m-1)!
Cálculo para o exemplo: P(4)=3!=6
Exemplo: Seja um conjunto com 4 pessoas K={A,B,C,D}. De quantos modos distintos estas pessoas poderão sentar-se junto a uma mesa circular (pode ser retangular) para realizar o jantar sem que haja repetição das posições?
Se considerássemos todas as permutações simples possíveis com estas 4 pessoas, teriamos 24 grupos, apresentados no conjunto:
Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB,BACD,BADC,
BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CADB,CBAD,CBDA,
CDAB,CDBA, DABC,DACB,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA}
Acontece que junto a uma mesa "circular" temos que:
ABCD=BCDA=CDAB=DABC
ABDC=BDCA=DCAB=CABD
ACBD=CBDA=BDAC=DACB
ACDB=CDBA=DBAC=BACD
ADBC=DBCA=BCAD=CADB
ADCB=DCBA=CBAD=BADC
o que significa existem somente 6 grupos distintos, dados por:
Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB}
Simples
Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos.
Fórmula: As(m,p) = m!/(m-p)!
Cálculo para o exemplo: As(4,2) = 4!/2!=24/2=12
Exemplo: Seja Z={A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os arranjos simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 12 grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento mas que podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:
As={AB,AC,AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,DC}
Com repetição
Todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo de p elementos.
Fórmula: Ar(m,p) = mp
Cálculo para o exemplo: Ar(4,2) = 42=16
Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os arranjos com repetição desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 16 grupos que onde aparecem elementos repetidos em cada grupo. Todos os agrupamentos estão no conjunto:
Ar={AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,DB,DC,DD}
Condicional
Todos os elementos aparecem em cada grupo de p elementos, mas existe uma condição que deve ser satisfeita acerca de alguns elementos.
Fórmula: N=A(m1,p1).A(m-m1,p-p1)
Cálculo para o exemplo: N=A(3,2).A(7-3,4-2)=A(3,2).A(4,2)=6×12=72
Exemplo: Quantos arranjos com 4 elementos do conjunto {A,B,C,D,E,F,G}, começam com duas letras escolhidas no subconjunto {A,B,C}?
Aqui temos um total de m=7 letras, a taxa é p=4, o subconjunto escolhido tem m1=3 elementos e a taxa que este subconjunto será formado é p1=2. Com as letras A,B e C, tomadas 2 a 2, temos 6 grupos que estão no conjunto:
PABC = {AB,BA,AC,CA,BC,CB}
Com as letras D,E,F e G tomadas 2 a 2, temos 12 grupos que estão no conjunto:
PDEFG = {DE,DF,DG,ED,EF,EG,FD,FE,FG,GD,GE,GF}
Usando a regra do produto, teremos 72 possibilidades obtidas pela junção de um elemento do conjunto PABC com um elemento do conjunto PDEFG. Um típico arranjo para esta situação é CAFG.
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Permutações
Quando formamos agrupamentos com m elementos, de forma que os m elementos sejam distintos entre sí pela ordem. As permutações podem ser simples, com repetição ou circulares.
Simples
São agrupamentos com todos os m elementos distintos.
Fórmula: Ps(m) = m!
Cálculo para o exemplo: Ps(3) = 3!=6
Exemplo: Seja C={A,B,C} e m=3. As permutações simples desses 3 elementos são 6 agrupamentos que não podem ter a repetição de qualquer elemento em cada grupo mas podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:
Ps={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}
Com repetição
Dentre os m elementos do conjunto C={x1,x2,x3,...,xn}, faremos a suposição que existem m1 iguais a x1, m2 iguais a x2, m3 iguais a x3, ... , mn iguais a xn, de modo que m1+m2+m3+...+mn=m.
Fórmula: Se m=m1+m2+m3+...+mn, então
Pr(m)=C(m,m1).C(m-m1,m2). C(m-m1-m2,m3) ... C(mn,mn)
Anagrama: Um anagrama é uma (outra) palavra construída com as mesmas letras da palavra original trocadas de posição.
Cálculo para o exemplo: m1=4, m2=2, m3=1, m4=1 e m=6, logo: Pr(6)=C(6,4).C(6-4,2).C(6-4-1,1)=C(6,4).C(2,2).C(1,1)=15
Exemplo: Quantos anagramas podemos formar com as 6 letras da palavra ARARAT. A letra A ocorre 3 vezes, a letra R ocorre 2 vezes e a letra T ocorre 1 vez. As permutações com repetição desses 3 elementos do conjunto C={A,R,T} em agrupamentos de 6 elementos são 15 grupos que contêm a repetição de todos os elementos de C aparecendo também na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:
Pr={AAARRT,AAATRR,AAARTR,AARRTA,AARTTA,
AATRRA,AARRTA,ARAART,ARARAT,ARARTA,
ARAATR,ARAART,ARAATR,ATAARA,ATARAR}
Circulares
Ocorre quando obtemos grupos com m elementos distintos formando uma circunferência de círculo.
Fórmula: Pc(m) = (m-1)!
Cálculo para o exemplo: P(4)=3!=6
Exemplo: Seja um conjunto com 4 pessoas K={A,B,C,D}. De quantos modos distintos estas pessoas poderão sentar-se junto a uma mesa circular (pode ser retangular) para realizar o jantar sem que haja repetição das posições?
Se considerássemos todas as permutações simples possíveis com estas 4 pessoas, teriamos 24 grupos, apresentados no conjunto:
Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB,BACD,BADC,
BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CADB,CBAD,CBDA,
CDAB,CDBA, DABC,DACB,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA}
Acontece que junto a uma mesa "circular" temos que:
ABCD=BCDA=CDAB=DABC
ABDC=BDCA=DCAB=CABD
ACBD=CBDA=BDAC=DACB
ACDB=CDBA=DBAC=BACD
ADBC=DBCA=BCAD=CADB
ADCB=DCBA=CBAD=BADC
o que significa existem somente 6 grupos distintos, dados por:
Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB}
Análise Combinatória
Análise Combinatória é um conjunto de procedimentos que possibilita a construção de grupos diferentes formados por um número finito de elementos de um conjunto sob certas circunstâncias.
Na maior parte das vezes, tomaremos conjuntos Z com m elementos e os grupos formados com elementos de Z terão p elementos, isto é, p será a taxa do agrupamento, com p
Arranjos, Permutações ou Combinações, são os três tipos principais de agrupamentos, sendo que eles podem ser simples, com repetição ou circulares. Apresentaremos alguns detalhes de tais agrupamentos.
Observação: É comum encontrarmos na literatura termos como: arranjar, combinar ou permutar, mas todo o cuidado é pouco com os mesmos, que às vezes são utilizados em concursos em uma forma dúbia!
Arranjos
São agrupamentos formados com p elementos, (p
Arranjo simples: Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos.
Fórmula: As(m,p) = m!/(m-p)!
Cálculo para o exemplo: As(4,2) = 4!/2!=24/2=12.
Exemplo: Seja Z={A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os arranjos simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 12 grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento mas que podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:
As={AB,AC,AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,DC}
Permutações
Quando formamos agrupamentos com m elementos, de forma que os m elementos sejam distintos entre sí pela ordem. As permutações podem ser simples, com repetição ou circulares.
Permutação simples: São agrupamentos com todos os m elementos distintos.
Fórmula: Ps(m) = m!.
Cálculo para o exemplo: Ps(3) = 3!=6.
Exemplo: Seja C={A,B,C} e m=3. As permutações simples desses 3 elementos são 6 agrupamentos que não podem ter a repetição de qualquer elemento em cada grupo mas podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:
Ps={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}
Permutação com repetição: Dentre os m elementos do conjunto C={x1,x2,x3,...,xn}, faremos a suposição que existem m1 iguais a x1, m2 iguais a x2, m3 iguais a x3, ... , mn iguais a xn, de modo que m1+m2+m3+...+mn=m.
Fórmula: Se m=m1+m2+m3+...+mn, então
Pr(m)=C(m,m1).C(m-m1,m2).C(m-m1-m2,m3) ... C(mn,mn)
Anagrama: Um anagrama é uma (outra) palavra construída com as mesmas letras da palavra original trocadas de posição.
Cálculo para o exemplo: m1=4, m2=2, m3=1, m4=1 e m=6, logo: Pr(6)=C(6,4).C(6-4,2).C(6-4-1,1)=C(6,4).C(2,2).C(1,1)=15.
Exemplo: Quantos anagramas podemos formar com as 6 letras da palavra ARARAT. A letra A ocorre 3 vezes, a letra R ocorre 2 vezes e a letra T ocorre 1 vez. As permutações com repetição desses 3 elementos do conjunto C={A,R,T} em agrupamentos de 6 elementos são 15 grupos que contêm a repetição de todos os elementos de C aparecendo também na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:
Pr={AAARRT,AAATRR,AAARTR,AARRTA,AARTTA,
AATRRA,AARRTA,ARAART,ARARAT,ARARTA,
ARAATR,ARAART,ARAATR,ATAARA,ATARAR}
Permutação circular: Situação que ocorre quando temos grupos com m elementos distintos formando uma circunferência de círculo.
Fórmula: Pc(m)=(m-1)!
Cálculo para o exemplo: P(4)=3!=6
Exemplo: Seja um conjunto com 4 pessoas K={A,B,C,D}. De quantos modos distintos estas pessoas poderão sentar-se junto a uma mesa circular (pode ser retangular) para realizar o jantar sem que haja repetição das posições?
Se considerássemos todas as permutações simples possíveis com estas 4 pessoas, teriamos 24 grupos, apresentados no conjunto:
Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB,BACD,BADC,
BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CADB,CBAD,CBDA,
CDAB,CDBA, DABC,DACB,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA}
Acontece que junto a uma mesa "circular" temos que:
ABCD=BCDA=CDAB=DABC
ABDC=BDCA=DCAB=CABD
ACBD=CBDA=BDAC=DACB
ACDB=CDBA=DBAC=BACD
ADBC=DBCA=BCAD=CADB
ADCB=DCBA=CBAD=BADC
Existem somente 6 grupos distintos, dados por:
Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB}
Combinações
Quando formamos agrupamentos com p elementos, (p
Combinação simples: Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos.
Fórmula: C(m,p) = m!/[(m-p)! p!]
Cálculo para o exemplo: C(4,2)=4!/[2!2!]=24/4=6
Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As combinações simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 6 grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento nem podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:
Cs={AB,AC,AD,BC,BD,CD}
Número de Arranjos simples
Seja C um conjunto com m elementos. De quantas maneiras diferentes poderemos escolher p elementos (p
c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm
Cada vez que um elemento for retirado, indicaremos esta operação com a mudança da cor do elemento para a cor vermelha.
Para escolher o primeiro elemento do conjunto C que possui m elementos, temos m possibilidades. Vamos supor que a escolha tenha caído sobre o m-ésimo elemento de C.
c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm
Para escolher o segundo elemento, devemos observar o que sobrou no conjunto e constatamos que agora existem apenas m-1 elementos. Suponhamos que tenha sido retirado o último elemento dentre os que sobraram no conjunto C. O elemento retirado na segunda fase é o (m-1)-ésimo.
c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm
Após a segunda retirada, sobraram m-2 possibilidades para a próxima retirada. Do que sobrou, se retirarmos o terceiro elemento como sendo o de ordem (m-2), teremos algo que pode ser visualizado como:
c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm
Se continuarmos o processo de retirada, cada vez teremos 1 elemento a menos do que na fase anterior. Para retirar o p-ésimo elemento, restarão m-p+1 possibilidades de escolha.
Para saber o número total de arranjos possíveis de m elementos tomados p a p, basta multiplicar os números que aparecem na segunda coluna da tabela abaixo:
Retirada
Número de possibilidades
1
m
2
m-1
3
m-2
...
...
p
m-p+1
No.de arranjos
m(m-1)(m-2)...(m-p+1)
Denotaremos o número de arranjos de m elementos tomados p a p, por A(m,p) e a expressão para seu cálculo será dada por:
A(m,p) = m(m-1)(m-2)...(m-p+1)
Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de dispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos diferentes? O conjunto solução é:
{AE,AI,AO,AU,EA,EI,EO,EU,IA,IE,
IO,IU,OA,OE,OI,OU,UA,UE,UI,UO}
A solução numérica é A(5,2)=5×4=20.
Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de dispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos (não necessariamente diferentes)?
Sugestão: Construir uma reta com as 5 vogais e outra reta paralela à anterior com as 5 vogais, usar a regra do produto para concluir que há 5x5=25 possibilidades.
O conjunto solução é:
{AA,AE,AI,AO,AU,EA,EE,EI,EO,EU,IA,IE,II,
IO,IU,OA,OE,OI,OO,OU,UA,UE,UI,UO,UU}
Exemplo: Quantas placas de carros podem existir no atual sistema brasileiro de trânsito que permite 3 letras iniciais e 4 algarismos no final?
XYZ-1234
Sugestão: Considere que existem 26 letras em nosso alfabeto que podem ser dispostas 3 a 3 e 10 algarismos que podem ser dispostos 4 a 4 e em seguida utilize a regra do produto.
Número de Permutações simples
Este é um caso particular de arranjo em que p=m. Para obter o número de permutações com m elementos distintos de um conjunto C, basta escolher os m elementos em uma determinada ordem. A tabela de arranjos com todas as linhas até a ordem p=m, permitirá obter o número de permutações de m elementos
Retirada
Número de possibilidades
1
m
2
m-1
...
...
p
m-p+1
...
...
m-2
3
m-1
2
m
1
No.de permutações
m(m-1)(m-2)...(m-p+1)...4.3.2.1
Denotaremos o número de permutações de m elementos, por P(m) e a expressão para seu cálculo será dada por:
P(m) = m(m-1)(m-2) ... (m-p+1) ... 3 . 2 . 1
Em função da forma como construímos o processo, podemos escrever:
A(m,m) = P(m)
Como o uso de permutações é muito intenso em Matemática e nas ciências em geral, costuma-se simplificar a permutação de m elementos e escrever simplesmente:
P(m) = m!
Este símbolo de exclamação posto junto ao número m é lido como: fatorial de m, onde m é um número natural.
Embora zero não seja um número natural no sentido que tenha tido origem nas coisas da natureza, procura-se dar sentido para a definição de fatorial de m de uma forma mais ampla, incluindo m=0 e para isto podemos escrever:
0!=1
Em contextos mais avançados, existe a função gama que generaliza o conceito de fatorial de um número real, excluindo os inteiros negativos e com estas informações pode-se demonstrar que 0!=1.
O fatorial de um número inteiro não negativo pode ser definido de uma forma recursiva através da função P=P(m) ou com o uso do sinal de exclamação:
(m+1)! = (m+1).m!, 0! = 1
Exemplo: De quantos modos podemos colocar juntos 3 livros A, B e C diferentes em uma estante? O número de arranjos é P(3)=6 e o conjunto solução é:
P={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}
Exemplo: Quantos anagramas são possíveis com as letras da palavra AMOR? O número de arranjos é P(4)=24 e o conjunto solução é:
P={AMOR,AMRO,AROM,ARMO,AORM,AOMR,MARO,MAOR,
MROA,MRAO,MORA,MOAR,OAMR,OARM,ORMA,ORAM,
OMAR,OMRA,RAMO,RAOM,RMOA,RMAO,ROAM,ROMA}
Número de Combinações simples
Seja C um conjunto com m elementos distintos. No estudo de arranjos, já vimos antes que é possível escolher p elementos de A, mas quando realizamos tais escolhas pode acontecer que duas coleções com p elementos tenham os mesmos elementos em ordens trocadas. Uma situação típica é a escolha de um casal (H,M). Quando se fala casal, não tem importância a ordem da posição (H,M) ou (M,H), assim não há a necessidade de escolher duas vezes as mesmas pessoas para formar o referido casal. Para evitar a repetição de elementos em grupos com a mesma quantidade p de elementos, introduziremos o conceito de combinação.
Diremos que uma coleção de p elementos de um conjunto C com m elementos é uma combinação de m elementos tomados p a p, se as coleções com p elementos não tem os mesmos elementos que já apareceram em outras coleções com o mesmo número p de elementos.
Aqui temos outra situação particular de arranjo, mas não pode acontecer a repetição do mesmo grupo de elementos em uma ordem diferente.
Isto significa que dentre todos os A(m,p) arranjos com p elementos, existem p! desses arranjos com os mesmos elementos, assim, para obter a combinação de m elementos tomados p a p, deveremos dividir o número A(m,p) por m! para obter apenas o número de arranjos que contem conjuntos distintos, ou seja:
C(m,p) = A(m,p) / p!
Como
A(m,p) = m.(m-1).(m-2)...(m-p+1)
então:
C(m,p) = [ m.(m-1).(m-2). ... .(m-p+1)] / p!
que pode ser reescrito
C(m,p)=[m.(m-1).(m-2)...(m-p+1)]/[(1.2.3.4....(p-1)p]
Multiplicando o numerador e o denominador desta fração por
(m-p)(m-p-1)(m-p-2)...3.2.1
que é o mesmo que multiplicar por (m-p)!, o numerador da fração ficará:
m.(m-1).(m-2).....(m-p+1)(m-p)(m-p-1)...3.2.1 = m!
e o denominador ficará:
p! (m-p)!
Princípio fundamental da contagem
Se determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de k1 maneiras diferentes, a segunda de k2 maneiras diferentes, e assim sucessivamente, então o número total T de maneiras de ocorrer o acontecimento é dado por:
T = k1. k2 . k3 . ... . kn
Exemplo:
O DETRAN decidiu que as placas dos veículos do Brasil serão codificadas usando-se 3 letras do alfabeto e 4 algarismos. Qual o número máximo de veículos que poderá ser licenciado?
Solução:
Usando o raciocínio anterior, imaginemos uma placa genérica do tipo PWR-USTZ.
Como o alfabeto possui 26 letras e nosso sistema numérico possui 10 algarismos (de 0 a 9), podemos concluir que: para a 1ª posição, temos 26 alternativas, e como pode haver repetição, para a 2ª, e 3ª também teremos 26 alternativas. Com relação aos algarismos, concluímos facilmente que temos 10 alternativas para cada um dos 4 lugares. Podemos então afirmar que o número total de veículos que podem ser licenciados será igual a: 26.26.26.10.10.10.10 que resulta em 175.760.000. Observe que se no país existissem 175.760.001 veículos, o sistema de códigos de emplacamento teria que ser modificado, já que não existiriam números suficientes para codificar todos os veículos.
Exercícios
Permutação
1-Com as vogais: A,E,I,O e U, quantas permutações podem ser formadas contendo as letras: A,E e I.
2-De quantos modos distintos podemos colocar 3 livros juntos em uma estante de biblioteca?
Auxílio: P(n)=n!, n=3
Resposta: N=1×2×3=6
3-De quantos modos distintos 5 pessoas podem sentar-se em um banco de jardim com 5 lugares?
Auxílio: P(n)=n!, n=5
Resposta: N=1×2×3×4×5=120
4-Qual é o número possível de anagramas que se pode montar com as letras da palavra AMOR?
Auxílio: P(n)=n!, n=4
Resposta: N=1×2×3×4=24
5-Quantos números com cinco algarismos podemos construir com os números ímpares 1,3,5,7,9.
Auxílio:
Resposta: P(5)=120.
6-Quantos números com cinco algarismos podemos construir com os números ímpares 1,3,5,7,9, desde que estejam sempre juntos os algarismos 1 e 3.
Auxílio: Cada conjunto com os algarismos 13 e 31 forma um grupo que junto com os outros, fornece 4 grupos.
Resposta: N=2×P(4)=2×24=48
7-Consideremos um conjunto com n letras. Quantas permutações começam por uma determinada letra?
Resposta: N=P(n-1)=(n-1)!
8-Quantos são os anagramas possíveis com as letras: ABCDEFGHI?
Resposta: P(9)=9!
9-Quantos são os anagramas possíveis com as letras: ABCDEFGHI, começando por A?
Resposta: P(8)=8!
10-Quantos são os anagramas possíveis com as letras: ABCDEFGHI, começando por AB?
Resposta: P(7)=7!
Combinação simples
11-Um indivíduo possui 25 livros diferentes. De quantas formas distintas ele poderá empacotar tais livros em grupos de 6 livros?
12-Quantos grupos de 3 pessoas podem ser montados com 8 pessoas?
Auxílio: C=C(m,p)=m!/[p!(m-p)!]; m=8,p=3
Resposta: C=8!/(3!5!)=(8×7×6)/(1×2×3)=56
13-Quantos grupos de 2 pessoas podem ser montados com 1000 pessoas?
Auxílio: C=C(m,p)=m!/[p!(m-p)!], m=1000, p=2
Resposta: C=1000!/(2!998!)=1000×999=999000
14-Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto?
Conceito: Combinação
Auxílio: C=C(m,p)=m!/[p!(m-p)!], m=10, p=4
Resposta: C=10!/(4!6!)=(10×9×8×7)/(1×2×3×4)=210
15-Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que sempre comecem pela letra A?
Auxílio: C=C(m1,p1).C(m-m1,p-p1), m=10, p=4, m1=1, p1=1
Resposta: C=C(1,1).C(9,3)=(1×9×8×7)/6=84
16-Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que sempre estejam juntas as letras A e B?
Auxílio: C=C(m1,p1).C(m-m1,p-p1), m=10, p=4, m1=2, p1=2
Resposta: C=C(2,2).C(8,2)=(1×8×7)/2=28
17-Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que não contenham nem as letras A e B?
Auxílio: C=C(m1,p1).C(m-m1,p-p1), m=10, p=4, m1=2, p1=0
Resposta: C=C(2,0).C(8,4)=(1×8×7×6×5)/24=70
18-Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que somente uma das letras A ou B esteja presente, mas não as duas?
Auxílio: C=C(m1,p1).C(m-m1,p-p1), m=10, p=4, m1=2, p1=1
Resposta: C=C(2,1).C(8,3)=(2×8×7×6)/6=112
19-Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que contêm 2 dentre as 3 letras A,B e C?
Auxílio: C=C(m1,p1).C(m-m1,p-p1), m=10, p=4, m1=3, p1=2
Resposta: C=C(3,2).C(7,2)=(3×7×6)/2=63
20-Em uma sala existem 40 pessoas, 18 mulheres e 22 homens. Quantas comissões podem ser montadas nesta sala contendo 3 mulheres e 5 homens?
21-Calcular o valor de m tal que 5 C(m+1,3)=2 C(m+2,2).
Arranjo simples
22-Quantos números diferentes com 1 algarismo, podemos formar com os algarismos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9.
Resposta: N1=A(9,1)=9
23-Quantos números distintos com 2 algarismos diferentes, podemos formar com os dígitos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
Auxílio: Os números iniciados por 0 não terão 2 dígitos e sua quantidade corresponde a A(9,1).
Resposta: N2=A(10,2)-A(9,1)=10×9-9=90-9=81
24-Quantos números distintos com 3 algarismos diferentes, podemos formar com os dígitos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9.
Auxílio: Os números iniciados por 0 não terão 3 dígitos e sua quantidade corresponde a A(9,2).
Resposta: N3=A(10,3)-A(9,2)=720-720=648
25-Quantos números distintos com 4 algarismos diferentes, podemos formar com: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9.
Auxílio: Os números iniciados por 0 não terão 3 dígitos e sua quantidade corresponde a A(9,3).
Resposta: N4=A(10,4)-A(9,3)=5040-504=4536
26-Quantos números distintos menores que 10000 podem ser formados com algarismos diferentes da coleção: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
Resposta: N=N1+N2+N3+N4=9+81+648+4536=5274
27-No sistema decimal de numeração, quantos números existem com 4 algarismos com 2 algarismos repetidos?
Auxílio: A quantidade de números distintos com 4 algarismos é 4536 e a quantidade total de números (com repetição ou não) com 4 algarismos é 9000.
Resposta: N=9000-4536=4464
28-Com as 5 vogais: A,E,I,O,U, obter o conjunto solução que contém todos os arranjos tomados 2 a 2.
29-Usando-se apenas os algarismos 1,3,5,7,9 quantos números com 3 algarismos podem ser montados?
Auxílio: A=A(m,p)=m!/(m-p)!, m=5, p=3
Resposta: A=5!/2!=60
30-Usando-se os algarismos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 quantos números com 4 algarismos podem ser montados?
Auxílio: A=A(m,p)=m!/(m-p)!, m=10, p=4
Resposta: A=10!/6!=5040
31-Usando-se as 26 letras do alfabeto: A,B,C,D,...,Z quantos arranjos distintos com 3 letras podem ser montados?
Auxílio: A=A(m,p)=m!/(m-p)!, m=26, p=3
Resposta: A=26!/23!=26.25.24=15600
32-Com as 26 letras do alfabeto: A,B,C,D,...,Z e os algarismos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, quantas placas de carros podem ser escritas contendo 3 letras seguidas de 4 algarismos?
Auxílio: A=A(m,p)=m!/(m-p)!, m=26, p=3, n=10, q=4
Resposta: A=(26!/23!).(10!/6!)=78624000
Na maior parte das vezes, tomaremos conjuntos Z com m elementos e os grupos formados com elementos de Z terão p elementos, isto é, p será a taxa do agrupamento, com p
Arranjos, Permutações ou Combinações, são os três tipos principais de agrupamentos, sendo que eles podem ser simples, com repetição ou circulares. Apresentaremos alguns detalhes de tais agrupamentos.
Observação: É comum encontrarmos na literatura termos como: arranjar, combinar ou permutar, mas todo o cuidado é pouco com os mesmos, que às vezes são utilizados em concursos em uma forma dúbia!
Arranjos
São agrupamentos formados com p elementos, (p
Arranjo simples: Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos.
Fórmula: As(m,p) = m!/(m-p)!
Cálculo para o exemplo: As(4,2) = 4!/2!=24/2=12.
Exemplo: Seja Z={A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os arranjos simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 12 grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento mas que podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:
As={AB,AC,AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,DC}
Permutações
Quando formamos agrupamentos com m elementos, de forma que os m elementos sejam distintos entre sí pela ordem. As permutações podem ser simples, com repetição ou circulares.
Permutação simples: São agrupamentos com todos os m elementos distintos.
Fórmula: Ps(m) = m!.
Cálculo para o exemplo: Ps(3) = 3!=6.
Exemplo: Seja C={A,B,C} e m=3. As permutações simples desses 3 elementos são 6 agrupamentos que não podem ter a repetição de qualquer elemento em cada grupo mas podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:
Ps={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}
Permutação com repetição: Dentre os m elementos do conjunto C={x1,x2,x3,...,xn}, faremos a suposição que existem m1 iguais a x1, m2 iguais a x2, m3 iguais a x3, ... , mn iguais a xn, de modo que m1+m2+m3+...+mn=m.
Fórmula: Se m=m1+m2+m3+...+mn, então
Pr(m)=C(m,m1).C(m-m1,m2).C(m-m1-m2,m3) ... C(mn,mn)
Anagrama: Um anagrama é uma (outra) palavra construída com as mesmas letras da palavra original trocadas de posição.
Cálculo para o exemplo: m1=4, m2=2, m3=1, m4=1 e m=6, logo: Pr(6)=C(6,4).C(6-4,2).C(6-4-1,1)=C(6,4).C(2,2).C(1,1)=15.
Exemplo: Quantos anagramas podemos formar com as 6 letras da palavra ARARAT. A letra A ocorre 3 vezes, a letra R ocorre 2 vezes e a letra T ocorre 1 vez. As permutações com repetição desses 3 elementos do conjunto C={A,R,T} em agrupamentos de 6 elementos são 15 grupos que contêm a repetição de todos os elementos de C aparecendo também na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:
Pr={AAARRT,AAATRR,AAARTR,AARRTA,AARTTA,
AATRRA,AARRTA,ARAART,ARARAT,ARARTA,
ARAATR,ARAART,ARAATR,ATAARA,ATARAR}
Permutação circular: Situação que ocorre quando temos grupos com m elementos distintos formando uma circunferência de círculo.
Fórmula: Pc(m)=(m-1)!
Cálculo para o exemplo: P(4)=3!=6
Exemplo: Seja um conjunto com 4 pessoas K={A,B,C,D}. De quantos modos distintos estas pessoas poderão sentar-se junto a uma mesa circular (pode ser retangular) para realizar o jantar sem que haja repetição das posições?
Se considerássemos todas as permutações simples possíveis com estas 4 pessoas, teriamos 24 grupos, apresentados no conjunto:
Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB,BACD,BADC,
BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CADB,CBAD,CBDA,
CDAB,CDBA, DABC,DACB,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA}
Acontece que junto a uma mesa "circular" temos que:
ABCD=BCDA=CDAB=DABC
ABDC=BDCA=DCAB=CABD
ACBD=CBDA=BDAC=DACB
ACDB=CDBA=DBAC=BACD
ADBC=DBCA=BCAD=CADB
ADCB=DCBA=CBAD=BADC
Existem somente 6 grupos distintos, dados por:
Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB}
Combinações
Quando formamos agrupamentos com p elementos, (p
Combinação simples: Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos.
Fórmula: C(m,p) = m!/[(m-p)! p!]
Cálculo para o exemplo: C(4,2)=4!/[2!2!]=24/4=6
Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As combinações simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 6 grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento nem podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:
Cs={AB,AC,AD,BC,BD,CD}
Número de Arranjos simples
Seja C um conjunto com m elementos. De quantas maneiras diferentes poderemos escolher p elementos (p
c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm
Cada vez que um elemento for retirado, indicaremos esta operação com a mudança da cor do elemento para a cor vermelha.
Para escolher o primeiro elemento do conjunto C que possui m elementos, temos m possibilidades. Vamos supor que a escolha tenha caído sobre o m-ésimo elemento de C.
c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm
Para escolher o segundo elemento, devemos observar o que sobrou no conjunto e constatamos que agora existem apenas m-1 elementos. Suponhamos que tenha sido retirado o último elemento dentre os que sobraram no conjunto C. O elemento retirado na segunda fase é o (m-1)-ésimo.
c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm
Após a segunda retirada, sobraram m-2 possibilidades para a próxima retirada. Do que sobrou, se retirarmos o terceiro elemento como sendo o de ordem (m-2), teremos algo que pode ser visualizado como:
c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm
Se continuarmos o processo de retirada, cada vez teremos 1 elemento a menos do que na fase anterior. Para retirar o p-ésimo elemento, restarão m-p+1 possibilidades de escolha.
Para saber o número total de arranjos possíveis de m elementos tomados p a p, basta multiplicar os números que aparecem na segunda coluna da tabela abaixo:
Retirada
Número de possibilidades
1
m
2
m-1
3
m-2
...
...
p
m-p+1
No.de arranjos
m(m-1)(m-2)...(m-p+1)
Denotaremos o número de arranjos de m elementos tomados p a p, por A(m,p) e a expressão para seu cálculo será dada por:
A(m,p) = m(m-1)(m-2)...(m-p+1)
Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de dispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos diferentes? O conjunto solução é:
{AE,AI,AO,AU,EA,EI,EO,EU,IA,IE,
IO,IU,OA,OE,OI,OU,UA,UE,UI,UO}
A solução numérica é A(5,2)=5×4=20.
Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de dispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos (não necessariamente diferentes)?
Sugestão: Construir uma reta com as 5 vogais e outra reta paralela à anterior com as 5 vogais, usar a regra do produto para concluir que há 5x5=25 possibilidades.
O conjunto solução é:
{AA,AE,AI,AO,AU,EA,EE,EI,EO,EU,IA,IE,II,
IO,IU,OA,OE,OI,OO,OU,UA,UE,UI,UO,UU}
Exemplo: Quantas placas de carros podem existir no atual sistema brasileiro de trânsito que permite 3 letras iniciais e 4 algarismos no final?
XYZ-1234
Sugestão: Considere que existem 26 letras em nosso alfabeto que podem ser dispostas 3 a 3 e 10 algarismos que podem ser dispostos 4 a 4 e em seguida utilize a regra do produto.
Número de Permutações simples
Este é um caso particular de arranjo em que p=m. Para obter o número de permutações com m elementos distintos de um conjunto C, basta escolher os m elementos em uma determinada ordem. A tabela de arranjos com todas as linhas até a ordem p=m, permitirá obter o número de permutações de m elementos
Retirada
Número de possibilidades
1
m
2
m-1
...
...
p
m-p+1
...
...
m-2
3
m-1
2
m
1
No.de permutações
m(m-1)(m-2)...(m-p+1)...4.3.2.1
Denotaremos o número de permutações de m elementos, por P(m) e a expressão para seu cálculo será dada por:
P(m) = m(m-1)(m-2) ... (m-p+1) ... 3 . 2 . 1
Em função da forma como construímos o processo, podemos escrever:
A(m,m) = P(m)
Como o uso de permutações é muito intenso em Matemática e nas ciências em geral, costuma-se simplificar a permutação de m elementos e escrever simplesmente:
P(m) = m!
Este símbolo de exclamação posto junto ao número m é lido como: fatorial de m, onde m é um número natural.
Embora zero não seja um número natural no sentido que tenha tido origem nas coisas da natureza, procura-se dar sentido para a definição de fatorial de m de uma forma mais ampla, incluindo m=0 e para isto podemos escrever:
0!=1
Em contextos mais avançados, existe a função gama que generaliza o conceito de fatorial de um número real, excluindo os inteiros negativos e com estas informações pode-se demonstrar que 0!=1.
O fatorial de um número inteiro não negativo pode ser definido de uma forma recursiva através da função P=P(m) ou com o uso do sinal de exclamação:
(m+1)! = (m+1).m!, 0! = 1
Exemplo: De quantos modos podemos colocar juntos 3 livros A, B e C diferentes em uma estante? O número de arranjos é P(3)=6 e o conjunto solução é:
P={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}
Exemplo: Quantos anagramas são possíveis com as letras da palavra AMOR? O número de arranjos é P(4)=24 e o conjunto solução é:
P={AMOR,AMRO,AROM,ARMO,AORM,AOMR,MARO,MAOR,
MROA,MRAO,MORA,MOAR,OAMR,OARM,ORMA,ORAM,
OMAR,OMRA,RAMO,RAOM,RMOA,RMAO,ROAM,ROMA}
Número de Combinações simples
Seja C um conjunto com m elementos distintos. No estudo de arranjos, já vimos antes que é possível escolher p elementos de A, mas quando realizamos tais escolhas pode acontecer que duas coleções com p elementos tenham os mesmos elementos em ordens trocadas. Uma situação típica é a escolha de um casal (H,M). Quando se fala casal, não tem importância a ordem da posição (H,M) ou (M,H), assim não há a necessidade de escolher duas vezes as mesmas pessoas para formar o referido casal. Para evitar a repetição de elementos em grupos com a mesma quantidade p de elementos, introduziremos o conceito de combinação.
Diremos que uma coleção de p elementos de um conjunto C com m elementos é uma combinação de m elementos tomados p a p, se as coleções com p elementos não tem os mesmos elementos que já apareceram em outras coleções com o mesmo número p de elementos.
Aqui temos outra situação particular de arranjo, mas não pode acontecer a repetição do mesmo grupo de elementos em uma ordem diferente.
Isto significa que dentre todos os A(m,p) arranjos com p elementos, existem p! desses arranjos com os mesmos elementos, assim, para obter a combinação de m elementos tomados p a p, deveremos dividir o número A(m,p) por m! para obter apenas o número de arranjos que contem conjuntos distintos, ou seja:
C(m,p) = A(m,p) / p!
Como
A(m,p) = m.(m-1).(m-2)...(m-p+1)
então:
C(m,p) = [ m.(m-1).(m-2). ... .(m-p+1)] / p!
que pode ser reescrito
C(m,p)=[m.(m-1).(m-2)...(m-p+1)]/[(1.2.3.4....(p-1)p]
Multiplicando o numerador e o denominador desta fração por
(m-p)(m-p-1)(m-p-2)...3.2.1
que é o mesmo que multiplicar por (m-p)!, o numerador da fração ficará:
m.(m-1).(m-2).....(m-p+1)(m-p)(m-p-1)...3.2.1 = m!
e o denominador ficará:
p! (m-p)!
Princípio fundamental da contagem
Se determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de k1 maneiras diferentes, a segunda de k2 maneiras diferentes, e assim sucessivamente, então o número total T de maneiras de ocorrer o acontecimento é dado por:
T = k1. k2 . k3 . ... . kn
Exemplo:
O DETRAN decidiu que as placas dos veículos do Brasil serão codificadas usando-se 3 letras do alfabeto e 4 algarismos. Qual o número máximo de veículos que poderá ser licenciado?
Solução:
Usando o raciocínio anterior, imaginemos uma placa genérica do tipo PWR-USTZ.
Como o alfabeto possui 26 letras e nosso sistema numérico possui 10 algarismos (de 0 a 9), podemos concluir que: para a 1ª posição, temos 26 alternativas, e como pode haver repetição, para a 2ª, e 3ª também teremos 26 alternativas. Com relação aos algarismos, concluímos facilmente que temos 10 alternativas para cada um dos 4 lugares. Podemos então afirmar que o número total de veículos que podem ser licenciados será igual a: 26.26.26.10.10.10.10 que resulta em 175.760.000. Observe que se no país existissem 175.760.001 veículos, o sistema de códigos de emplacamento teria que ser modificado, já que não existiriam números suficientes para codificar todos os veículos.
Exercícios
Permutação
1-Com as vogais: A,E,I,O e U, quantas permutações podem ser formadas contendo as letras: A,E e I.
2-De quantos modos distintos podemos colocar 3 livros juntos em uma estante de biblioteca?
Auxílio: P(n)=n!, n=3
Resposta: N=1×2×3=6
3-De quantos modos distintos 5 pessoas podem sentar-se em um banco de jardim com 5 lugares?
Auxílio: P(n)=n!, n=5
Resposta: N=1×2×3×4×5=120
4-Qual é o número possível de anagramas que se pode montar com as letras da palavra AMOR?
Auxílio: P(n)=n!, n=4
Resposta: N=1×2×3×4=24
5-Quantos números com cinco algarismos podemos construir com os números ímpares 1,3,5,7,9.
Auxílio:
Resposta: P(5)=120.
6-Quantos números com cinco algarismos podemos construir com os números ímpares 1,3,5,7,9, desde que estejam sempre juntos os algarismos 1 e 3.
Auxílio: Cada conjunto com os algarismos 13 e 31 forma um grupo que junto com os outros, fornece 4 grupos.
Resposta: N=2×P(4)=2×24=48
7-Consideremos um conjunto com n letras. Quantas permutações começam por uma determinada letra?
Resposta: N=P(n-1)=(n-1)!
8-Quantos são os anagramas possíveis com as letras: ABCDEFGHI?
Resposta: P(9)=9!
9-Quantos são os anagramas possíveis com as letras: ABCDEFGHI, começando por A?
Resposta: P(8)=8!
10-Quantos são os anagramas possíveis com as letras: ABCDEFGHI, começando por AB?
Resposta: P(7)=7!
Combinação simples
11-Um indivíduo possui 25 livros diferentes. De quantas formas distintas ele poderá empacotar tais livros em grupos de 6 livros?
12-Quantos grupos de 3 pessoas podem ser montados com 8 pessoas?
Auxílio: C=C(m,p)=m!/[p!(m-p)!]; m=8,p=3
Resposta: C=8!/(3!5!)=(8×7×6)/(1×2×3)=56
13-Quantos grupos de 2 pessoas podem ser montados com 1000 pessoas?
Auxílio: C=C(m,p)=m!/[p!(m-p)!], m=1000, p=2
Resposta: C=1000!/(2!998!)=1000×999=999000
14-Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto?
Conceito: Combinação
Auxílio: C=C(m,p)=m!/[p!(m-p)!], m=10, p=4
Resposta: C=10!/(4!6!)=(10×9×8×7)/(1×2×3×4)=210
15-Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que sempre comecem pela letra A?
Auxílio: C=C(m1,p1).C(m-m1,p-p1), m=10, p=4, m1=1, p1=1
Resposta: C=C(1,1).C(9,3)=(1×9×8×7)/6=84
16-Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que sempre estejam juntas as letras A e B?
Auxílio: C=C(m1,p1).C(m-m1,p-p1), m=10, p=4, m1=2, p1=2
Resposta: C=C(2,2).C(8,2)=(1×8×7)/2=28
17-Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que não contenham nem as letras A e B?
Auxílio: C=C(m1,p1).C(m-m1,p-p1), m=10, p=4, m1=2, p1=0
Resposta: C=C(2,0).C(8,4)=(1×8×7×6×5)/24=70
18-Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que somente uma das letras A ou B esteja presente, mas não as duas?
Auxílio: C=C(m1,p1).C(m-m1,p-p1), m=10, p=4, m1=2, p1=1
Resposta: C=C(2,1).C(8,3)=(2×8×7×6)/6=112
19-Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que contêm 2 dentre as 3 letras A,B e C?
Auxílio: C=C(m1,p1).C(m-m1,p-p1), m=10, p=4, m1=3, p1=2
Resposta: C=C(3,2).C(7,2)=(3×7×6)/2=63
20-Em uma sala existem 40 pessoas, 18 mulheres e 22 homens. Quantas comissões podem ser montadas nesta sala contendo 3 mulheres e 5 homens?
21-Calcular o valor de m tal que 5 C(m+1,3)=2 C(m+2,2).
Arranjo simples
22-Quantos números diferentes com 1 algarismo, podemos formar com os algarismos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9.
Resposta: N1=A(9,1)=9
23-Quantos números distintos com 2 algarismos diferentes, podemos formar com os dígitos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
Auxílio: Os números iniciados por 0 não terão 2 dígitos e sua quantidade corresponde a A(9,1).
Resposta: N2=A(10,2)-A(9,1)=10×9-9=90-9=81
24-Quantos números distintos com 3 algarismos diferentes, podemos formar com os dígitos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9.
Auxílio: Os números iniciados por 0 não terão 3 dígitos e sua quantidade corresponde a A(9,2).
Resposta: N3=A(10,3)-A(9,2)=720-720=648
25-Quantos números distintos com 4 algarismos diferentes, podemos formar com: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9.
Auxílio: Os números iniciados por 0 não terão 3 dígitos e sua quantidade corresponde a A(9,3).
Resposta: N4=A(10,4)-A(9,3)=5040-504=4536
26-Quantos números distintos menores que 10000 podem ser formados com algarismos diferentes da coleção: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
Resposta: N=N1+N2+N3+N4=9+81+648+4536=5274
27-No sistema decimal de numeração, quantos números existem com 4 algarismos com 2 algarismos repetidos?
Auxílio: A quantidade de números distintos com 4 algarismos é 4536 e a quantidade total de números (com repetição ou não) com 4 algarismos é 9000.
Resposta: N=9000-4536=4464
28-Com as 5 vogais: A,E,I,O,U, obter o conjunto solução que contém todos os arranjos tomados 2 a 2.
29-Usando-se apenas os algarismos 1,3,5,7,9 quantos números com 3 algarismos podem ser montados?
Auxílio: A=A(m,p)=m!/(m-p)!, m=5, p=3
Resposta: A=5!/2!=60
30-Usando-se os algarismos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 quantos números com 4 algarismos podem ser montados?
Auxílio: A=A(m,p)=m!/(m-p)!, m=10, p=4
Resposta: A=10!/6!=5040
31-Usando-se as 26 letras do alfabeto: A,B,C,D,...,Z quantos arranjos distintos com 3 letras podem ser montados?
Auxílio: A=A(m,p)=m!/(m-p)!, m=26, p=3
Resposta: A=26!/23!=26.25.24=15600
32-Com as 26 letras do alfabeto: A,B,C,D,...,Z e os algarismos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, quantas placas de carros podem ser escritas contendo 3 letras seguidas de 4 algarismos?
Auxílio: A=A(m,p)=m!/(m-p)!, m=26, p=3, n=10, q=4
Resposta: A=(26!/23!).(10!/6!)=78624000
sábado, 26 de dezembro de 2009
Álgebra
DeterminantesSistema da Teoria dos Determinantes: resolução de equações por meio da posição do número em um diagrama. Propriedades e resolução de sistemas equacionais de Cramer.
Equação do 1º grau.
Expressão e resolução de problemas científicos e cotidianos por equações de primeiro grau. Elementos e propriedades fundamentais das equações.
Equação do 2º grau
Estudo de equação de segundo grau fundamental para o cálculo de áreas. A relação entre raiz e os coeficientes.
Função
Definição e representação gráfica de funções. Operação e classificação de funções.
Função exponencial e logarítmica
Funções que facilitam a representação dos movimentos com variações rápidas, com valores.
Função quadrática
A representação matemática de movimentos como os descritos por corpos no espaço devido à resistência do ar. Grau de variável e definição de uma função quadrática.
Funções lineares e afins
Representação matemática do movimento descoberto por Descartes. Correspondência dos conjuntos numéricos, conceitos, propriedade e uso das funções lineares.
Inequações
Estudo dos intervalos numéricos para encontrar todas as soluções de variação de tempo.
Matemática financeira
A matemática básica utilizada no sistema financeiro. O funcionamento da poupança, os juros e o surgimento da moeda.
Matrizes
Utilização das matrizes para trabalhar com informações expressas em números. Definições e operações de matrizes de equações lineares.
Noções de lógica
Teoremas são as afirmações verificadas por demonstração lógica, mais usados na Geometria.
Números complexos
Estudo dos números complexos ou imaginários, criação de equações algébricas que possibilitam extrair a raiz quadrada de um número negativo. Unidade imaginária, representação geométrica e operações com números complexos.
Polinômios
Ampliação da linguagem numérica com símbolos. Noções, operações, valor numérico e fatoração dos polinômios.
Potências
Definição de potência matemática. Cubos, quadrados e operações matemáticas com potência.
Progressões aritméticas
Significados e cálculos dos termos de uma progressão aritmética.
Progressões geométricas
Comportamento das progressões geométricas e os cálculos do termo geral.
Radicais
Despotenciação de um cálculo matemático e métodos para encontrar a raiz de um número.
Relações
As relações dos conjuntos matemáticos.
Sistemas de equações
Método de resolução de equações com mais de uma incógnita. Equação do primeiro grau, sistemas de equações e gráficos complementares.
Equação do 1º grau.
Expressão e resolução de problemas científicos e cotidianos por equações de primeiro grau. Elementos e propriedades fundamentais das equações.
Equação do 2º grau
Estudo de equação de segundo grau fundamental para o cálculo de áreas. A relação entre raiz e os coeficientes.
Função
Definição e representação gráfica de funções. Operação e classificação de funções.
Função exponencial e logarítmica
Funções que facilitam a representação dos movimentos com variações rápidas, com valores.
Função quadrática
A representação matemática de movimentos como os descritos por corpos no espaço devido à resistência do ar. Grau de variável e definição de uma função quadrática.
Funções lineares e afins
Representação matemática do movimento descoberto por Descartes. Correspondência dos conjuntos numéricos, conceitos, propriedade e uso das funções lineares.
Inequações
Estudo dos intervalos numéricos para encontrar todas as soluções de variação de tempo.
Matemática financeira
A matemática básica utilizada no sistema financeiro. O funcionamento da poupança, os juros e o surgimento da moeda.
Matrizes
Utilização das matrizes para trabalhar com informações expressas em números. Definições e operações de matrizes de equações lineares.
Noções de lógica
Teoremas são as afirmações verificadas por demonstração lógica, mais usados na Geometria.
Números complexos
Estudo dos números complexos ou imaginários, criação de equações algébricas que possibilitam extrair a raiz quadrada de um número negativo. Unidade imaginária, representação geométrica e operações com números complexos.
Polinômios
Ampliação da linguagem numérica com símbolos. Noções, operações, valor numérico e fatoração dos polinômios.
Potências
Definição de potência matemática. Cubos, quadrados e operações matemáticas com potência.
Progressões aritméticas
Significados e cálculos dos termos de uma progressão aritmética.
Progressões geométricas
Comportamento das progressões geométricas e os cálculos do termo geral.
Radicais
Despotenciação de um cálculo matemático e métodos para encontrar a raiz de um número.
Relações
As relações dos conjuntos matemáticos.
Sistemas de equações
Método de resolução de equações com mais de uma incógnita. Equação do primeiro grau, sistemas de equações e gráficos complementares.
SISTEMA DE NUMERAÇÃO ROMANA
Os romanos usavam um sistema interessante para representar os números.
Eles usavam sete letras do alfabeto e a cada uma delas atribuíam valores:
I-1
V-5
X-10
L-50
C-100
D-500
M-100
Os numerais I, X, C, M só podem ser repetidos até três vezes.
I = 1 II = 2 III =3
X = 10 XX = 20 XXX = 30
C = 100 CC = 200 CCC = 300
M = 1.000 MM = 2.000 MMM = 3.000
Vamos aprender alguns numerais romanos.
I = 1
XX = 20
CCC = 300
II = 2
XXX = 30
CD = 400
III = 3
XL = 40
D = 500
IV = 4
L = 50
DC = 600
V = 5
LX = 60
DCC = 700
VI = 6
LXX = 70
DCCC = 800
VII = 7
LXXX = 80
CM = 900
VIII = 8
XC = 90
M = 1.000
IX = 9
C = 100
MM = 2.000
X = 10
CC = 200
MMM = 3.000
ATENÇÃO!
Os numerais I, X e C, escritos à direita de numerais maiores, somam-se seus valores aos desses numerais.
Exemplos:
VII = 7 ( 5 + 2 ) LX = 60 ( 50 + 10 ) LXXIII = 73 (50+20+3)
CX = 110 (100+10) CXXX = 130 (100+30) MCC = 1.200 (1.000+200)
Os numerais I, X e C, escritos à esquerda de numerais maiores, subtraem-se seus valores aos desses numerais.
Exemplos:
IV = 4 (5-1) IX = 9 (10-1) XL = 40 (50-10)
XC = 90 (100-10) D = 400 (500-100) CM = 900 (1.000-100)
Colocando-se um traço horizontal sobre um ou mais numerais, multiplica-se seu valor por 1.000.
Exemplos: _ _ _
V = 5.000 IX = 9.000 X = 10.000
Eles usavam sete letras do alfabeto e a cada uma delas atribuíam valores:
I-1
V-5
X-10
L-50
C-100
D-500
M-100
Os numerais I, X, C, M só podem ser repetidos até três vezes.
I = 1 II = 2 III =3
X = 10 XX = 20 XXX = 30
C = 100 CC = 200 CCC = 300
M = 1.000 MM = 2.000 MMM = 3.000
Vamos aprender alguns numerais romanos.
I = 1
XX = 20
CCC = 300
II = 2
XXX = 30
CD = 400
III = 3
XL = 40
D = 500
IV = 4
L = 50
DC = 600
V = 5
LX = 60
DCC = 700
VI = 6
LXX = 70
DCCC = 800
VII = 7
LXXX = 80
CM = 900
VIII = 8
XC = 90
M = 1.000
IX = 9
C = 100
MM = 2.000
X = 10
CC = 200
MMM = 3.000
ATENÇÃO!
Os numerais I, X e C, escritos à direita de numerais maiores, somam-se seus valores aos desses numerais.
Exemplos:
VII = 7 ( 5 + 2 ) LX = 60 ( 50 + 10 ) LXXIII = 73 (50+20+3)
CX = 110 (100+10) CXXX = 130 (100+30) MCC = 1.200 (1.000+200)
Os numerais I, X e C, escritos à esquerda de numerais maiores, subtraem-se seus valores aos desses numerais.
Exemplos:
IV = 4 (5-1) IX = 9 (10-1) XL = 40 (50-10)
XC = 90 (100-10) D = 400 (500-100) CM = 900 (1.000-100)
Colocando-se um traço horizontal sobre um ou mais numerais, multiplica-se seu valor por 1.000.
Exemplos: _ _ _
V = 5.000 IX = 9.000 X = 10.000
Euller-Matemático
Leonhard Euler nasceu em Basiléia, Suíça,onde seu pai era ministro religioso e possuía alguns conhecimentos matemáticos.
Euler foi aluno de Jean Bernoulli e amigo de seus filhos Nicolaus e Daniel, recebendo ampla instrução em Teologia, Medicina, Astronomia, Física.,Línguas orientais e Matemática.
Com o auxílio de Bernouli entrou para a Academia de S. Petersburgo, fundada por Catarina I, ocupando um lugar na seção se Medicina e Fisiologia, e em 1730 passando à seção de Filosofia por ocasião da morte de Nicolaus e afastamento de Daniel. Tornando-se o principal matemático já aos vinte e seis anos, dedicou-se profundamente à pesquisa compondo uma quantidade inigualável de artigos, inclusive para a revista da Academia.
Em 1735 perdeu a visão do olho direito mas suas pesquisas continuaram intensas chegando a escrever até mesmo enquanto brincava com seus filhos.
Conquistou reputação internacional e recebeu menção honrosa na Academia das Ciências de Paris bem como vários premios em concursos.
Convidado por Frederico, o Grande, Euler passou 25 anos na Academia de Berlim, voltando à Rússia em 1766.
Euler ocupou-se de quase todos os ramos da Matemática Pura e Aplicada sendo o maior responsável pela linguagem e notaçoes que usamos hoje; foi o primeiro a empregar a letra e como base do sistema de logaritmos naturais, a letra pi para razão entre comprimento e diâmetro da circunferência e o símbolo i para raiz de –1. Deve-se a ele também o uso de letras minúsculas designando lados do triângulo e maiúsculas para seus ângulos opostos; simbolizou logaritmo de x por lx, usou sigma para indicar adição e f(x) para função de x, além de outras notações em Geometria, Álgebra, Trigonometria e Análise.
Euler reuniu Cálculo Diferencial e Método dos Fluxos num só ramo mais geral da Matemática que é a Análise, o estudo dos processos infinitos, surgindo assim sua principal obra, em 1748, a '7ntrodução á Aná~ise Infinita", baseando-se fundamentalmente em funções, tanto algébricas como transcendentes elementares (trigonométricas, logarítmicas, trigonométricas- inversas e exponenciais).
Foi o primeiro a tratar dos logaritmos como expoentes e com idéia correta sobre logaritmo de números negativos.
Muito interessado no estudo de séries infinitas, obteve notáveis resultad05 que o levaram a relacionar Análise com Teoria dos Números, e para a Geometria. Euler dedicou um Apêndice da "Introduçao" onde dá a representação da Geometria Analítica no espaço.
Euler escreveu em todos os níveis, em várias línguas, publicando mais de 500 livros e artigos.
Os dezessete últimos anos de sua vida passou em total cegueira mas o fluxo de suas pesquisas e publicações não diminuiu, escrevendo com giz em grandes quadros negros ou ditando para seus filhos.
Manteve sua mente poderosa até os 76 anos quando morreu.
Euler foi descrito pelos matemáticos da época como sendo a própria "Análise encarnada".
Euler foi aluno de Jean Bernoulli e amigo de seus filhos Nicolaus e Daniel, recebendo ampla instrução em Teologia, Medicina, Astronomia, Física.,Línguas orientais e Matemática.
Com o auxílio de Bernouli entrou para a Academia de S. Petersburgo, fundada por Catarina I, ocupando um lugar na seção se Medicina e Fisiologia, e em 1730 passando à seção de Filosofia por ocasião da morte de Nicolaus e afastamento de Daniel. Tornando-se o principal matemático já aos vinte e seis anos, dedicou-se profundamente à pesquisa compondo uma quantidade inigualável de artigos, inclusive para a revista da Academia.
Em 1735 perdeu a visão do olho direito mas suas pesquisas continuaram intensas chegando a escrever até mesmo enquanto brincava com seus filhos.
Conquistou reputação internacional e recebeu menção honrosa na Academia das Ciências de Paris bem como vários premios em concursos.
Convidado por Frederico, o Grande, Euler passou 25 anos na Academia de Berlim, voltando à Rússia em 1766.
Euler ocupou-se de quase todos os ramos da Matemática Pura e Aplicada sendo o maior responsável pela linguagem e notaçoes que usamos hoje; foi o primeiro a empregar a letra e como base do sistema de logaritmos naturais, a letra pi para razão entre comprimento e diâmetro da circunferência e o símbolo i para raiz de –1. Deve-se a ele também o uso de letras minúsculas designando lados do triângulo e maiúsculas para seus ângulos opostos; simbolizou logaritmo de x por lx, usou sigma para indicar adição e f(x) para função de x, além de outras notações em Geometria, Álgebra, Trigonometria e Análise.
Euler reuniu Cálculo Diferencial e Método dos Fluxos num só ramo mais geral da Matemática que é a Análise, o estudo dos processos infinitos, surgindo assim sua principal obra, em 1748, a '7ntrodução á Aná~ise Infinita", baseando-se fundamentalmente em funções, tanto algébricas como transcendentes elementares (trigonométricas, logarítmicas, trigonométricas- inversas e exponenciais).
Foi o primeiro a tratar dos logaritmos como expoentes e com idéia correta sobre logaritmo de números negativos.
Muito interessado no estudo de séries infinitas, obteve notáveis resultad05 que o levaram a relacionar Análise com Teoria dos Números, e para a Geometria. Euler dedicou um Apêndice da "Introduçao" onde dá a representação da Geometria Analítica no espaço.
Euler escreveu em todos os níveis, em várias línguas, publicando mais de 500 livros e artigos.
Os dezessete últimos anos de sua vida passou em total cegueira mas o fluxo de suas pesquisas e publicações não diminuiu, escrevendo com giz em grandes quadros negros ou ditando para seus filhos.
Manteve sua mente poderosa até os 76 anos quando morreu.
Euler foi descrito pelos matemáticos da época como sendo a própria "Análise encarnada".
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