sábado, 6 de novembro de 2010
PROVA DO ENEM COMENTADA(PROVA AMARELA)
01-B 02-A 03-A 04-B
05-A 06-D 07-C 08-B
09-A 10-C 11-B 12-E
13-C 14-A 15-C 16-E
17-B 18-B 19-C 20-C
21-B 22-D 23-C 24-D
25-C 26-D 27-C 28-E
29-B 30-D 31-E 32-D
33-B 34-E 35-E 36-E
37-A 38-D 39-B 40-E
41-A 42-E 43-C 44-D
45-D 46-A 47-C 48-A
49-E 50-B 51-C 52-C
53-E 54-A 55-E 56-A
57-D 58-D 59-B 60-A
61-C 62-B 63-E 64-B
65-A 66-B 67-D 68-E
69-E 70-A 71-D 72-E
73-D 74-D 75-B 76-C
77-B 78-C 79-D 80-D
81-B 82-A 83-E 84-E
85-A 86-C 87-D 88-D
89-E 90-C
05-A 06-D 07-C 08-B
09-A 10-C 11-B 12-E
13-C 14-A 15-C 16-E
17-B 18-B 19-C 20-C
21-B 22-D 23-C 24-D
25-C 26-D 27-C 28-E
29-B 30-D 31-E 32-D
33-B 34-E 35-E 36-E
37-A 38-D 39-B 40-E
41-A 42-E 43-C 44-D
45-D 46-A 47-C 48-A
49-E 50-B 51-C 52-C
53-E 54-A 55-E 56-A
57-D 58-D 59-B 60-A
61-C 62-B 63-E 64-B
65-A 66-B 67-D 68-E
69-E 70-A 71-D 72-E
73-D 74-D 75-B 76-C
77-B 78-C 79-D 80-D
81-B 82-A 83-E 84-E
85-A 86-C 87-D 88-D
89-E 90-C
sexta-feira, 19 de março de 2010
Entes geométricos fundamentais
Os Entes Geométricos Fundamentais são entidades que não apresentam definição, apesar de todos saberem o que é. O ponto, a reta (ou recta, em Portugal) e o plano são os 3 entes geométricos e os elementos fundamentais da geometria clássica. Na matemática moderna, contudo, esses conceitos relativizam-se. Planos podem ser pontos num espaço de dimensão superior, funções podem ser pontos em um espaço funcional. Noutras palavras, na matemática moderna, o que vale são as relações entre entes matemáticos. Entretanto, o estudo de geometria clássica tem óbvias necessidades práticas e teóricas.
Há três tipos de entes geométricos; a linha, os polígonos e os sólidos geométricos.
O ponto é uma entidade geométrica que não tem altura, comprimento ou largura, ou seja, é unidimensional dimensões, (adimensional; adj. 2 gén., que não tem dimensão, tamanho). Em sucessão contínua, os pontos constroem linhas. As linhas têm uma única dimensão; o comprimento. Na disciplina de Geometria, a recta é compreendida como um conjuntos infinito de pontos. As rectas podem intersectar-se em qualquer dos seus pontos ou com planos (também entendidos como conjuntos infinitos de pontos).
Uma figura geométrica (polígono) é constituída, e por isso sempre representada, através de pontos que se situam num mesmo plano (triângulo, quadrado, rectângulo, trapézio, hexágono, pentágono, paralelogramo, losango, etc.).
Uma figura sólida (ou sólido geométrico) é uma figura que tem pontos de representação em diversos planos (cubo, pirâmide, cilindro, esfera, etc.). Os sólidos geométricos têm três dimensões a saber; altura, largura e comprimento. São por isso constituídos por vértices, que ligam arestas, que constroem faces. Estas faces são na generalidade figuras geométricas, excluindo-se raros casos (como a esfera). As faces dos sólidos geométricos podem ser entendidas como planos.
Representação do ponto
É representado por Letras Maiúsculas do nosso alfabeto.
[editar] Distância entre 2 pontos
Sendo e .
[editar] Reta
Ver artigo principal: Recta
RetasUma reta é composta por um conjunto infinito de pontos. É uma entidade que tem apenas comprimento, ou apenas altura ou apenas largura, ou seja, tem apenas uma dimensão, considerada como unidimensional. Para traçar uma reta, dois pontos apenas são necessários. Por um ponto, passam infinitas retas.
A reta é uma entidade geométrica caracterizada pela projeção linear de um ponto no espaço. A reta também pode ser descrita como um arco de circunferência cujo raio é infinito. Sempre se escreve o nome da reta com letras minúsculas.
[editar] Equação
A equação geral da reta num espaço euclidiano de 27 dimensões é a seguinte:
r: (x,y,z) = (o,p,q)+ t(a,b,c)
Onde v=(a,b,c) é um vetor diretor de r. Onde P=(o,p,q) é um ponto de r. Onde Q=(x,y,z) é um ponto qualquer de r. Onde t é o parâmetro que pode tomar como valor qualquer número real.
[editar] Representação da reta
A reta é representada por letras minúsculas do nosso alfabeto ou por dois pontos com uma seta apontando para os dois lados em cima.
[editar] Posição de uma reta no plano
Uma reta pode estar na posição Vertical, Horizontal ou Inclinada(Diagonal).
r=vertical / s=horizontal / t=inclinadaDuas retas podem ser:
Perpendiculares:
Paralelas: Quando não tem nenhum ponto em comum. Quando o coeficiente angular de uma igual da outra ()
Concorrentes: Quando tem apenas dois pontos em comum.
Coincidentes: Quando nao tem todos os pontos em comum.
Uma reta pode ser:
Horizontal: .
Vertical: não definido.
Diagonal: não definido.
[editar] Coeficiente angular
Sendo: e . = Coeficiente angular. = Ponto onde corta o eixo y. Uma reta no plano bidimensional pode ser representada das seguintes formas.
[editar] Semi-reta
Semi-reta é uma parte da reta que tem começo, mas não tem fim. O ponto onde a semi-reta tem início é chamado Ponto de origem.
Semi-Reta[editar] Segmento de reta
Segmento de Reta é um dos infinitos segmento finito de uma reta. É determinado por dois pontos colineares (todo par de pontos é colinear, logo todo par de pontos pode formar um segumento de reta). Dois ou mais segmentos de reta podem ser:
Consecutivos: Têm apenas um ponto em comum
Colineares: Estão na mesma reta
Adjacentes: Têm apenas um ponto em comum e estão na mesma reta, ou seja, são Consecutivos e Colineares ao mesmo tempo.
[editar] Ponto médio de um segmento de reta
Sendo e .
Segmentos Consecutivos, adjacentes e colineares[editar] Plano
Ver artigo principal: Plano
plano alfaUm plano é uma entidade geométrica formada por infinitas retas e infinitos pontos. Para traçar um plano, três pontos não-alinhados são necessários. O plano tem duas dimensões, ou seja tem altura e largura ou altura e comprimento ou largura e comprimento, por isso, é chamado de bidimensional.
[editar] Representação de um plano
Um plano é representado por uma letra minúscula do alfabeto grego, geralmente α ou β ou por três pontos distintos do plano.E por retas paralelas; apesar de não possuir nem um ponto em comum , as retas paralelas são coplanares.
[editar] Equação
Onde n=(a,b,c) é um vetor normal (perpendicular) ao plano. Onde P=(x,y,z) é um ponto desse plano. E d é um número real que satisfaça a equação.
Obtido em "http://pt.wikipedia.org/wiki/Entes_geom%C3%A9tricos_fundamentais"
Categoria: Geometria
Há três tipos de entes geométricos; a linha, os polígonos e os sólidos geométricos.
O ponto é uma entidade geométrica que não tem altura, comprimento ou largura, ou seja, é unidimensional dimensões, (adimensional; adj. 2 gén., que não tem dimensão, tamanho). Em sucessão contínua, os pontos constroem linhas. As linhas têm uma única dimensão; o comprimento. Na disciplina de Geometria, a recta é compreendida como um conjuntos infinito de pontos. As rectas podem intersectar-se em qualquer dos seus pontos ou com planos (também entendidos como conjuntos infinitos de pontos).
Uma figura geométrica (polígono) é constituída, e por isso sempre representada, através de pontos que se situam num mesmo plano (triângulo, quadrado, rectângulo, trapézio, hexágono, pentágono, paralelogramo, losango, etc.).
Uma figura sólida (ou sólido geométrico) é uma figura que tem pontos de representação em diversos planos (cubo, pirâmide, cilindro, esfera, etc.). Os sólidos geométricos têm três dimensões a saber; altura, largura e comprimento. São por isso constituídos por vértices, que ligam arestas, que constroem faces. Estas faces são na generalidade figuras geométricas, excluindo-se raros casos (como a esfera). As faces dos sólidos geométricos podem ser entendidas como planos.
Representação do ponto
É representado por Letras Maiúsculas do nosso alfabeto.
[editar] Distância entre 2 pontos
Sendo e .
[editar] Reta
Ver artigo principal: Recta
RetasUma reta é composta por um conjunto infinito de pontos. É uma entidade que tem apenas comprimento, ou apenas altura ou apenas largura, ou seja, tem apenas uma dimensão, considerada como unidimensional. Para traçar uma reta, dois pontos apenas são necessários. Por um ponto, passam infinitas retas.
A reta é uma entidade geométrica caracterizada pela projeção linear de um ponto no espaço. A reta também pode ser descrita como um arco de circunferência cujo raio é infinito. Sempre se escreve o nome da reta com letras minúsculas.
[editar] Equação
A equação geral da reta num espaço euclidiano de 27 dimensões é a seguinte:
r: (x,y,z) = (o,p,q)+ t(a,b,c)
Onde v=(a,b,c) é um vetor diretor de r. Onde P=(o,p,q) é um ponto de r. Onde Q=(x,y,z) é um ponto qualquer de r. Onde t é o parâmetro que pode tomar como valor qualquer número real.
[editar] Representação da reta
A reta é representada por letras minúsculas do nosso alfabeto ou por dois pontos com uma seta apontando para os dois lados em cima.
[editar] Posição de uma reta no plano
Uma reta pode estar na posição Vertical, Horizontal ou Inclinada(Diagonal).
r=vertical / s=horizontal / t=inclinadaDuas retas podem ser:
Perpendiculares:
Paralelas: Quando não tem nenhum ponto em comum. Quando o coeficiente angular de uma igual da outra ()
Concorrentes: Quando tem apenas dois pontos em comum.
Coincidentes: Quando nao tem todos os pontos em comum.
Uma reta pode ser:
Horizontal: .
Vertical: não definido.
Diagonal: não definido.
[editar] Coeficiente angular
Sendo: e . = Coeficiente angular. = Ponto onde corta o eixo y. Uma reta no plano bidimensional pode ser representada das seguintes formas.
[editar] Semi-reta
Semi-reta é uma parte da reta que tem começo, mas não tem fim. O ponto onde a semi-reta tem início é chamado Ponto de origem.
Semi-Reta[editar] Segmento de reta
Segmento de Reta é um dos infinitos segmento finito de uma reta. É determinado por dois pontos colineares (todo par de pontos é colinear, logo todo par de pontos pode formar um segumento de reta). Dois ou mais segmentos de reta podem ser:
Consecutivos: Têm apenas um ponto em comum
Colineares: Estão na mesma reta
Adjacentes: Têm apenas um ponto em comum e estão na mesma reta, ou seja, são Consecutivos e Colineares ao mesmo tempo.
[editar] Ponto médio de um segmento de reta
Sendo e .
Segmentos Consecutivos, adjacentes e colineares[editar] Plano
Ver artigo principal: Plano
plano alfaUm plano é uma entidade geométrica formada por infinitas retas e infinitos pontos. Para traçar um plano, três pontos não-alinhados são necessários. O plano tem duas dimensões, ou seja tem altura e largura ou altura e comprimento ou largura e comprimento, por isso, é chamado de bidimensional.
[editar] Representação de um plano
Um plano é representado por uma letra minúscula do alfabeto grego, geralmente α ou β ou por três pontos distintos do plano.E por retas paralelas; apesar de não possuir nem um ponto em comum , as retas paralelas são coplanares.
[editar] Equação
Onde n=(a,b,c) é um vetor normal (perpendicular) ao plano. Onde P=(x,y,z) é um ponto desse plano. E d é um número real que satisfaça a equação.
Obtido em "http://pt.wikipedia.org/wiki/Entes_geom%C3%A9tricos_fundamentais"
Categoria: Geometria
Ângulo
Ângulo é a região de um plano concebida pela abertura de duas semi-retas que possuem uma origem em comum, chamada vértice do ângulo. A abertura do ângulo é uma propriedade invariante e é medida em radianos ou graus.
Componentes de um ângulo
Semi-retas - são as duas retas laterais ao ângulo.
Origem ou vértice - ponto onde as duas semi-retas se cruzam.
Bissetriz - é a semi-reta com origem no vértice desse ângulo dividindo-o ao meio.
[editar] Unidades de medidas para ângulos
De forma a medir um ângulo, um círculo com centro no vértice é desenhado. Como a circunferência do círculo é sempre diretamente proporcional ao comprimento de seu raio, a medida de um ângulo é independente do tamanho do círculo.
A medida em radianos de um ângulo é o comprimento do arco cortado pelo ângulo, dividido pelo raio do círculo. O SI utiliza o radiano como a unidade derivada para ângulos. Devido ao seu relacionamento com o comprimento do arco, radianos são uma unidade especial. Senos e co-senos cujos argumentos estão em radianos possuem propriedades analíticas particulares, tal como criar funções exponenciais em base e.
A medida em graus de um ângulo é o comprimento de um arco, dividido pela circunferência de um círculo e multiplicada por 360. O símbolo de graus é um pequeno círculo sobrescrito °. 2π radianos é igual a 360° (um círculo completo), então um radiano é aproximadamente 57° e um grau é π/180 radianos.
O gradiano, também chamado de grado, é uma medida angular onde o arco é divido pela circunferência e multiplicado por 400. Essa forma é usado mais em triangulação.
O ponto é usado em navegação, e é definida como 1/32 do círculo, ou exatamente 11,25°.
...
O círculo completo ou volta completa representa o número ou a fração de voltas completas. Por exemplo, π/2 radianos = 90° = 1/4 de um círculo completo.
O ângulo nulo é um ângulo que tem 0°.
[editar] Medindo ângulos
O ângulo θ é o quociente de s por r.Para medir um ângulo θ, um arco circular centrado no vértice do ângulo é desenhado. O comprimento do arco s é então dividido pelo raio do círculo r, e multiplicado por uma constante k, que depende da unidade de medida selecionada (graus ou radianos). Se a unidade for radianos, k = 1; se a unidade for graus, .
Cabe mencionar que valor de θ é independente do tamanho do círculo (a proporção s/r é mantida), pois se o raio do círculo aumenta, o comprimento do arco também aumenta na mesma proporção.
[editar] Tipos de ângulos
[editar] Quanto ao ângulo
Ângulo agudo
Ângulo reto
Ângulo obtuso
Ângulo raso
Ângulo giro ou ângulo completoCom relação às suas medidas, os ângulos podem ser classificados como
Nulo: Um ângulo nulo mede 0°
Agudo: Ângulo cuja medida é maior do que 0° e menor do que 90°
Reto: Um ângulo reto é um ângulo cuja medida é exatamente 90°. Assim os seus lados estão localizados em retas perpendiculares.
Obtuso: É um ângulo cuja medida está entre 90° e 180°.
Raso: Ângulo que mede exatamente 180°, os seus lados são semi-retas opostas.
Côncavo: Ângulo que mede mais de 180°e menos de 360°.
Giro ou Completo: Ângulo que mede 360°. Também pode ser chamado de Ângulo de uma volta.
O ângulo reto (90°) é provavelmente o ângulo mais importante, pois o mesmo é encontrado em inúmeras aplicações práticas, como no encontro de uma parede com o chão, os pés de uma mesa em relação ao seu tampo, caixas de papelão, esquadrias de janelas, etc...
Um ângulo de 360 graus é o ângulo que completa o círculo. Após esta volta completa este ângulo coincide com o ângulo de zero graus mas possui a grandeza de 360 graus (360°).
[editar] Quanto a posições
Os ângulos têm denominações distintas com relação ao posicionamento de dois ângulos.
Ângulos Congruentes - São chamados Ângulos Congruentes quando dois ângulos têm a mesma medida.
Propriedades da Congruência dos ângulos:
Reflexiva
Simétrica
Transitiva
Ângulos Consecutivos - Dois ângulos são chamados consecutivos se um dos lados de um deles coincide com um dos lados do outro ângulo.
Ângulos Adjacentes - Dois ângulos são adjacentes quando são consecutivos e não possuem pontos internos comuns.
Ângulos opostos pelo vértice - São ângulos compostos por duas retas cujo ângulo interno ou externos a estas retas e diagonalmente opostos são congruentes.
[editar] Quanto a complementações
Ângulos complementares a e b (b é o complemento de a, e a é o complemento de b).
Os ângulos a e b são suplementares; a é agudo e b é obtuso.Ângulos Complementares - Dois ângulos são Complementares quando a soma de suas medidas é igual a 90°. Neste caso, cada um é o complemento do outro.
Ângulos Suplementares - Dois ângulos são Suplementares quando a soma de suas medidas é igual a 180°. Neste caso, cada um é o suplemento do outro.
Ângulos Replementares - Dois ângulos são Replementares quando a soma de suas medidas é igual a 360°. Neste caso, cada um é o replemento do outro.
Ângulos Explementares - Dois ângulos são Explementares quando a diferença de suas medidas é igual a 180. Neste caso, cada um é o explemento do outro
Componentes de um ângulo
Semi-retas - são as duas retas laterais ao ângulo.
Origem ou vértice - ponto onde as duas semi-retas se cruzam.
Bissetriz - é a semi-reta com origem no vértice desse ângulo dividindo-o ao meio.
[editar] Unidades de medidas para ângulos
De forma a medir um ângulo, um círculo com centro no vértice é desenhado. Como a circunferência do círculo é sempre diretamente proporcional ao comprimento de seu raio, a medida de um ângulo é independente do tamanho do círculo.
A medida em radianos de um ângulo é o comprimento do arco cortado pelo ângulo, dividido pelo raio do círculo. O SI utiliza o radiano como a unidade derivada para ângulos. Devido ao seu relacionamento com o comprimento do arco, radianos são uma unidade especial. Senos e co-senos cujos argumentos estão em radianos possuem propriedades analíticas particulares, tal como criar funções exponenciais em base e.
A medida em graus de um ângulo é o comprimento de um arco, dividido pela circunferência de um círculo e multiplicada por 360. O símbolo de graus é um pequeno círculo sobrescrito °. 2π radianos é igual a 360° (um círculo completo), então um radiano é aproximadamente 57° e um grau é π/180 radianos.
O gradiano, também chamado de grado, é uma medida angular onde o arco é divido pela circunferência e multiplicado por 400. Essa forma é usado mais em triangulação.
O ponto é usado em navegação, e é definida como 1/32 do círculo, ou exatamente 11,25°.
...
O círculo completo ou volta completa representa o número ou a fração de voltas completas. Por exemplo, π/2 radianos = 90° = 1/4 de um círculo completo.
O ângulo nulo é um ângulo que tem 0°.
[editar] Medindo ângulos
O ângulo θ é o quociente de s por r.Para medir um ângulo θ, um arco circular centrado no vértice do ângulo é desenhado. O comprimento do arco s é então dividido pelo raio do círculo r, e multiplicado por uma constante k, que depende da unidade de medida selecionada (graus ou radianos). Se a unidade for radianos, k = 1; se a unidade for graus, .
Cabe mencionar que valor de θ é independente do tamanho do círculo (a proporção s/r é mantida), pois se o raio do círculo aumenta, o comprimento do arco também aumenta na mesma proporção.
[editar] Tipos de ângulos
[editar] Quanto ao ângulo
Ângulo agudo
Ângulo reto
Ângulo obtuso
Ângulo raso
Ângulo giro ou ângulo completoCom relação às suas medidas, os ângulos podem ser classificados como
Nulo: Um ângulo nulo mede 0°
Agudo: Ângulo cuja medida é maior do que 0° e menor do que 90°
Reto: Um ângulo reto é um ângulo cuja medida é exatamente 90°. Assim os seus lados estão localizados em retas perpendiculares.
Obtuso: É um ângulo cuja medida está entre 90° e 180°.
Raso: Ângulo que mede exatamente 180°, os seus lados são semi-retas opostas.
Côncavo: Ângulo que mede mais de 180°e menos de 360°.
Giro ou Completo: Ângulo que mede 360°. Também pode ser chamado de Ângulo de uma volta.
O ângulo reto (90°) é provavelmente o ângulo mais importante, pois o mesmo é encontrado em inúmeras aplicações práticas, como no encontro de uma parede com o chão, os pés de uma mesa em relação ao seu tampo, caixas de papelão, esquadrias de janelas, etc...
Um ângulo de 360 graus é o ângulo que completa o círculo. Após esta volta completa este ângulo coincide com o ângulo de zero graus mas possui a grandeza de 360 graus (360°).
[editar] Quanto a posições
Os ângulos têm denominações distintas com relação ao posicionamento de dois ângulos.
Ângulos Congruentes - São chamados Ângulos Congruentes quando dois ângulos têm a mesma medida.
Propriedades da Congruência dos ângulos:
Reflexiva
Simétrica
Transitiva
Ângulos Consecutivos - Dois ângulos são chamados consecutivos se um dos lados de um deles coincide com um dos lados do outro ângulo.
Ângulos Adjacentes - Dois ângulos são adjacentes quando são consecutivos e não possuem pontos internos comuns.
Ângulos opostos pelo vértice - São ângulos compostos por duas retas cujo ângulo interno ou externos a estas retas e diagonalmente opostos são congruentes.
[editar] Quanto a complementações
Ângulos complementares a e b (b é o complemento de a, e a é o complemento de b).
Os ângulos a e b são suplementares; a é agudo e b é obtuso.Ângulos Complementares - Dois ângulos são Complementares quando a soma de suas medidas é igual a 90°. Neste caso, cada um é o complemento do outro.
Ângulos Suplementares - Dois ângulos são Suplementares quando a soma de suas medidas é igual a 180°. Neste caso, cada um é o suplemento do outro.
Ângulos Replementares - Dois ângulos são Replementares quando a soma de suas medidas é igual a 360°. Neste caso, cada um é o replemento do outro.
Ângulos Explementares - Dois ângulos são Explementares quando a diferença de suas medidas é igual a 180. Neste caso, cada um é o explemento do outro
quinta-feira, 21 de janeiro de 2010
Números irracionais
A origem histórica da necessidade de criação dos números irracionais está intimamente ligada com fatos de natureza geométrica e de natureza aritmética. Os de natureza geométrica podem ser ilustrados com o problema da medida da diagonal do quadrado quando a comparamos com o seu lado.
Este problema geométrico arrasta outro de natureza aritmética, que consiste na impossibilidade de encontrar números conhecidos - racionais - para raízes quadradas de outros números, como por exemplo, raiz quadrada de 2. Estes problemas já eram conhecidos da Escola Pitagórica (séc. V a.c.), que considerava os irracionais heréticos. A Ciência grega consegui um aprofundamento de toda a teoria dos números racionais, por via geométrica - "Elementos de Euclides" - mas não avançou, por razões essencialmente filosóficas, no campo do conceito de número. Para os gregos, toda a figura geométrica era formada por um número finito de pontos, sendo estes concebidos como minúsculos corpúsculos - "as mónadas" - todos iguais entre si; daí resultava que, ao medir um comprimento de n mónadas com outro de m, essa medida seria sempre representada por uma razão entre dois inteiros n/m (número racional); tal comprimento incluía-se, então na categoria dos comensuráveis. Ao encontrar os irracionais, aos quais não conseguem dar forma de fracção, os matemáticos gregos são levados a conceber grandezas incomensuráveis. A reta onde se marcavam todos os racionais era, para eles, perfeitamente contínua; admitir os irracionais era imaginála cheia de "buracos". É no séc. XVII, com a criação da Geometria Analítica (Fermat e Descartes), que se estabelece a simbiose do geométrico com o algébrico, favorecendo o tratamento aritmético do comensurável e do incomensurável. Newton (1642-1727) define pela primeira vez "número", tanto racional como irracional.
O IRRACIONAL ø
ø =1,6180339887... ou ø =(1 + sqr(5))/2 é considerado símbolo de harmonia. Os artistas gregos usavam-no em arquitetura; Leonardo da Vinci, nos seus trabalhos artísticos; e, no mundo moderno, o arquiteto Le Corbusier, com base nele, apresentou, em 1948, O modulor. O número de ouro descobre-se em relações métricas: - na natureza: em animais (como na concha do Nautilus) flores, frutos, na disposição dos ramos de certas árvores;- em figuras geométricas, tais como o retângulo de ouro, hexágono e decágono regulares e poliedros regulares;- em inúmeros monumentos, desde a Pirâmide de Quéops até diversas catedrais, na escultura, pintura e até na música.
Este problema geométrico arrasta outro de natureza aritmética, que consiste na impossibilidade de encontrar números conhecidos - racionais - para raízes quadradas de outros números, como por exemplo, raiz quadrada de 2. Estes problemas já eram conhecidos da Escola Pitagórica (séc. V a.c.), que considerava os irracionais heréticos. A Ciência grega consegui um aprofundamento de toda a teoria dos números racionais, por via geométrica - "Elementos de Euclides" - mas não avançou, por razões essencialmente filosóficas, no campo do conceito de número. Para os gregos, toda a figura geométrica era formada por um número finito de pontos, sendo estes concebidos como minúsculos corpúsculos - "as mónadas" - todos iguais entre si; daí resultava que, ao medir um comprimento de n mónadas com outro de m, essa medida seria sempre representada por uma razão entre dois inteiros n/m (número racional); tal comprimento incluía-se, então na categoria dos comensuráveis. Ao encontrar os irracionais, aos quais não conseguem dar forma de fracção, os matemáticos gregos são levados a conceber grandezas incomensuráveis. A reta onde se marcavam todos os racionais era, para eles, perfeitamente contínua; admitir os irracionais era imaginála cheia de "buracos". É no séc. XVII, com a criação da Geometria Analítica (Fermat e Descartes), que se estabelece a simbiose do geométrico com o algébrico, favorecendo o tratamento aritmético do comensurável e do incomensurável. Newton (1642-1727) define pela primeira vez "número", tanto racional como irracional.
O IRRACIONAL ø
ø =1,6180339887... ou ø =(1 + sqr(5))/2 é considerado símbolo de harmonia. Os artistas gregos usavam-no em arquitetura; Leonardo da Vinci, nos seus trabalhos artísticos; e, no mundo moderno, o arquiteto Le Corbusier, com base nele, apresentou, em 1948, O modulor. O número de ouro descobre-se em relações métricas: - na natureza: em animais (como na concha do Nautilus) flores, frutos, na disposição dos ramos de certas árvores;- em figuras geométricas, tais como o retângulo de ouro, hexágono e decágono regulares e poliedros regulares;- em inúmeros monumentos, desde a Pirâmide de Quéops até diversas catedrais, na escultura, pintura e até na música.
quarta-feira, 20 de janeiro de 2010
Números Inteiros
Introdução aos números inteiros
Na época do Renascimento, os matemáticos sentiram cada vez mais a necessidade de um novo tipo de número, que pudesse ser a solução de equações tão simples como:
x + 2 = 0, 2x + 10 = 0, 4y + 4 = 0
As Ciências precisavam de símbolos para representar temperaturas acima e abaixo de 0º C, por exemplo. Os astrônomos e físicos estavam procurando uma linguagem matemática capaz de expressar o movimento de atração entre dois corpos. Quando um corpo age com uma força sobre outro corpo, este reage com uma força de mesma intensidade e sentido contrário.
Mas a tarefa não ficava somente em criar um novo número, era preciso encontrar um símbolo que permitisse operar com esse número criado, de modo prático e eficiente.
Sobre a origem dos sinais
A idéia sobre os sinais vem dos comerciantes da época. Os matemáticos encontraram a melhor notação para expressar esse novo tipo de número. Veja como faziam tais comerciantes:
Suponha que um deles tivesse em seu armazém duas sacas de feijão com 10 kg cada. Se esse comerciante vendesse num dia 8 Kg de feijão, ele escrevia o número 8 com um traço (semelhante ao atual sinal de menos) na frente para não se esquecer de que no saco faltava 8 Kg de feijão.
Mas se ele resolvesse despejar no outro saco os 2 Kg que restaram, escrevia o número 2 com dois traços cruzados (semelhante ao atual sinal de mais) na frente, para se lembrar de que no saco havia 2 Kg de feijão a mais que a quantidade inicial.
Com essa nova notação,os matemáticos poderiam, não somente indicar as quantidades, mas também representar o ganho ou a perda dessas quantidades, através de números, com sinal positivo ou negativo.
O conjunto Z dos Números Inteiros
Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos números naturais, o conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto é denotado pela letra Z (Zahlen=número em alemão). Este conjunto pode ser escrito por:
Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...}
Exemplos de subconjuntos do conjunto Z:
Conjunto dos números inteiros exceto o número zero:
Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...}
Conjunto dos números inteiros não negativos:
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4,...}
Conjunto dos números inteiros não positivos:
Z- = {..., -4, -3, -2, -1, 0}
Observação: Não existe padronização para estas notações.
Reta Numerada
Uma forma de representar geometricamente o conjunto Z é construir uma reta numerada, considerar o número 0 como a origem e o número 1 em algum lugar, tomar a unidade de medida como a distância entre 0 e 1 e por os números inteiros da seguinte maneira:
Ao observar a reta numerada notamos que a ordem que os números inteiros obedecem é crescente da esquerda para a direita, razão pela qual indicamos com uma seta para a direita. Esta consideração é adotada por convenção, o que nos permite pensar que se fosse adotada outra forma, não haveria qualquer problema.
Baseando-se ainda na reta numerada podemos afirmar que todos os números inteiros possuem um e somente um antecessor e também um e somente um sucessor.
Ordem no conjunto Z
O sucessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua direita na reta (em Z) e o antecessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua esquerda na reta (em Z).
Exemplos:
3 é sucessor de 2;
-5 é antecessor de -4
0 é antecessor de 1
-1 é sucessor de -2
Simetria no conjunto Z
Todo número inteiro z exceto o zero, possui um elemento denominado simétrico ou oposto -z e ele é caracterizado pelo fato geométrico que tanto z como -z estão à mesma distância da origem do conjunto Z que é 0.
Exemplos:
O oposto de ganhar é perder;
O oposto de perder é ganhar;
O oposto de 3 é -3
O oposto de 5 é -5
Módulo de um número Inteiro
O módulo ou valor absoluto de um número Inteiro é definido como sendo o maior valor entre um número e seu elemento oposto e pode ser denotado pelo uso de duas barras verticais | |. Assim:
|x| = max{-x,x}
Exemplos:
|0| = 0
|8| = 8
|-6| = 6
Observação: Do ponto de vista geométrico, o módulo de um número inteiro corresponde à distância deste número até a origem (zero) na reta numérica inteira.
A soma (adição) de números inteiros
Para melhor entendimento desta operação, associaremos aos números inteiros positivos a idéia de ganhar e aos números inteiros negativos a idéia de perder.
ganhar 3 + ganhar 4 = ganhar 7
(+3) + (+4) = (+7)
perder 3 + perder 4 = perder 7
(-3) + (-4) = (-7)
ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3
(+8) + (-5) = (+3)
perder 8 + ganhar 5 = perder 3
(-8) + (+5) = (-3)
Atenção: O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado, mas o sinal (-) antes do número negativo nunca pode ser dispensado.
Exemplos:
-3 + 3 = 0
6 + 3 = 9
5 - 1 = 4
Propriedades da adição de números inteiros
Fecho: O conjunto Z é fechado para a adição, isto é, a soma de dois números inteiros ainda é um número inteiro.
Associativa: Para todos a,b,c em Z:
a + ( b + c ) = ( a + b ) + c
2 + ( 3 + 7 ) = ( 2 + 3 ) + 7
Comutativa: Para todos a,b em Z:
a + b = b + a
3 + 7 = 7 + 3
Elemento neutro: Existe 0 em Z, que adicionado a todo z em Z, proporciona o próprio z, isto é:
z + 0 = z
7 + 0 = 7
Elemento oposto: Para todo z em Z, existe (-z) em Z, tal que
z + (-z) = 0
9 + (-9) = 0
A Multiplicação (produto) de números inteiros
A multiplicação funciona como uma forma simplificada de uma adição quando os números são repetidos. Poderiamos analisar tal situação como o fato de estarmos ganhando repetidamente alguma quantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto por 30 vezes consectivas, significa ganhar 30 objetos e esta repetição pode ser indicada por um x, isto é:
1 + 1 + 1 + ... + 1 + 1 = 30 x 1 = 30
Se trocarmos o número 1 pelo número 2, teremos:
2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = 30 x 2 = 60
Se trocarmos o número 2 pelo número -2, teremos:
(-2) + (-2) + ... + (-2) = 30 x (-2) = -60
Observamos então que a multiplicação é um caso particular da adição onde os valores são repetidos.
Na multiplicação o produto dos números a e b, pode ser indicado por axb, a.b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras.
Para realizar a multiplicação de números inteiros, devemos obedecer à seguinte regra de sinais:
(+1) x (+1) = (+1)
(+1) x (-1) = (-1)
(-1) x (+1) = (-1)
(-1) x (-1) = (+1)
Podemos assim concluir que:
Sinais iguais produto de inteiros é positivo.
Sinais diferentes produto de inteiros é negativo.
Propriedades da multiplicação de números inteiros
Fecho: O conjunto Z é fechado para a multiplicação, isto é, a multiplicação de dois números inteiros ainda é um número inteiro.
Associativa: Para todos a,b,c em Z:
a x ( b x c ) = ( a x b ) x c
2 x ( 3 x 7 ) = ( 2 x 3 ) x 7
Comutativa: Para todos a,b em Z:
a x b = b x a
3 x 7 = 7 x 3
Elemento neutro: Existe 1 em Z, que multiplicado por todo z em Z, proporciona o próprio z, isto é:
z x 1 = z
7 x 1 = 7
Elemento inverso: Para todo z em Z, z diferente de zero, existe z-1=1/z em Z, tal que
z x z-1 = z x (1/z) = 1
9 x 9-1 = 9 x (1/9) = 1
Propriedade mista (distributiva)
Distributiva: Para todos a,b,c em Z:
a x ( b + c ) = ( a x b ) + ( a x c )
3 x ( 4 + 5 ) = ( 3 x 4 ) + ( 3 x 5 )
Potenciação de números inteiros
Definição: A potência an do número inteiro a, é definida como um produto de n fatores iguais. O número a é denominado a base e o número n é o expoente.
an = a x a x a x a x ... x a
n vezes
Exemplos:
23 = 2 x 2 x 2 = 8
(-2)3 = (-2) x (-2) x (-2) = (-8)
(-5)2 = (-5) x (-5) = 25
(+5)2 = (+5) x (+5) = 25
com os exemplos acima, podemos observar que a potência de todo número inteiro elevado a um expoente par é um número positivo e a potência de todo número inteiro elevado a um expoente ímpar é um número que conserva o seu sinal.
Observação: Quando o expoente é n=2, a potência a2 pode ser lida como: "a elevado ao quadrado" e quando o expoente é n=3, a potência a3 pode ser lida como: "a elevado ao cubo". Tais leituras são provenientes do fato que área do quadrado pode ser obtida por A=a2 onde a é o lado e o volume do cubo pode ser obtido por V=a3 onde a é o lado do cubo.
Radiciação de números inteiros
Definição: A raiz n-ésima (de ordem n) de um número inteiro a é a operação que resulta em um outro número inteiro não negativo b que elevado à potência n fornece o número a. O número n é o índice da raiz enquanto que o número a é o radicando (que fica sob o sinal do radical). Leia a observação seguinte para entender as razões pelas quais não uso o símbolo de radical neste trabalho.
Observação: Por deficiência da própria linguagem HTML, que até hoje não implementou o sinal de raiz n-ésima, usarei aqui Rn[a] para indicar a raiz n-ésima de a. Quando n=2, simplesmente indicarei a raiz de ordem 2 de um número inteiro a como R[a].
Dessa forma, b é a raiz n-ésima de a se, e somente se, a=bn, isto é:
b = Rn[a] <=> a = bn
Definição: A raiz quadrada (de ordem 2) de um número inteiro a é a operação que resulta em um outro número inteiro não negativo que elevado ao quadrado seja igual ao número a.
Observação importante: Não existe a raiz quadrada de um número inteiro negativo no conjunto dos números inteiros. A existência de um número cujo quadrado é igual a um número negativo só será estudada mais tarde no contexto dos números complexos.
Erro muito comum: Freqüentemente lemos em alguns materiais didáticos e até mesmo ocorre em algumas aulas aparecimento de:
R[9] = ±3
mas isto está errado. O certo é:
R[9] = +3
Observamos que não existe um número inteiro não negativo que multiplicado por ele mesmo resulte em um número negativo.
Definição: A raiz cúbica (de ordem 3) de um número inteiro a é a operação que resulta em um outro número inteiro que elevado ao cubo seja igual ao número a. Aqui não restringimos os nossos cálculos somente aos números não negativos.
Exemplos:
R3[8] = 2, pois 23 = 8.
R3[-8] = -2, pois (-2)3 = -8.
R3[27] = 3, pois 33 = 27.
R3[-27] = -3, pois (-3)3 = -27.
Observação: Obedecendo à regra dos sinais para a multiplicação de números inteiros, concluímos que:
Se o índice da raiz for par, não existe raiz de número inteiro negativo.
Se o índice da raiz for ímpar, é possível extrair a raiz de qualquer número inteiro.
Na época do Renascimento, os matemáticos sentiram cada vez mais a necessidade de um novo tipo de número, que pudesse ser a solução de equações tão simples como:
x + 2 = 0, 2x + 10 = 0, 4y + 4 = 0
As Ciências precisavam de símbolos para representar temperaturas acima e abaixo de 0º C, por exemplo. Os astrônomos e físicos estavam procurando uma linguagem matemática capaz de expressar o movimento de atração entre dois corpos. Quando um corpo age com uma força sobre outro corpo, este reage com uma força de mesma intensidade e sentido contrário.
Mas a tarefa não ficava somente em criar um novo número, era preciso encontrar um símbolo que permitisse operar com esse número criado, de modo prático e eficiente.
Sobre a origem dos sinais
A idéia sobre os sinais vem dos comerciantes da época. Os matemáticos encontraram a melhor notação para expressar esse novo tipo de número. Veja como faziam tais comerciantes:
Suponha que um deles tivesse em seu armazém duas sacas de feijão com 10 kg cada. Se esse comerciante vendesse num dia 8 Kg de feijão, ele escrevia o número 8 com um traço (semelhante ao atual sinal de menos) na frente para não se esquecer de que no saco faltava 8 Kg de feijão.
Mas se ele resolvesse despejar no outro saco os 2 Kg que restaram, escrevia o número 2 com dois traços cruzados (semelhante ao atual sinal de mais) na frente, para se lembrar de que no saco havia 2 Kg de feijão a mais que a quantidade inicial.
Com essa nova notação,os matemáticos poderiam, não somente indicar as quantidades, mas também representar o ganho ou a perda dessas quantidades, através de números, com sinal positivo ou negativo.
O conjunto Z dos Números Inteiros
Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos números naturais, o conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto é denotado pela letra Z (Zahlen=número em alemão). Este conjunto pode ser escrito por:
Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...}
Exemplos de subconjuntos do conjunto Z:
Conjunto dos números inteiros exceto o número zero:
Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...}
Conjunto dos números inteiros não negativos:
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4,...}
Conjunto dos números inteiros não positivos:
Z- = {..., -4, -3, -2, -1, 0}
Observação: Não existe padronização para estas notações.
Reta Numerada
Uma forma de representar geometricamente o conjunto Z é construir uma reta numerada, considerar o número 0 como a origem e o número 1 em algum lugar, tomar a unidade de medida como a distância entre 0 e 1 e por os números inteiros da seguinte maneira:
Ao observar a reta numerada notamos que a ordem que os números inteiros obedecem é crescente da esquerda para a direita, razão pela qual indicamos com uma seta para a direita. Esta consideração é adotada por convenção, o que nos permite pensar que se fosse adotada outra forma, não haveria qualquer problema.
Baseando-se ainda na reta numerada podemos afirmar que todos os números inteiros possuem um e somente um antecessor e também um e somente um sucessor.
Ordem no conjunto Z
O sucessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua direita na reta (em Z) e o antecessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua esquerda na reta (em Z).
Exemplos:
3 é sucessor de 2;
-5 é antecessor de -4
0 é antecessor de 1
-1 é sucessor de -2
Simetria no conjunto Z
Todo número inteiro z exceto o zero, possui um elemento denominado simétrico ou oposto -z e ele é caracterizado pelo fato geométrico que tanto z como -z estão à mesma distância da origem do conjunto Z que é 0.
Exemplos:
O oposto de ganhar é perder;
O oposto de perder é ganhar;
O oposto de 3 é -3
O oposto de 5 é -5
Módulo de um número Inteiro
O módulo ou valor absoluto de um número Inteiro é definido como sendo o maior valor entre um número e seu elemento oposto e pode ser denotado pelo uso de duas barras verticais | |. Assim:
|x| = max{-x,x}
Exemplos:
|0| = 0
|8| = 8
|-6| = 6
Observação: Do ponto de vista geométrico, o módulo de um número inteiro corresponde à distância deste número até a origem (zero) na reta numérica inteira.
A soma (adição) de números inteiros
Para melhor entendimento desta operação, associaremos aos números inteiros positivos a idéia de ganhar e aos números inteiros negativos a idéia de perder.
ganhar 3 + ganhar 4 = ganhar 7
(+3) + (+4) = (+7)
perder 3 + perder 4 = perder 7
(-3) + (-4) = (-7)
ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3
(+8) + (-5) = (+3)
perder 8 + ganhar 5 = perder 3
(-8) + (+5) = (-3)
Atenção: O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado, mas o sinal (-) antes do número negativo nunca pode ser dispensado.
Exemplos:
-3 + 3 = 0
6 + 3 = 9
5 - 1 = 4
Propriedades da adição de números inteiros
Fecho: O conjunto Z é fechado para a adição, isto é, a soma de dois números inteiros ainda é um número inteiro.
Associativa: Para todos a,b,c em Z:
a + ( b + c ) = ( a + b ) + c
2 + ( 3 + 7 ) = ( 2 + 3 ) + 7
Comutativa: Para todos a,b em Z:
a + b = b + a
3 + 7 = 7 + 3
Elemento neutro: Existe 0 em Z, que adicionado a todo z em Z, proporciona o próprio z, isto é:
z + 0 = z
7 + 0 = 7
Elemento oposto: Para todo z em Z, existe (-z) em Z, tal que
z + (-z) = 0
9 + (-9) = 0
A Multiplicação (produto) de números inteiros
A multiplicação funciona como uma forma simplificada de uma adição quando os números são repetidos. Poderiamos analisar tal situação como o fato de estarmos ganhando repetidamente alguma quantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto por 30 vezes consectivas, significa ganhar 30 objetos e esta repetição pode ser indicada por um x, isto é:
1 + 1 + 1 + ... + 1 + 1 = 30 x 1 = 30
Se trocarmos o número 1 pelo número 2, teremos:
2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = 30 x 2 = 60
Se trocarmos o número 2 pelo número -2, teremos:
(-2) + (-2) + ... + (-2) = 30 x (-2) = -60
Observamos então que a multiplicação é um caso particular da adição onde os valores são repetidos.
Na multiplicação o produto dos números a e b, pode ser indicado por axb, a.b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras.
Para realizar a multiplicação de números inteiros, devemos obedecer à seguinte regra de sinais:
(+1) x (+1) = (+1)
(+1) x (-1) = (-1)
(-1) x (+1) = (-1)
(-1) x (-1) = (+1)
Podemos assim concluir que:
Sinais iguais produto de inteiros é positivo.
Sinais diferentes produto de inteiros é negativo.
Propriedades da multiplicação de números inteiros
Fecho: O conjunto Z é fechado para a multiplicação, isto é, a multiplicação de dois números inteiros ainda é um número inteiro.
Associativa: Para todos a,b,c em Z:
a x ( b x c ) = ( a x b ) x c
2 x ( 3 x 7 ) = ( 2 x 3 ) x 7
Comutativa: Para todos a,b em Z:
a x b = b x a
3 x 7 = 7 x 3
Elemento neutro: Existe 1 em Z, que multiplicado por todo z em Z, proporciona o próprio z, isto é:
z x 1 = z
7 x 1 = 7
Elemento inverso: Para todo z em Z, z diferente de zero, existe z-1=1/z em Z, tal que
z x z-1 = z x (1/z) = 1
9 x 9-1 = 9 x (1/9) = 1
Propriedade mista (distributiva)
Distributiva: Para todos a,b,c em Z:
a x ( b + c ) = ( a x b ) + ( a x c )
3 x ( 4 + 5 ) = ( 3 x 4 ) + ( 3 x 5 )
Potenciação de números inteiros
Definição: A potência an do número inteiro a, é definida como um produto de n fatores iguais. O número a é denominado a base e o número n é o expoente.
an = a x a x a x a x ... x a
n vezes
Exemplos:
23 = 2 x 2 x 2 = 8
(-2)3 = (-2) x (-2) x (-2) = (-8)
(-5)2 = (-5) x (-5) = 25
(+5)2 = (+5) x (+5) = 25
com os exemplos acima, podemos observar que a potência de todo número inteiro elevado a um expoente par é um número positivo e a potência de todo número inteiro elevado a um expoente ímpar é um número que conserva o seu sinal.
Observação: Quando o expoente é n=2, a potência a2 pode ser lida como: "a elevado ao quadrado" e quando o expoente é n=3, a potência a3 pode ser lida como: "a elevado ao cubo". Tais leituras são provenientes do fato que área do quadrado pode ser obtida por A=a2 onde a é o lado e o volume do cubo pode ser obtido por V=a3 onde a é o lado do cubo.
Radiciação de números inteiros
Definição: A raiz n-ésima (de ordem n) de um número inteiro a é a operação que resulta em um outro número inteiro não negativo b que elevado à potência n fornece o número a. O número n é o índice da raiz enquanto que o número a é o radicando (que fica sob o sinal do radical). Leia a observação seguinte para entender as razões pelas quais não uso o símbolo de radical neste trabalho.
Observação: Por deficiência da própria linguagem HTML, que até hoje não implementou o sinal de raiz n-ésima, usarei aqui Rn[a] para indicar a raiz n-ésima de a. Quando n=2, simplesmente indicarei a raiz de ordem 2 de um número inteiro a como R[a].
Dessa forma, b é a raiz n-ésima de a se, e somente se, a=bn, isto é:
b = Rn[a] <=> a = bn
Definição: A raiz quadrada (de ordem 2) de um número inteiro a é a operação que resulta em um outro número inteiro não negativo que elevado ao quadrado seja igual ao número a.
Observação importante: Não existe a raiz quadrada de um número inteiro negativo no conjunto dos números inteiros. A existência de um número cujo quadrado é igual a um número negativo só será estudada mais tarde no contexto dos números complexos.
Erro muito comum: Freqüentemente lemos em alguns materiais didáticos e até mesmo ocorre em algumas aulas aparecimento de:
R[9] = ±3
mas isto está errado. O certo é:
R[9] = +3
Observamos que não existe um número inteiro não negativo que multiplicado por ele mesmo resulte em um número negativo.
Definição: A raiz cúbica (de ordem 3) de um número inteiro a é a operação que resulta em um outro número inteiro que elevado ao cubo seja igual ao número a. Aqui não restringimos os nossos cálculos somente aos números não negativos.
Exemplos:
R3[8] = 2, pois 23 = 8.
R3[-8] = -2, pois (-2)3 = -8.
R3[27] = 3, pois 33 = 27.
R3[-27] = -3, pois (-3)3 = -27.
Observação: Obedecendo à regra dos sinais para a multiplicação de números inteiros, concluímos que:
Se o índice da raiz for par, não existe raiz de número inteiro negativo.
Se o índice da raiz for ímpar, é possível extrair a raiz de qualquer número inteiro.
terça-feira, 19 de janeiro de 2010
Numeros
Número, palavra ou símbolo utilizado para designar quantidades ou entidades que se comportem como quantidades.
NÚMEROS REAIS
Números racionais: os inteiros e quebrados positivos e negativos junto com o número zero formam o sistema dos números racionais. Qualquer número racional pode ser representado como um decimal periódico e vice-versa.
Números irracionais: números reais que não podem ser representados como fração ou decimal periódico. Por exemplo, Ã = 1,4142135623... e ð = 3,1415926535... são números irracionais e suas expansões decimais são necessariamente infinitas e não periódicas.
O conjunto dos números racionais junto com o dos irracionais forma o conjunto dos números reais.
NÚMEROS IMAGINÁRIOS
Os números imaginários representam raízes quadradas de números negativos. O símbolo i representa a unidade dos números imaginários e equivale a Á. Qualquer número imaginário pode ser escrito como ai, sendo a um número real.
NÚMEROS COMPLEXOS
Os números complexos resultam da combinação de números reais com imaginários. De forma geral, um número complexo é representado como a + bi, sendo a e b números reais.
Número Complexo, expressão da forma a + bi, sendo a e b números reais e sendo i Á. Estes números podem ser somados, subtraídos, multiplicados e divididos, formando um corpo.
Em um número complexo a + bi, a é conhecido como a parte real e b como a parte imaginária. A adição de números complexos realiza-se somando as partes reais e imaginárias separadamente: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i.
A multiplicação de números complexos baseia-se em que i · i = -1 e em concluir que esta operação é distributiva quanto à adição: (a + bi)·(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc) i.
Os números complexos podem ser representados como pontos de um plano no chamado diagrama de Argand. Dado que os pontos do plano podem ser definidos em função de suas coordenadas polares r e è, todo número complexo z pode ser escrito da forma z = r (cos è + i sen è), sendo r o módulo de z ou a distância do ponto à origem e è é o argumento de z, ou ângulo entre z e o eixo das abscissas x.
Corpo (matemática), conjunto de elementos com os quais se pode realizar operações que satisfazem certas propriedades. A teoria matemática dos corpos é uma das principais ferramentas para estudar as propriedades fundamentais dos números.
Formalmente, um corpo é um conjunto F, junto com duas operações, Å e Ä, que satisfazem certas propriedades. Os símbolos Å e Ä podem indicar a adição e a multiplicação comuns ou outro par qualquer de operações semelhantes. As propriedades que o conjunto F tem que cumprir para ser um corpo são as seguintes: (1) A adição e a multiplicação devem ser uniformes e estar bem definidas: a Å b e a Ä b são elementos únicos de F para qualquer a e b de F (2) Para qualquer par de elementos de F, cumpre-se a propriedade comutativa da adição:
a Å b = b Å a (3) Para qualquer trio de elementos de
F, se cumprem as propriedades associativas da adição e da multiplicação:
(a Å b) Å c = a Å (b Å c) e (a Ä b) Ä c = a Ä (b Ä c)
(4) Existem os elementos neutros da adição e a multiplicação, que se representam como 0 e 1, sendo 0 ≠ 1, que cumprem: a Å 0 = a = 0 Å a e a Ä 1 = a = 1 Ä a para qualquer a de F
(5) Todo elemento a de F tem um elemento simétrico, -a, tal que: a Å (-a) = 0 = (-a) Å a
(6) Todo elemento a de F diferente de zero tem um elemento inverso, a-1, tal que: a Ä a-1 = 1 = a-1 Ä a
(7) A propriedade distributiva cumpre-se para todos os elementos de F: a Ä (b Å c) = a Ä b Å a Ä c
A subtração se define utilizando a quinta propriedade, isto é, a - b = a Å (-b).
A divisão se define utilizando a sexta propriedade, isto é, a / b = a Ä b-1, para todo b diferente de zero.
Sistema de coordenadas, sistema de identificação de elementos em um conjunto de pontos, marcando-os com números. Estes números são chamados de coordenadas e indicam a posição de um ponto dentro do conjunto.
As coordenadas cartesianas são as mais usadas. Em duas dimensões, são formadas por um par de retas que se cortam em ângulo reto. Cada reta é chamada de eixo e desenhada como a horizontal (eixo x) e a vertical (eixo y). Em três dimensões, acrescenta-se o eixo z, perpendicular aos outros.
Em coordenadas polares, a cada ponto do plano são atribuídas as coordenadas (r,è) com relação a uma reta fixa no plano, denominada eixo polar, e a um ponto desta linha chamado de origem. Para um ponto qualquer do plano, a coordenada r é a distância do ponto até a origem, e a è é o ângulo entre o eixo polar e a linha que une a origem e o ponto.
NÚMEROS REAIS
Números racionais: os inteiros e quebrados positivos e negativos junto com o número zero formam o sistema dos números racionais. Qualquer número racional pode ser representado como um decimal periódico e vice-versa.
Números irracionais: números reais que não podem ser representados como fração ou decimal periódico. Por exemplo, Ã = 1,4142135623... e ð = 3,1415926535... são números irracionais e suas expansões decimais são necessariamente infinitas e não periódicas.
O conjunto dos números racionais junto com o dos irracionais forma o conjunto dos números reais.
NÚMEROS IMAGINÁRIOS
Os números imaginários representam raízes quadradas de números negativos. O símbolo i representa a unidade dos números imaginários e equivale a Á. Qualquer número imaginário pode ser escrito como ai, sendo a um número real.
NÚMEROS COMPLEXOS
Os números complexos resultam da combinação de números reais com imaginários. De forma geral, um número complexo é representado como a + bi, sendo a e b números reais.
Número Complexo, expressão da forma a + bi, sendo a e b números reais e sendo i Á. Estes números podem ser somados, subtraídos, multiplicados e divididos, formando um corpo.
Em um número complexo a + bi, a é conhecido como a parte real e b como a parte imaginária. A adição de números complexos realiza-se somando as partes reais e imaginárias separadamente: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i.
A multiplicação de números complexos baseia-se em que i · i = -1 e em concluir que esta operação é distributiva quanto à adição: (a + bi)·(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc) i.
Os números complexos podem ser representados como pontos de um plano no chamado diagrama de Argand. Dado que os pontos do plano podem ser definidos em função de suas coordenadas polares r e è, todo número complexo z pode ser escrito da forma z = r (cos è + i sen è), sendo r o módulo de z ou a distância do ponto à origem e è é o argumento de z, ou ângulo entre z e o eixo das abscissas x.
Corpo (matemática), conjunto de elementos com os quais se pode realizar operações que satisfazem certas propriedades. A teoria matemática dos corpos é uma das principais ferramentas para estudar as propriedades fundamentais dos números.
Formalmente, um corpo é um conjunto F, junto com duas operações, Å e Ä, que satisfazem certas propriedades. Os símbolos Å e Ä podem indicar a adição e a multiplicação comuns ou outro par qualquer de operações semelhantes. As propriedades que o conjunto F tem que cumprir para ser um corpo são as seguintes: (1) A adição e a multiplicação devem ser uniformes e estar bem definidas: a Å b e a Ä b são elementos únicos de F para qualquer a e b de F (2) Para qualquer par de elementos de F, cumpre-se a propriedade comutativa da adição:
a Å b = b Å a (3) Para qualquer trio de elementos de
F, se cumprem as propriedades associativas da adição e da multiplicação:
(a Å b) Å c = a Å (b Å c) e (a Ä b) Ä c = a Ä (b Ä c)
(4) Existem os elementos neutros da adição e a multiplicação, que se representam como 0 e 1, sendo 0 ≠ 1, que cumprem: a Å 0 = a = 0 Å a e a Ä 1 = a = 1 Ä a para qualquer a de F
(5) Todo elemento a de F tem um elemento simétrico, -a, tal que: a Å (-a) = 0 = (-a) Å a
(6) Todo elemento a de F diferente de zero tem um elemento inverso, a-1, tal que: a Ä a-1 = 1 = a-1 Ä a
(7) A propriedade distributiva cumpre-se para todos os elementos de F: a Ä (b Å c) = a Ä b Å a Ä c
A subtração se define utilizando a quinta propriedade, isto é, a - b = a Å (-b).
A divisão se define utilizando a sexta propriedade, isto é, a / b = a Ä b-1, para todo b diferente de zero.
Sistema de coordenadas, sistema de identificação de elementos em um conjunto de pontos, marcando-os com números. Estes números são chamados de coordenadas e indicam a posição de um ponto dentro do conjunto.
As coordenadas cartesianas são as mais usadas. Em duas dimensões, são formadas por um par de retas que se cortam em ângulo reto. Cada reta é chamada de eixo e desenhada como a horizontal (eixo x) e a vertical (eixo y). Em três dimensões, acrescenta-se o eixo z, perpendicular aos outros.
Em coordenadas polares, a cada ponto do plano são atribuídas as coordenadas (r,è) com relação a uma reta fixa no plano, denominada eixo polar, e a um ponto desta linha chamado de origem. Para um ponto qualquer do plano, a coordenada r é a distância do ponto até a origem, e a è é o ângulo entre o eixo polar e a linha que une a origem e o ponto.
segunda-feira, 18 de janeiro de 2010
PI
diâmetro obtemos uma constante: o número PI; representado pela letra grega p. Descrevemos neste artigo definição, história e porque este número aparece em fórmulas como o perímetro da circunferência e a área de um círculo.
O QUE É "PI" ???
"PI" é um número irracional, que não pode ser escrito como um número finito ou repetindo decimais. O valor aproximado é 3,1416 (lembrando que este não é seu valor exato, ele continua.).
Os egípcios sabiam trabalhar muito bem com as razões. Descobriram logo que a razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro é a mesma para qualquer circunferência.
Por definição, " Pi " é a razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro. " PI " será sempre o mesmo valor não importando o tamanho do círculo.
Matematicamente, escrevemos o número " PI " (p) como: comprimento da circunferência / diâmetro.
HISTÓRIA:
Os primeiros vestígios de uma estimativa de p , encontram-se do Papiro de Rhind escrito, aproximadamente, em 1700 a.C. , onde se lê : " a área de um circulo é igual a de um quadrado cujo lado é o diâmetro de círculo diminuído de sua nona parte".
Desde muito antes de Cristo, sabe-se que a razão C / D é constante. A procura desta constante foi tarefa árdua de grandes matemáticos ao longo da história.
Os gregos antigos já sabiam que a razão entre a circunferência (comprimento) de um círculo com o seu diâmetro resultava em uma constante ( que hoje chamamos de PI).
Por volta de 200 a.C. , o matemático Arquimedes de Siracusa aproximou PI inscrevendo polígonos em círculos e levando a relação da circunferência do polígono para o raio do círculo ( que também é o raio do polígono). Quanto mais lados no polígono, mais precisa a aproximação, foi a partir desta conclusão que Arquimedes escreveu um livro " A Medida de um Círculo". Neste livro, declara que PI é um número entre 3 10/71 e 3 1/7.O perímetro de uma roda de diâmetro 4 pés é dado por Vitruvius como sendo 121/2 pés, o que dá à PI o valor de 3 . 1/8. Essa aproximação não é tão boa quanto a de Arquimedes, cuja a obra Vitruvius provavelmente pouco conhecida, mas é de grau de precisão aceitável para as aplicações romanas.
Apolônio escreveu uma obra (agora perdida) chamada "Resultado Rápido" que pareceu ter tratado de processos rápidos de calcular p . Nela, diz-se que o autor obteve uma aproximação de p melhor do que a dada por Arquimedes. Provavelmente o valor que conhecemos com 3,1416. Não sabemos como foi obtido esse valor, que apareceu depois de Ptolomeu e na Índia. Na verdade, há mais perguntas não respondidas sobre Apolônio e sua obra do que sobre Euclides e Arquimedes, pois a maior parte de suas obras desapareceram.
Antes do tempo de Viéte havia já muitas aproximações boas e más para a razão da circunferência para o diâmetro de um círculo, tais como a de V.Otho e A.Anthonisk que, independentemente, redescobriram (por volta de 1573) a aproximação 355 / 113 , subtraindo numeradores e denominadores dos valores de Ptolomeu e Arquimedes, 377 / 120 e 22 / 7 respectivamente. Viéte calculou p corretamente a dez algarismos significativos, aparentemente sem conhecer a aproximação ainda melhor de Al- Kashi.
O uso do valor 3 para p na matemática chinesa antiga não chega a ser um argumento para afirmar dependência com relação à Mesopotâmia, especialmente porque a busca de valores mais precisos, desde os primeiros séculos da era cristã, era mais persistente na China que nos demais lugares. Valores como 3.1547 , , 92 / 29 e 142 / 45 são encontrados; e no terceiro século Liu Hui, um importante comendador do "Nove Capítulos", obteve 3.14 usando um polígono de 96 lados e a aproximação 3.14159 considerando um polígono de 3072 lados.
A fascinação dos chineses com o valor de p atingiu o ápice na obra de Tsu Chúng-Chisch (430-501). Um de seus valores era o familiar valor arquimediano 22 / 7, descrito por Tsu como "inexato", seu valor "preciso" era 355 / 113.
O inglês Willian Shanks calculou p com 707 algarismos exatos em 1873. Em 1947 descobriu-se que o cálculo de Shanks errava no 527º algarismo ( e portanto nos seguintes).
Com auxílio de uma pequena máquina manual, o valor de p foi, então calculado com 808 algarismos decimais exatos.
Depois vieram os computadores. Com seu auxílio, em 1967, na França, calculou-se p e, 500.000 algarismos decimais exatos e em 1984, nos Estados Unidos, com mais de dez milhões (precisamente 10.013.395) algarismos exatos.
Os motivos que levam as pessoas a se esforçarem tanto para calcular p com centenas ou milhares de algarismos decimais seriam: o "Livro dos Recordes de Guines"; e testes em computadores ( fazer as máquinas calcularem e comparar resultados).
POR QUE TAL NÚMERO É REPRESENTADO PELA LETRA GREGA p , QUE É EQUIVALENTE AO NOSSO " P " ?
Nos tempos antigos não havia uma notação padronizada para representar a razão entre a circunferência e o diâmetro. Euler, a princípio, usava ‘p’ ou ‘c’ mas, a partir de 1737, passou a adoptar sistematicamente o símbolo p . Desde então, todo o mundo o seguiu. Na verdade, alguns anos antes, o matemático inglês Willian Jones (1706) propusera a mesma notação, ou seja, utilizou a letra grega p para o número PI, sem muito êxito. Questão de prestígio.
POR QUE O CÍRCULO É DEFINIDO POR 360º ?
Grau é uma unidade de medida angular. Por convenção, a idéia de grau está diretamente relacionada como uma unidade que mede ângulos, assim como o metro mede duração, grama mede massa, segundo mede tempo,...
Além do grau, temos outra unidade para medir arcos e ângulos que é o radiano.
Considerando um arco , contido numa circunferência de raio R, tal que o comprimento do arco seja igual a R..
Um radiano ( 1 rad. ) é um arco cujo comprimento é igual ao do raio da circunferência que o contém.
O angulo AOB mede 1 rad. se, e somente se, determine numa circunferência de centro O um arco de 1 rad.
SE A MEDIDA DA CIRCUNFERÊNCIA É 360º. QUAL SERÁ A MEDIDA EM RADIANOS?
O comprimento de uma circunferência de raio R, numa certa unidade U, é dado por 2p R, pois se .
Temos 2R igual ao diâmetro, aplicando meios por extremos obteremos: C= 2p R ou seja, o comprimento da circunferência.
Logo, sendo X a medida da circunferência em radianos, temos:
Rad. U
1 ____________ R
X ____________ 2p R
\ X= rad.
X = 2p rad. .......... medida da circunferência em radianos.
Como definição temos que uma medida a graus é equivalente a outra medida b radianos se, e somente se:
a º / 360º = b rad. / 2p rad.
( se forem medidas do mesmo arco)
Esta equivalência nos permite transformar unidades de graus para radianos e vice-versa.
FACILITANDO CÁLCULOS
O número p surge inesperadamente em várias situações. Por exemplo, Leibniz notou que 1 – 1 / 3 + 1 / 5 – 1 / 7 + ... = p/ 4 e Euler provou que a soma dos inversos dos quadrados de todos os números naturais é igual a p2 / 6. A área da região plana compreendida entre o eixo das abcissas e o gráfico da função é igual a . Inúmeros outros exemplos poderiam ser mencionados, como o seguinte: a probabilidade para que dois número naturais, escolhidos ao acaso sejam primos entre si é de 6/p2.
Como podemos observar o número p serve para tornar mais acessíveis alguns cálculos.
Um número fascinante
PI, o valor da razão entre a circunferência de qualquer círculo e seu diâmetro, é a mais antiga constante matemática que se conhece. E' também um dos poucos objetos matemáticos que, ao ser mencionado, produz reconhecimento e ate mesmo interesse em praticamente qualquer pessoa alfabetizada.
Apesar da antiguidade do nosso conhecimento do PI, ele ainda é fonte de pesquisas em diversas áreas. Com efeito, dentre os objetos matemáticos estudados pelos antigos gregos, há mais de 2 000 anos, Pi é um dos poucos que ainda continua sendo pesquisado: suas propriedades continuam a ser investigadas e procura-se inventar novos e mais poderosos métodos para calcular seu valor, sendo que a divulgação desses resultados constitui uma das raras ocasiões em que vemos a Matemática atingindo os meios de comunicação de massa.
Como uma conseqüência dessa situação, e como uma outra maneira de demonstrar o interesse e fascinação despertados pelo PI, os editores estão sempre a publicar livros dedicados inteiramente ao tema e dirigidos tanto ao grande público como a professores e pesquisadores. Entre os mais recentes, podemos destacar:
· Lennart Berggren (ed) - Pi: A Source Book
Springer Verlag, 2nd ed., NYork, 2000
( nada menos do que 736 paginas! )
· J. P. Delahaye - Le fascinant nombre Pi
Editions Belin / Pour La Science, Paris, 1997.
· J. Arndt - PI, unleashed.
Springer Verlag, NYork, 2000.
Os vários tipos de PI
Em verdade, na Geometria Euclidiana, temos quatro constantes que poderiam ser chamadas de PI:
- PI de circunferências: a constante de proporcionalidade na relação entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro
- PI de áreas de círculos: a constante de proporcionalidade na relação entre a área de um círculo e o quadrado de seu diâmetro
- PI de áreas de esferas: a constante de proporcionalidade na relação entre a área de uma esfera e o quadrado de seu diâmetro
- PI de volumes de esferas: a constante de proporcionalidade na relação entre o volume de uma esfera e o cubo de seu diâmetro
Usando as fórmulas clássicas da Geometria, fica muito fácil expressarmos qualquer uma dessas constantes de proporcionalidade em termos das demais. Por questão de tradição, prefere-se trabalhar exclusivamente com o PI da circunferência de círculos, o qual é denotado internacionalmente pela letra pi minúsculo, a letra inicial da palavra grega peripheria que significa perímetro ou circunferência ( essa notação surgiu no início do sec. 1700 e foi adotada e popularizada pelo importante livro Análise Infinitesimal, escrito por Euler c. 1750 ).
A descoberta do PI
Muitas pessoas acham que precisamos ter o valor do PI para calcular circunferência de círculos. Um exemplo clássico mostrando que isso NAO e' verdade e' o cálculo da circunferência da Terra por Erathostenes c. 250 AC. Ele mediu um arco de meridiano terrestre de 5000 estádios e, usando um instrumento de forma semi-esférica ( chamado skaphe ), verificou que esse arco de meridiano era proporcional a um arco de meridiano da skaphe, o qual media 1/50 do meridiano da esfera desse instrumento. Conseqüentemente, concluiu que o meridiano terrestre e' 50*5000 = 250000 estádios. Ou seja, em lugar nenhum precisou saber o valor do PI!
Esse exemplo, e outros que poderíamos mencionar, mostram que é bastante surpreendente que a quase totalidade das pessoas ache que PI foi descoberto ao se relacionar circunferências com diâmetros dos respectivos círculos. Embora a definição usual do PI baseie-se na constância da razão circunferência : diâmetro, muito provavelmente não foi essa a origem do PI. Com efeito, é difícil imaginarmos situações práticas reais onde, numa civilização incipiente, alguém tenha precisado calcular a circunferência de um círculo de diâmetro conhecido, ou vice-versa. Muito mais naturais são problemas requerendo achar a área de um campo circular em termos do diâmetro ou mesmo em termos da circunferência. Em verdade, devia-se até questionar se a descoberta do PI realmente ocorreu no contexto de círculos, e não no de esferas.
Essa inquietação não é só nossa. O famoso historiador matemático Abraham Seidenberg gastou muitos anos de sua vida vasculhando museus e lendo trabalhos de antropologia, em busca dos mais antigos indícios de envolvimento humano com círculos, esferas e o PI. O resultado desses estudos foi resumido nos seus artigos The ritual origin of the circle and square, Archiv. Hist. Exact Sc. 25, (1981), e principalmente em On the volume of a sphere, Archiv. Hist. Exact Sc. 39, (1988). Sua conclusão foi que o cálculo do volume da esfera em termos de seu diâmetro remontaria a antes de 2 000AC, sendo anterior a matemática das grandes antigas civilizações mesopotâmicas, indiana, chinesa e egípcia. O historiador matemático B. van der Waerden identifica essa origem com o que chamo de Tradição Origem da Matemática e a localiza no Vale do Danúbio c. 4 000 AC. Segundo Seidenberg, nessa tradição também se teria reconhecido a igualdade da constante de proporcionalidade relacionando circunferência com diâmetro e área de círculo com quadrado do raio; ou seja, já nessa tradição, possivelmente lá por 3000 a 4000AC, se teria reconhecido que o "PI da circunferência" é igual ao "PI da área do círculo". Também é interessante observar que Seidenberg concluiu que a descoberta dessa igualdade usou métodos infinitesimais, ao estilo de Cavalieri.
É preciso que fique bem claro que o que o trabalho de Seidenberg achou na noite dos tempos, em bem remota antiguidade, foram apenas indícios indiretos de envolvimento com PI. Os mais antigos documentos concretos que temos e que tratam explícitamente de PI são tabletas mesopotâmicas de c. 2 000 AC, como a mostrada ao lado. Examinando a figura desenhada, fica fácil ver que a mesma corresponde a adotar a aproximação grosseira PI = 3, que é a mais comum das aproximações para PI que encontramos nos documentos mesopotâmicos.
Por que é tão difícil calcular o PI?
A principal razão é que PI não é uma fração. Com efeito, se PI pudesse ser escrito como uma fração m / n, seu cálculo poderia
· ou se resumir em buscar o valor de tais numeros inteiros m e n
· ou explorar a periodicidade de sua representação decimal
( por exemplo, se fosse verdade que PI = 22 / 7 = 3.142857 142857 142857 ..., então nos bastaria achar o valor da parte inteira, 3, e o bloco 142857 que se repete indefinidamente )
O fato de que, por mais de 2000 anos, ninguém tivesse conseguido explorar nenhuma das duas possibilidades acima é exatamente o que sugeriu que PI não deva ser uma fração. A verificação rigorosa desse fato, ou seja a demonstração da irracionalidade de PI, veio só com Lambert, em 1 761.
Em verdade, por si só, a irracionalidade de PI não seria suficiente para determinar a dificuldade de seu cálculo; com efeito, existem irracionais de representação decimal previsível, e então fáceis de calcular, como é o caso de 3.10110111011110... . PI é difícil de calcular porque é um irracional imprevisível: sua representação decimal não mostra nenhuma previsibilidade, sendo que acredita-se que seus algarismos se distribuam aleatoriamente.
O QUE É "PI" ???
"PI" é um número irracional, que não pode ser escrito como um número finito ou repetindo decimais. O valor aproximado é 3,1416 (lembrando que este não é seu valor exato, ele continua.).
Os egípcios sabiam trabalhar muito bem com as razões. Descobriram logo que a razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro é a mesma para qualquer circunferência.
Por definição, " Pi " é a razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro. " PI " será sempre o mesmo valor não importando o tamanho do círculo.
Matematicamente, escrevemos o número " PI " (p) como: comprimento da circunferência / diâmetro.
HISTÓRIA:
Os primeiros vestígios de uma estimativa de p , encontram-se do Papiro de Rhind escrito, aproximadamente, em 1700 a.C. , onde se lê : " a área de um circulo é igual a de um quadrado cujo lado é o diâmetro de círculo diminuído de sua nona parte".
Desde muito antes de Cristo, sabe-se que a razão C / D é constante. A procura desta constante foi tarefa árdua de grandes matemáticos ao longo da história.
Os gregos antigos já sabiam que a razão entre a circunferência (comprimento) de um círculo com o seu diâmetro resultava em uma constante ( que hoje chamamos de PI).
Por volta de 200 a.C. , o matemático Arquimedes de Siracusa aproximou PI inscrevendo polígonos em círculos e levando a relação da circunferência do polígono para o raio do círculo ( que também é o raio do polígono). Quanto mais lados no polígono, mais precisa a aproximação, foi a partir desta conclusão que Arquimedes escreveu um livro " A Medida de um Círculo". Neste livro, declara que PI é um número entre 3 10/71 e 3 1/7.O perímetro de uma roda de diâmetro 4 pés é dado por Vitruvius como sendo 121/2 pés, o que dá à PI o valor de 3 . 1/8. Essa aproximação não é tão boa quanto a de Arquimedes, cuja a obra Vitruvius provavelmente pouco conhecida, mas é de grau de precisão aceitável para as aplicações romanas.
Apolônio escreveu uma obra (agora perdida) chamada "Resultado Rápido" que pareceu ter tratado de processos rápidos de calcular p . Nela, diz-se que o autor obteve uma aproximação de p melhor do que a dada por Arquimedes. Provavelmente o valor que conhecemos com 3,1416. Não sabemos como foi obtido esse valor, que apareceu depois de Ptolomeu e na Índia. Na verdade, há mais perguntas não respondidas sobre Apolônio e sua obra do que sobre Euclides e Arquimedes, pois a maior parte de suas obras desapareceram.
Antes do tempo de Viéte havia já muitas aproximações boas e más para a razão da circunferência para o diâmetro de um círculo, tais como a de V.Otho e A.Anthonisk que, independentemente, redescobriram (por volta de 1573) a aproximação 355 / 113 , subtraindo numeradores e denominadores dos valores de Ptolomeu e Arquimedes, 377 / 120 e 22 / 7 respectivamente. Viéte calculou p corretamente a dez algarismos significativos, aparentemente sem conhecer a aproximação ainda melhor de Al- Kashi.
O uso do valor 3 para p na matemática chinesa antiga não chega a ser um argumento para afirmar dependência com relação à Mesopotâmia, especialmente porque a busca de valores mais precisos, desde os primeiros séculos da era cristã, era mais persistente na China que nos demais lugares. Valores como 3.1547 , , 92 / 29 e 142 / 45 são encontrados; e no terceiro século Liu Hui, um importante comendador do "Nove Capítulos", obteve 3.14 usando um polígono de 96 lados e a aproximação 3.14159 considerando um polígono de 3072 lados.
A fascinação dos chineses com o valor de p atingiu o ápice na obra de Tsu Chúng-Chisch (430-501). Um de seus valores era o familiar valor arquimediano 22 / 7, descrito por Tsu como "inexato", seu valor "preciso" era 355 / 113.
O inglês Willian Shanks calculou p com 707 algarismos exatos em 1873. Em 1947 descobriu-se que o cálculo de Shanks errava no 527º algarismo ( e portanto nos seguintes).
Com auxílio de uma pequena máquina manual, o valor de p foi, então calculado com 808 algarismos decimais exatos.
Depois vieram os computadores. Com seu auxílio, em 1967, na França, calculou-se p e, 500.000 algarismos decimais exatos e em 1984, nos Estados Unidos, com mais de dez milhões (precisamente 10.013.395) algarismos exatos.
Os motivos que levam as pessoas a se esforçarem tanto para calcular p com centenas ou milhares de algarismos decimais seriam: o "Livro dos Recordes de Guines"; e testes em computadores ( fazer as máquinas calcularem e comparar resultados).
POR QUE TAL NÚMERO É REPRESENTADO PELA LETRA GREGA p , QUE É EQUIVALENTE AO NOSSO " P " ?
Nos tempos antigos não havia uma notação padronizada para representar a razão entre a circunferência e o diâmetro. Euler, a princípio, usava ‘p’ ou ‘c’ mas, a partir de 1737, passou a adoptar sistematicamente o símbolo p . Desde então, todo o mundo o seguiu. Na verdade, alguns anos antes, o matemático inglês Willian Jones (1706) propusera a mesma notação, ou seja, utilizou a letra grega p para o número PI, sem muito êxito. Questão de prestígio.
POR QUE O CÍRCULO É DEFINIDO POR 360º ?
Grau é uma unidade de medida angular. Por convenção, a idéia de grau está diretamente relacionada como uma unidade que mede ângulos, assim como o metro mede duração, grama mede massa, segundo mede tempo,...
Além do grau, temos outra unidade para medir arcos e ângulos que é o radiano.
Considerando um arco , contido numa circunferência de raio R, tal que o comprimento do arco seja igual a R..
Um radiano ( 1 rad. ) é um arco cujo comprimento é igual ao do raio da circunferência que o contém.
O angulo AOB mede 1 rad. se, e somente se, determine numa circunferência de centro O um arco de 1 rad.
SE A MEDIDA DA CIRCUNFERÊNCIA É 360º. QUAL SERÁ A MEDIDA EM RADIANOS?
O comprimento de uma circunferência de raio R, numa certa unidade U, é dado por 2p R, pois se .
Temos 2R igual ao diâmetro, aplicando meios por extremos obteremos: C= 2p R ou seja, o comprimento da circunferência.
Logo, sendo X a medida da circunferência em radianos, temos:
Rad. U
1 ____________ R
X ____________ 2p R
\ X= rad.
X = 2p rad. .......... medida da circunferência em radianos.
Como definição temos que uma medida a graus é equivalente a outra medida b radianos se, e somente se:
a º / 360º = b rad. / 2p rad.
( se forem medidas do mesmo arco)
Esta equivalência nos permite transformar unidades de graus para radianos e vice-versa.
FACILITANDO CÁLCULOS
O número p surge inesperadamente em várias situações. Por exemplo, Leibniz notou que 1 – 1 / 3 + 1 / 5 – 1 / 7 + ... = p/ 4 e Euler provou que a soma dos inversos dos quadrados de todos os números naturais é igual a p2 / 6. A área da região plana compreendida entre o eixo das abcissas e o gráfico da função é igual a . Inúmeros outros exemplos poderiam ser mencionados, como o seguinte: a probabilidade para que dois número naturais, escolhidos ao acaso sejam primos entre si é de 6/p2.
Como podemos observar o número p serve para tornar mais acessíveis alguns cálculos.
Um número fascinante
PI, o valor da razão entre a circunferência de qualquer círculo e seu diâmetro, é a mais antiga constante matemática que se conhece. E' também um dos poucos objetos matemáticos que, ao ser mencionado, produz reconhecimento e ate mesmo interesse em praticamente qualquer pessoa alfabetizada.
Apesar da antiguidade do nosso conhecimento do PI, ele ainda é fonte de pesquisas em diversas áreas. Com efeito, dentre os objetos matemáticos estudados pelos antigos gregos, há mais de 2 000 anos, Pi é um dos poucos que ainda continua sendo pesquisado: suas propriedades continuam a ser investigadas e procura-se inventar novos e mais poderosos métodos para calcular seu valor, sendo que a divulgação desses resultados constitui uma das raras ocasiões em que vemos a Matemática atingindo os meios de comunicação de massa.
Como uma conseqüência dessa situação, e como uma outra maneira de demonstrar o interesse e fascinação despertados pelo PI, os editores estão sempre a publicar livros dedicados inteiramente ao tema e dirigidos tanto ao grande público como a professores e pesquisadores. Entre os mais recentes, podemos destacar:
· Lennart Berggren (ed) - Pi: A Source Book
Springer Verlag, 2nd ed., NYork, 2000
( nada menos do que 736 paginas! )
· J. P. Delahaye - Le fascinant nombre Pi
Editions Belin / Pour La Science, Paris, 1997.
· J. Arndt - PI, unleashed.
Springer Verlag, NYork, 2000.
Os vários tipos de PI
Em verdade, na Geometria Euclidiana, temos quatro constantes que poderiam ser chamadas de PI:
- PI de circunferências: a constante de proporcionalidade na relação entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro
- PI de áreas de círculos: a constante de proporcionalidade na relação entre a área de um círculo e o quadrado de seu diâmetro
- PI de áreas de esferas: a constante de proporcionalidade na relação entre a área de uma esfera e o quadrado de seu diâmetro
- PI de volumes de esferas: a constante de proporcionalidade na relação entre o volume de uma esfera e o cubo de seu diâmetro
Usando as fórmulas clássicas da Geometria, fica muito fácil expressarmos qualquer uma dessas constantes de proporcionalidade em termos das demais. Por questão de tradição, prefere-se trabalhar exclusivamente com o PI da circunferência de círculos, o qual é denotado internacionalmente pela letra pi minúsculo, a letra inicial da palavra grega peripheria que significa perímetro ou circunferência ( essa notação surgiu no início do sec. 1700 e foi adotada e popularizada pelo importante livro Análise Infinitesimal, escrito por Euler c. 1750 ).
A descoberta do PI
Muitas pessoas acham que precisamos ter o valor do PI para calcular circunferência de círculos. Um exemplo clássico mostrando que isso NAO e' verdade e' o cálculo da circunferência da Terra por Erathostenes c. 250 AC. Ele mediu um arco de meridiano terrestre de 5000 estádios e, usando um instrumento de forma semi-esférica ( chamado skaphe ), verificou que esse arco de meridiano era proporcional a um arco de meridiano da skaphe, o qual media 1/50 do meridiano da esfera desse instrumento. Conseqüentemente, concluiu que o meridiano terrestre e' 50*5000 = 250000 estádios. Ou seja, em lugar nenhum precisou saber o valor do PI!
Esse exemplo, e outros que poderíamos mencionar, mostram que é bastante surpreendente que a quase totalidade das pessoas ache que PI foi descoberto ao se relacionar circunferências com diâmetros dos respectivos círculos. Embora a definição usual do PI baseie-se na constância da razão circunferência : diâmetro, muito provavelmente não foi essa a origem do PI. Com efeito, é difícil imaginarmos situações práticas reais onde, numa civilização incipiente, alguém tenha precisado calcular a circunferência de um círculo de diâmetro conhecido, ou vice-versa. Muito mais naturais são problemas requerendo achar a área de um campo circular em termos do diâmetro ou mesmo em termos da circunferência. Em verdade, devia-se até questionar se a descoberta do PI realmente ocorreu no contexto de círculos, e não no de esferas.
Essa inquietação não é só nossa. O famoso historiador matemático Abraham Seidenberg gastou muitos anos de sua vida vasculhando museus e lendo trabalhos de antropologia, em busca dos mais antigos indícios de envolvimento humano com círculos, esferas e o PI. O resultado desses estudos foi resumido nos seus artigos The ritual origin of the circle and square, Archiv. Hist. Exact Sc. 25, (1981), e principalmente em On the volume of a sphere, Archiv. Hist. Exact Sc. 39, (1988). Sua conclusão foi que o cálculo do volume da esfera em termos de seu diâmetro remontaria a antes de 2 000AC, sendo anterior a matemática das grandes antigas civilizações mesopotâmicas, indiana, chinesa e egípcia. O historiador matemático B. van der Waerden identifica essa origem com o que chamo de Tradição Origem da Matemática e a localiza no Vale do Danúbio c. 4 000 AC. Segundo Seidenberg, nessa tradição também se teria reconhecido a igualdade da constante de proporcionalidade relacionando circunferência com diâmetro e área de círculo com quadrado do raio; ou seja, já nessa tradição, possivelmente lá por 3000 a 4000AC, se teria reconhecido que o "PI da circunferência" é igual ao "PI da área do círculo". Também é interessante observar que Seidenberg concluiu que a descoberta dessa igualdade usou métodos infinitesimais, ao estilo de Cavalieri.
É preciso que fique bem claro que o que o trabalho de Seidenberg achou na noite dos tempos, em bem remota antiguidade, foram apenas indícios indiretos de envolvimento com PI. Os mais antigos documentos concretos que temos e que tratam explícitamente de PI são tabletas mesopotâmicas de c. 2 000 AC, como a mostrada ao lado. Examinando a figura desenhada, fica fácil ver que a mesma corresponde a adotar a aproximação grosseira PI = 3, que é a mais comum das aproximações para PI que encontramos nos documentos mesopotâmicos.
Por que é tão difícil calcular o PI?
A principal razão é que PI não é uma fração. Com efeito, se PI pudesse ser escrito como uma fração m / n, seu cálculo poderia
· ou se resumir em buscar o valor de tais numeros inteiros m e n
· ou explorar a periodicidade de sua representação decimal
( por exemplo, se fosse verdade que PI = 22 / 7 = 3.142857 142857 142857 ..., então nos bastaria achar o valor da parte inteira, 3, e o bloco 142857 que se repete indefinidamente )
O fato de que, por mais de 2000 anos, ninguém tivesse conseguido explorar nenhuma das duas possibilidades acima é exatamente o que sugeriu que PI não deva ser uma fração. A verificação rigorosa desse fato, ou seja a demonstração da irracionalidade de PI, veio só com Lambert, em 1 761.
Em verdade, por si só, a irracionalidade de PI não seria suficiente para determinar a dificuldade de seu cálculo; com efeito, existem irracionais de representação decimal previsível, e então fáceis de calcular, como é o caso de 3.10110111011110... . PI é difícil de calcular porque é um irracional imprevisível: sua representação decimal não mostra nenhuma previsibilidade, sendo que acredita-se que seus algarismos se distribuam aleatoriamente.
domingo, 17 de janeiro de 2010
Números de combinações simples
Seja C um conjunto com m elementos distintos. No estudo de arranjos, já vimos antes que é possível escolher p elementos de A, mas quando realizamos tais escolhas pode acontecer que duas coleções com p elementos tenham os mesmos elementos em ordens trocadas. Uma situação típica é a escolha de um casal (H,M).
Quando se fala casal, não tem importância a ordem da posição (H,M) ou (M,H), assim não há a necessidade de escolher duas vezes as mesmas pessoas para formar o referido casal. Para evitar a repetição de elementos em grupos com a mesma quantidade p de elementos, introduziremos o conceito de combinação.
Diremos que uma coleção de p elementos de um conjunto C com m elementos é uma combinação de m elementos tomados p a p, se as coleções com p elementos não tem os mesmos elementos que já apareceram em outras coleções com o mesmo número p de elementos.
Aqui temos outra situação particular de arranjo, mas não pode acontecer a repetição do mesmo grupo de elementos em uma ordem diferente.
Isto significa que dentre todos os A(m,p) arranjos com p elementos, existem p! desses arranjos com os mesmos elementos, assim, para obter a combinação de m elementos tomados p a p, deveremos dividir o número A(m,p) por m! para obter apenas o número de arranjos que contem conjuntos distintos, ou seja:
C(m,p) = A(m,p) / p!
Como A(m,p) = m.(m-1).(m-2). ... .(m-p+1), então:
C(m,p) = [ m.(m-1).(m-2). ... .(m-p+1)] / p!
o que pode ser reescrito
C(m,p) = [ m.(m-1).(m-2). ... .(m-p+1)] / [(1.2.3.4....(p-1)p]
Se multiplicarmos numerador e denominador desta fração por
(m-p)(m-p-1)(m-p-2)...3.2.1
que é o mesmo que multiplicar por (m-p)!, o numerador da fração ficará:
m.(m-1).(m-2).....(m-p+1)(m-p)(m-p-1)...3.2.1 = m!
e o denominador ficará:
p! (m-p)!
Assim, a expressão simplificada para a combinação de n elementos tomados p a p, será:
m!
C(m,p) =
---------------------------------------------------------
p! (m-p)!
Quando se fala casal, não tem importância a ordem da posição (H,M) ou (M,H), assim não há a necessidade de escolher duas vezes as mesmas pessoas para formar o referido casal. Para evitar a repetição de elementos em grupos com a mesma quantidade p de elementos, introduziremos o conceito de combinação.
Diremos que uma coleção de p elementos de um conjunto C com m elementos é uma combinação de m elementos tomados p a p, se as coleções com p elementos não tem os mesmos elementos que já apareceram em outras coleções com o mesmo número p de elementos.
Aqui temos outra situação particular de arranjo, mas não pode acontecer a repetição do mesmo grupo de elementos em uma ordem diferente.
Isto significa que dentre todos os A(m,p) arranjos com p elementos, existem p! desses arranjos com os mesmos elementos, assim, para obter a combinação de m elementos tomados p a p, deveremos dividir o número A(m,p) por m! para obter apenas o número de arranjos que contem conjuntos distintos, ou seja:
C(m,p) = A(m,p) / p!
Como A(m,p) = m.(m-1).(m-2). ... .(m-p+1), então:
C(m,p) = [ m.(m-1).(m-2). ... .(m-p+1)] / p!
o que pode ser reescrito
C(m,p) = [ m.(m-1).(m-2). ... .(m-p+1)] / [(1.2.3.4....(p-1)p]
Se multiplicarmos numerador e denominador desta fração por
(m-p)(m-p-1)(m-p-2)...3.2.1
que é o mesmo que multiplicar por (m-p)!, o numerador da fração ficará:
m.(m-1).(m-2).....(m-p+1)(m-p)(m-p-1)...3.2.1 = m!
e o denominador ficará:
p! (m-p)!
Assim, a expressão simplificada para a combinação de n elementos tomados p a p, será:
m!
C(m,p) =
---------------------------------------------------------
p! (m-p)!
sábado, 16 de janeiro de 2010
Matrizes
Em um observatório meteorológico, um cientista foi incumbido de registrar, de hora em hora, a temperatura de uma região durante os quatro primeiros dias do mês de junho. Depois de realizado o trabalho, o meteorologista apresentou um relatório com a seguinte tabela:
Na qual cada elemento da linha i e coluna j é a temperatura, em graus Celsius, da região na hora i do dia j.
Note a simplicidade dessa tabela. Se quisermos, por exemplo, basear qual foi a temperatura às 9h do dia 3 de junho, basta olharmos para a intersecção da linha 9 com a coluna 3 e encontraremos os 23°C.
Tabelas como estas são denominadas matrizes. Vamos formalizar uma estrutura algébrica para as matrizes, ou seja, definiremos igualdade e operações com elas.
Chama-se matriz do tipo mn (lê-se “m por n”) toda tabela de números dispostos em m linhas e n colunas. Tal tabela deve ser representada entre parênteses ( ), entre colchetes [ ] ou entre barras duplas || ||.
Exemplos:
9 4
Matriz A do tipo 3x2
a) A3 x 2 = 5 6
1 -3
5 -4
b) B2x2 = Matriz b do tipo 2x2
3 -6
c) C 1x3 = || 4 -1 5 || Matriz C do tipo 1x3
CONVENÇÃO
Indicamos por aij o elemento posicionado na linha i e coluna j de uma matriz A.
Exemplo: 9 4
Na matriz A3x2 = 5 6 , temos que:
1 -3
• O numero 9 esta posicionado na linha 1 e coluna 1; indica-se esse elemento por a11, ou seja, a11, = 9;
• O 4 esta posicionado a linha 1 e coluna 2; indica-se esse elemento por a12, ou seja, a12 = 4;
• O 5 esta posicionado na linha 2 e coluna 1; indica-se esse elemento por a21, ou seja, a21 = 5.
Analogamente temos a22 = 6, a31 = 1 e a32 = -3.
]
Podemos representar genericamente uma matriz a do tipo m x n na seguinte maneira:
a11 a12 a13 .... a1n Como esta representação é
Am x n = a21 a22 a23 .... a2n muito extensa, vamos
convencionar uma forma
abreviada. Essa matriz pode
ser representada,
a21 a21 a21 a21 simplesmente, por A=(aij)m x n
ou, quando não houver possibilidade de confusão quanto ao tipo da matriz, por A=(aij).
MATRIZ QUADRADA
Matriz quadrada é toda matriz cujo número de linhas é igual ao número de colunas.
Exemplos:
1 0 3
a) A 3 x 3 = 0 -1 4 É uma matriz quadrada de ordem 3.
6 8 -3
3 6
b) B2x2 = 4 0 É uma matriz quadrada de ordem 2
c) C2x2 = ( 8 ) é uma matriz quadrada de ordem 1.
Numa matriz quadrada A de ordem n, os elementos aij tais que i=j formam a diagonal principal da matriz, e os elementos aij tais que i + j = n + 1 formam a diagonal secundária.
Exemplo:
Diagonal Secundária
a11 a 32 a13
A =
a21 a 32 a23
a31 a32 a33
Diagonal primária
Observe:
• Na diagonal principal os elementos aij possuem i =
a11, a22 e a33
• Na diagonal secundária os elementos aij são tais i + j = 3 + 1 ( em que 3 é a ordem n, que indica por In, a matriz A):
a31, a22 e a13
MATRIZ IDENTIDADE
Chama-se matriz identidade de ordem n, que indica por I¬¬¬n, a matriz:
1, se i = j
I¬¬¬n =( aij)n x 1 tal que aij =
0, se i = j
Note, pela definição que:
• A matriz identidade de ordem 1 é I1 = ( 1 );
• Toda matriz identidade de ordem maior do que 1
Todos os elementos da diagonal principais a todos os demais elementos iguais á zero.
Exemplos:
1 0 0
1 0
a) I2 = b) I2 = 0 1 0
0 1
0 0 1
Chama-se transposta da matriz A = =( aij)mx n que indica por A1, a matriz:
At =( bji)n x m tal que b ji = a ji i , j, 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n
Ou seja, cada coluna i de A1 é, ordenamente, igual a limha i de A.
Exemplos:
2 3
2 5 8
A3 x 2 = 5 0 A3 x 2 =
3 0 6
8 6
Dadas duas matrizes do mesmo tipo, A = ( aij)m x n e B = ( aij)m x n, dizemos que A = B se, e somente se, todo elemento de A igual ao seu correspondente em B.
Em símbolos;
A = B a rs = b rs r, s ≤r ≤ m e 1 ≤ s n
Uma empresa é formada pelas lojas A e B, concessionárias de automóveis. Realizado um estudo sobre a aceitação de dois novos modelos de veículos nos quatro primeiros dias de Janeiro, foram obtidos os seguintes resultados:
2 3 1 5 3 0 2 3
A = B =
1 2 5 3 4 2 5 3
Sendo que:
• A matriz descreve o desempenho da loja A, de modo que cada elemento aij é o número de unidades vendidas do modelo 2 no dia 3;
• A matriz B descreve o desempenha da loja B, de modo que cada elemento bij é o numero de unidades vendidas do modelo i no dia j.
Como representaríamos, matrialmente, a quantidade vendida desses dois modelos, nas duas lojas, nos primeiros quatro dias de Janeiro? Basta construir uma matriz C2 x 3, na qual cada elemento C ij seja igual à soma de seus correspondentes nas matrizes A e B, ou seja:
2 + 3 3 + 0 1 + 2 5 + 3
C = =
1 + 4 2 + 2 5 + 4 3 + 5
5 3 3 8 A matriz denominada “matriz
= soma de A e B”.
5 4 9 8
Definição:
A soma de duas matrizes do mesmo tipo A=( aij ) m x n e B = (b ij ) que se indica por A + B, é a matriz C =(c ij ) m x n tal que:
c ij = aij + b ij , i, j, 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n
m outras palavras, cada elemento da matriz C é igual à soma de seus correspondentes em A e B.
Definição:
O produto de um número k por uma matriz A= ( aij ) m x n , que se indica por kA, é a matriz B= ( bij ) m x n tal que:
bij = Ka ij, i, j, 1≤ j ≤ n
Ou seja, cada elemento da matriz b é igual ao produto de seu correspondente em a, pelo número k.
Exemplo:
2 -5 8 -20
4 3 0 = 12 0
1 6 4 24
No exemplo introdutório do item 6 (Adição de matrizes), se quisermos uma matriz que represente o desempenho da loja A em relação à loja B, basta subtrairmos de cada elemento da matriz A o seu correspondente em B obtendo:
D = 2 – 3 3 – 0 1 – 2 5 – 3
1 – 4 2 – 2 5 – 4 3 - 5
-1 3 -1 2
=
-3 0 1 -2
Assim por exemplo:
• O elemento A11 = -1 nos diz que a loja vendeu uma unidade a menos do modelo 1, no dia 1, do que a loja B;
• O elemento a14 = 2 nos diz que a loja A vendeu duas unidades a mais do modelo 1, no dia 4, do que a loja B.
Definição
A diferença de duas matrizes do mesmo tipo A e B, nessa ordem, que se indica por A-B, é a matriz A + ( -B):
A – B = A + ( - B )
Em palavras mais simples a diferença A – B, é igual à soma de A com a oposta do B.
Exemplo:
8 5 6 2
4 6 _ 3 6 =
9 -2 12 -9
8 5 -6 -2 2 3
= 4 6 + -3 -6 = 1 0
9 -2 -12 9 -3 7
Na qual cada elemento da linha i e coluna j é a temperatura, em graus Celsius, da região na hora i do dia j.
Note a simplicidade dessa tabela. Se quisermos, por exemplo, basear qual foi a temperatura às 9h do dia 3 de junho, basta olharmos para a intersecção da linha 9 com a coluna 3 e encontraremos os 23°C.
Tabelas como estas são denominadas matrizes. Vamos formalizar uma estrutura algébrica para as matrizes, ou seja, definiremos igualdade e operações com elas.
Chama-se matriz do tipo mn (lê-se “m por n”) toda tabela de números dispostos em m linhas e n colunas. Tal tabela deve ser representada entre parênteses ( ), entre colchetes [ ] ou entre barras duplas || ||.
Exemplos:
9 4
Matriz A do tipo 3x2
a) A3 x 2 = 5 6
1 -3
5 -4
b) B2x2 = Matriz b do tipo 2x2
3 -6
c) C 1x3 = || 4 -1 5 || Matriz C do tipo 1x3
CONVENÇÃO
Indicamos por aij o elemento posicionado na linha i e coluna j de uma matriz A.
Exemplo: 9 4
Na matriz A3x2 = 5 6 , temos que:
1 -3
• O numero 9 esta posicionado na linha 1 e coluna 1; indica-se esse elemento por a11, ou seja, a11, = 9;
• O 4 esta posicionado a linha 1 e coluna 2; indica-se esse elemento por a12, ou seja, a12 = 4;
• O 5 esta posicionado na linha 2 e coluna 1; indica-se esse elemento por a21, ou seja, a21 = 5.
Analogamente temos a22 = 6, a31 = 1 e a32 = -3.
]
Podemos representar genericamente uma matriz a do tipo m x n na seguinte maneira:
a11 a12 a13 .... a1n Como esta representação é
Am x n = a21 a22 a23 .... a2n muito extensa, vamos
convencionar uma forma
abreviada. Essa matriz pode
ser representada,
a21 a21 a21 a21 simplesmente, por A=(aij)m x n
ou, quando não houver possibilidade de confusão quanto ao tipo da matriz, por A=(aij).
MATRIZ QUADRADA
Matriz quadrada é toda matriz cujo número de linhas é igual ao número de colunas.
Exemplos:
1 0 3
a) A 3 x 3 = 0 -1 4 É uma matriz quadrada de ordem 3.
6 8 -3
3 6
b) B2x2 = 4 0 É uma matriz quadrada de ordem 2
c) C2x2 = ( 8 ) é uma matriz quadrada de ordem 1.
Numa matriz quadrada A de ordem n, os elementos aij tais que i=j formam a diagonal principal da matriz, e os elementos aij tais que i + j = n + 1 formam a diagonal secundária.
Exemplo:
Diagonal Secundária
a11 a 32 a13
A =
a21 a 32 a23
a31 a32 a33
Diagonal primária
Observe:
• Na diagonal principal os elementos aij possuem i =
a11, a22 e a33
• Na diagonal secundária os elementos aij são tais i + j = 3 + 1 ( em que 3 é a ordem n, que indica por In, a matriz A):
a31, a22 e a13
MATRIZ IDENTIDADE
Chama-se matriz identidade de ordem n, que indica por I¬¬¬n, a matriz:
1, se i = j
I¬¬¬n =( aij)n x 1 tal que aij =
0, se i = j
Note, pela definição que:
• A matriz identidade de ordem 1 é I1 = ( 1 );
• Toda matriz identidade de ordem maior do que 1
Todos os elementos da diagonal principais a todos os demais elementos iguais á zero.
Exemplos:
1 0 0
1 0
a) I2 = b) I2 = 0 1 0
0 1
0 0 1
Chama-se transposta da matriz A = =( aij)mx n que indica por A1, a matriz:
At =( bji)n x m tal que b ji = a ji i , j, 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n
Ou seja, cada coluna i de A1 é, ordenamente, igual a limha i de A.
Exemplos:
2 3
2 5 8
A3 x 2 = 5 0 A3 x 2 =
3 0 6
8 6
Dadas duas matrizes do mesmo tipo, A = ( aij)m x n e B = ( aij)m x n, dizemos que A = B se, e somente se, todo elemento de A igual ao seu correspondente em B.
Em símbolos;
A = B a rs = b rs r, s ≤r ≤ m e 1 ≤ s n
Uma empresa é formada pelas lojas A e B, concessionárias de automóveis. Realizado um estudo sobre a aceitação de dois novos modelos de veículos nos quatro primeiros dias de Janeiro, foram obtidos os seguintes resultados:
2 3 1 5 3 0 2 3
A = B =
1 2 5 3 4 2 5 3
Sendo que:
• A matriz descreve o desempenho da loja A, de modo que cada elemento aij é o número de unidades vendidas do modelo 2 no dia 3;
• A matriz B descreve o desempenha da loja B, de modo que cada elemento bij é o numero de unidades vendidas do modelo i no dia j.
Como representaríamos, matrialmente, a quantidade vendida desses dois modelos, nas duas lojas, nos primeiros quatro dias de Janeiro? Basta construir uma matriz C2 x 3, na qual cada elemento C ij seja igual à soma de seus correspondentes nas matrizes A e B, ou seja:
2 + 3 3 + 0 1 + 2 5 + 3
C = =
1 + 4 2 + 2 5 + 4 3 + 5
5 3 3 8 A matriz denominada “matriz
= soma de A e B”.
5 4 9 8
Definição:
A soma de duas matrizes do mesmo tipo A=( aij ) m x n e B = (b ij ) que se indica por A + B, é a matriz C =(c ij ) m x n tal que:
c ij = aij + b ij , i, j, 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n
m outras palavras, cada elemento da matriz C é igual à soma de seus correspondentes em A e B.
Definição:
O produto de um número k por uma matriz A= ( aij ) m x n , que se indica por kA, é a matriz B= ( bij ) m x n tal que:
bij = Ka ij, i, j, 1≤ j ≤ n
Ou seja, cada elemento da matriz b é igual ao produto de seu correspondente em a, pelo número k.
Exemplo:
2 -5 8 -20
4 3 0 = 12 0
1 6 4 24
No exemplo introdutório do item 6 (Adição de matrizes), se quisermos uma matriz que represente o desempenho da loja A em relação à loja B, basta subtrairmos de cada elemento da matriz A o seu correspondente em B obtendo:
D = 2 – 3 3 – 0 1 – 2 5 – 3
1 – 4 2 – 2 5 – 4 3 - 5
-1 3 -1 2
=
-3 0 1 -2
Assim por exemplo:
• O elemento A11 = -1 nos diz que a loja vendeu uma unidade a menos do modelo 1, no dia 1, do que a loja B;
• O elemento a14 = 2 nos diz que a loja A vendeu duas unidades a mais do modelo 1, no dia 4, do que a loja B.
Definição
A diferença de duas matrizes do mesmo tipo A e B, nessa ordem, que se indica por A-B, é a matriz A + ( -B):
A – B = A + ( - B )
Em palavras mais simples a diferença A – B, é igual à soma de A com a oposta do B.
Exemplo:
8 5 6 2
4 6 _ 3 6 =
9 -2 12 -9
8 5 -6 -2 2 3
= 4 6 + -3 -6 = 1 0
9 -2 -12 9 -3 7
sexta-feira, 15 de janeiro de 2010
Medições
- O que é a medição? Quando mede, o comprimento de sua mesa você determina quantas réguas colocadas uma em seguida à outra são necessárias para ir de um extremo ao outro. Para medir o volume de um balde você verifica quantos litros de água, areia ou outro material ele pode conter. Medir qualquer coisa significa determinar quantas vezes é ela maior do que uma unidade escolhida.
- Que são unidades inglesas de comprimento? Antigamente as unidades de comprimento eram diferentes em cada país e escolhidas de modo arbitrário. Assim, na Inglaterra a jarda era a distância entre o nariz do rei e a extremidade de seu polegar - o pé era o comprimento de seu pé. Diversas outras unidades de comprimento tiveram os nomes de outras partes do corpo humano.
- Unidades inglesas de comprimento.
Hoje, nos países de língua inglesa. ainda se usam essas unidades, porém, definidas de um modo menos arbitrário. Assim a jarda é definida como uma fração da distância entre dois riscos numa barra de platina denominada metro padrão. Um metro é cerca de onze avos maior do que a jarda.
Um pé é um terço da jarda e uma polegada é um doze avos do pé. Assim, doze polegadas perfazem um pé; três pés perfazem uma jarda.
- Unidades métricas de comprimento. O sistema métrico é usado na maior parte do mundo. É usado pelos cientistas, médicos e dentistas em todo o mundo.
O sistema métrico foi criado, na época da Inconfidência Mineira, por cientistas franceses que desejavam um sistema de unidades menos arbitrárias e que não pudessem ser perdidas. Para escolher a unidade de comprimento eles mediram a distância do Equador ao Pólo Norte, isto é, a quarta parte de um meridiano terrestre. Eles dividiram essa distância por 10.000.000 e marcaram a distância obtida numa barra feita de uma liga de platina. A essa distância deram o nome de metro (m).
- A distância do Pólo Norte ao Equador é de quase 10.000.000 de metros.
Num Congresso Internacional foi decidida pela maioria dos países a adoção do sistema métrico. A definição atual do metro internacional é a distância entre dois traços em uma certa barra de metal conservada no Bureau Internacional de Pesos e Medidas perto de Paris. (A barra deve estar à temperatura do gelo fundente: 0ºC).
No sistema métrico (decimal) as unidades são subdivididas em décimos, centésimos e milésimos. Os nomes dessas subunidades são obtidos do nome da unidade fundamental acrescentando-se, respectivamente, os prefixos deci, centi e mili:
1 decímetro (dm) = 10 metros
1 centímetro (cm) = 100 metros
1 milímetro (mm) = 1000 metros
Do mesmo modo são usadas no sistema métrico unidades múltiplas que são 10, 100 ou 1000 vezes maiores que a unidade fundamental . Seus nomes são obtidos pela adição dos prefixos deca, hecto e quilo:
Decâmetro. . (dam) = 10 metros
Hectômetro.. (hm) = 100 metros
Quilômetro.. (km) = 1000 metros
- Mudança de unidade. Você pode facilmente passar de uma unidade do sistema métrico decimal a outra, simplesmente mudando a posição da vírgula ou acrescentando zeros ao valor da medida. Assim do mesmo modo que Cr$ 1,20 = 120 centavos, 1,20 metros = 120 centímetros e 120 metros = 0,120 quilômetros.
Apesar de ser o sistema métrico legalmente adotado no Brasil é necessário conhecer o sistema inglês porque muitos produtos industriais usados em nosso país provêm dos Estados Unidos e da Inglaterra. Para passar de unidades inglesas a métricas e vice-versa, use as seguintes relações:
1 polegada = 2,54 cm
1 pé = 30,5 cm
1 jarda = 0,92 m
Exemplo: A máquina fotográfica de um menino é graduada em pés (unidades inglesas). Para tirar uma fotografia de um objeto a uma distância de 5 metros que graduação deve usar na máquina?
1 pé = 30,5 cm = 0,305 m;
5 m = 16,66 pés
Resposta: Como 16,66 é mais próximo de 17 do que de 16 o menino deve graduar a distância na máquina para 17 pés.
- Unidades de volume. No sistema métrico nós medimos o volume de um corpo ou de um recipiente em centímetros cúbicos (cm3), decímetros cúbicos, (dm3) ou metros cúbicos (m3).
1 ml3 = 1000 dm3; 1 dm3 = 1000 cm3.
0 litro é uma unidade de volume que é quase igual ao decímetro cúbico ou a 1.000 centímetros cúbicos.
Se bem que essa diferença entre o litro e o decímetro cúbico tenha importância para medidas de precisão, na prática podemos confundi-los.
As unidades inglesas de volume são o "quart" (qt), o pinto (pt) e o pé cúbico (ft3). 0 litro é um pouco maior que o "quart". Um litro é igual a 1,06 "quarts" para líquidos. O pinto é igual a 0,568 litros, na Inglaterra, e a 0,473 nos Estados Unidos. O "quart" para secos é igual a 1,1 litros.
- Unidades de tempo. A Terra gira em torno do seu eixo de modo tão uniforme que serve de relógio. Como estamos fixos à Terra, temos a impressão de que o Sol é que gira em torno da Terra. O dia solar é o tempo decorrido entre passagens consecutivas do Sol pela posição de "sol a pino".
Como o dia solar varia um pouco durante o ano usamos o dia solar médio como unidade de tempo. 0 dia solar médio é dividido em 24 horas, 1.440 minutos ou 86.400 segundos (s). Mesmo o segundo é uma unidade muito grande para certas medidas em Física. Uma barra de dinamite leva 40 microssegundos para explodir (1 microssegundo = 1 milionésimo do segundo).
- Que são unidades inglesas de comprimento? Antigamente as unidades de comprimento eram diferentes em cada país e escolhidas de modo arbitrário. Assim, na Inglaterra a jarda era a distância entre o nariz do rei e a extremidade de seu polegar - o pé era o comprimento de seu pé. Diversas outras unidades de comprimento tiveram os nomes de outras partes do corpo humano.
- Unidades inglesas de comprimento.
Hoje, nos países de língua inglesa. ainda se usam essas unidades, porém, definidas de um modo menos arbitrário. Assim a jarda é definida como uma fração da distância entre dois riscos numa barra de platina denominada metro padrão. Um metro é cerca de onze avos maior do que a jarda.
Um pé é um terço da jarda e uma polegada é um doze avos do pé. Assim, doze polegadas perfazem um pé; três pés perfazem uma jarda.
- Unidades métricas de comprimento. O sistema métrico é usado na maior parte do mundo. É usado pelos cientistas, médicos e dentistas em todo o mundo.
O sistema métrico foi criado, na época da Inconfidência Mineira, por cientistas franceses que desejavam um sistema de unidades menos arbitrárias e que não pudessem ser perdidas. Para escolher a unidade de comprimento eles mediram a distância do Equador ao Pólo Norte, isto é, a quarta parte de um meridiano terrestre. Eles dividiram essa distância por 10.000.000 e marcaram a distância obtida numa barra feita de uma liga de platina. A essa distância deram o nome de metro (m).
- A distância do Pólo Norte ao Equador é de quase 10.000.000 de metros.
Num Congresso Internacional foi decidida pela maioria dos países a adoção do sistema métrico. A definição atual do metro internacional é a distância entre dois traços em uma certa barra de metal conservada no Bureau Internacional de Pesos e Medidas perto de Paris. (A barra deve estar à temperatura do gelo fundente: 0ºC).
No sistema métrico (decimal) as unidades são subdivididas em décimos, centésimos e milésimos. Os nomes dessas subunidades são obtidos do nome da unidade fundamental acrescentando-se, respectivamente, os prefixos deci, centi e mili:
1 decímetro (dm) = 10 metros
1 centímetro (cm) = 100 metros
1 milímetro (mm) = 1000 metros
Do mesmo modo são usadas no sistema métrico unidades múltiplas que são 10, 100 ou 1000 vezes maiores que a unidade fundamental . Seus nomes são obtidos pela adição dos prefixos deca, hecto e quilo:
Decâmetro. . (dam) = 10 metros
Hectômetro.. (hm) = 100 metros
Quilômetro.. (km) = 1000 metros
- Mudança de unidade. Você pode facilmente passar de uma unidade do sistema métrico decimal a outra, simplesmente mudando a posição da vírgula ou acrescentando zeros ao valor da medida. Assim do mesmo modo que Cr$ 1,20 = 120 centavos, 1,20 metros = 120 centímetros e 120 metros = 0,120 quilômetros.
Apesar de ser o sistema métrico legalmente adotado no Brasil é necessário conhecer o sistema inglês porque muitos produtos industriais usados em nosso país provêm dos Estados Unidos e da Inglaterra. Para passar de unidades inglesas a métricas e vice-versa, use as seguintes relações:
1 polegada = 2,54 cm
1 pé = 30,5 cm
1 jarda = 0,92 m
Exemplo: A máquina fotográfica de um menino é graduada em pés (unidades inglesas). Para tirar uma fotografia de um objeto a uma distância de 5 metros que graduação deve usar na máquina?
1 pé = 30,5 cm = 0,305 m;
5 m = 16,66 pés
Resposta: Como 16,66 é mais próximo de 17 do que de 16 o menino deve graduar a distância na máquina para 17 pés.
- Unidades de volume. No sistema métrico nós medimos o volume de um corpo ou de um recipiente em centímetros cúbicos (cm3), decímetros cúbicos, (dm3) ou metros cúbicos (m3).
1 ml3 = 1000 dm3; 1 dm3 = 1000 cm3.
0 litro é uma unidade de volume que é quase igual ao decímetro cúbico ou a 1.000 centímetros cúbicos.
Se bem que essa diferença entre o litro e o decímetro cúbico tenha importância para medidas de precisão, na prática podemos confundi-los.
As unidades inglesas de volume são o "quart" (qt), o pinto (pt) e o pé cúbico (ft3). 0 litro é um pouco maior que o "quart". Um litro é igual a 1,06 "quarts" para líquidos. O pinto é igual a 0,568 litros, na Inglaterra, e a 0,473 nos Estados Unidos. O "quart" para secos é igual a 1,1 litros.
- Unidades de tempo. A Terra gira em torno do seu eixo de modo tão uniforme que serve de relógio. Como estamos fixos à Terra, temos a impressão de que o Sol é que gira em torno da Terra. O dia solar é o tempo decorrido entre passagens consecutivas do Sol pela posição de "sol a pino".
Como o dia solar varia um pouco durante o ano usamos o dia solar médio como unidade de tempo. 0 dia solar médio é dividido em 24 horas, 1.440 minutos ou 86.400 segundos (s). Mesmo o segundo é uma unidade muito grande para certas medidas em Física. Uma barra de dinamite leva 40 microssegundos para explodir (1 microssegundo = 1 milionésimo do segundo).
quinta-feira, 14 de janeiro de 2010
മ്ട്ക്.MMC
A utilização de mmc e mdc nas resoluções de problemas é muito comum já que um trata de múltiplos e o outro de divisores comuns de dois ou mais números. Antes de estudarmos as aplicações vejamos como obtê-los.
MÁXIMO DIVISOR COMUM ( M.D.C )
O máximo divisor comum (mdc) entre dois números naturais é obtido a partir da interseção dos divisores naturais, escolhendo-se a maior. O mdc pode ser calculado pelo produto dos fatores primos que são comuns tomando-se sempre o de menor expoente.
Exemplo: 120 e 36
120 2 36 2
60 2 18 2
30 2 9 3
15 3 3 3
5 5 1 22.32
1 23.3.5
m.d.c ( 120, 36) = 22.3 = 12
OBS: O m.d.c pode ser calculado pela decomposição simultânea em fatores primos, tomando apenas os fatores que dividem simultaneamente.
120 - 36 2 ( * )
60 - 18 2 ( * )
30 - 9 2
15 - 9 3 ( * )
5 - 3 3
5 - 1 5
1 - 1 22. 3 = 12
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM ( M.M.C)
O número múltiplo comum entre dois números naturais é obtido a partir da interseção dos múltiplos naturais, escolhendo-se o menor excetuando o zero. O m.m.c pode ser calculado pelo produto de todos os fatores primos, considerados uma única vez e de maior expoente.
Exemplo: 120 e 36
120 2 36 2
60 2 18 2
30 2 9 3
15 3 3 3
5 5 1 22.32
1 23.3.5
m.m.c ( 120, 36) = 23.32.5 = 360
OBS: O m.m.c pode ser calculado pela decomposição simultânea em fatores primos.
120 - 36 2
60 - 18 2
30 - 9 2
15 - 9 3
5 - 3 3
5 - 1 5
1 - 1 23. 32 . 5 = 360
OBS : Existe uma relação entre o m.m.c e o m.d.c de dois números naturais a e b
m.m.c.(a,b) . m.d.c. (a,b) = a . b
O produto entre o m.m.c e m.d.c de dois números é igual ao produto entre os dois números.
MÁXIMO DIVISOR COMUM ( M.D.C )
O máximo divisor comum (mdc) entre dois números naturais é obtido a partir da interseção dos divisores naturais, escolhendo-se a maior. O mdc pode ser calculado pelo produto dos fatores primos que são comuns tomando-se sempre o de menor expoente.
Exemplo: 120 e 36
120 2 36 2
60 2 18 2
30 2 9 3
15 3 3 3
5 5 1 22.32
1 23.3.5
m.d.c ( 120, 36) = 22.3 = 12
OBS: O m.d.c pode ser calculado pela decomposição simultânea em fatores primos, tomando apenas os fatores que dividem simultaneamente.
120 - 36 2 ( * )
60 - 18 2 ( * )
30 - 9 2
15 - 9 3 ( * )
5 - 3 3
5 - 1 5
1 - 1 22. 3 = 12
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM ( M.M.C)
O número múltiplo comum entre dois números naturais é obtido a partir da interseção dos múltiplos naturais, escolhendo-se o menor excetuando o zero. O m.m.c pode ser calculado pelo produto de todos os fatores primos, considerados uma única vez e de maior expoente.
Exemplo: 120 e 36
120 2 36 2
60 2 18 2
30 2 9 3
15 3 3 3
5 5 1 22.32
1 23.3.5
m.m.c ( 120, 36) = 23.32.5 = 360
OBS: O m.m.c pode ser calculado pela decomposição simultânea em fatores primos.
120 - 36 2
60 - 18 2
30 - 9 2
15 - 9 3
5 - 3 3
5 - 1 5
1 - 1 23. 32 . 5 = 360
OBS : Existe uma relação entre o m.m.c e o m.d.c de dois números naturais a e b
m.m.c.(a,b) . m.d.c. (a,b) = a . b
O produto entre o m.m.c e m.d.c de dois números é igual ao produto entre os dois números.
quarta-feira, 13 de janeiro de 2010
LÓGICA
Lógica, ciência que trata dos princípios válidos do raciocínio e da argumentação. Seu estudo é um esforço no sentido de determinar as condições que permitem tirar de determinadas proposições, chamadas de premissas, uma conclusão delas derivada. A validade lógica é a relação entre as premissas e a conclusão.
O que hoje se conhece como lógica clássica, ou tradicional, foi enunciado pela primeira vez por Aristóteles, que elaborou leis para um raciocínio correto, a ser desenvolvido mediante silogismos. Em meados do século XIX, os matemáticos britânicos George Boole e Augustus De Morgan abriram à lógica um novo campo, que hoje se conhece como lógica simbólica ou moderna, posteriormente desenvolvida por Bertrand Russell e por Alfred North Whitehead, cobrindo todo um espectro de argumentações possíveis, maior do que aquelas encontradas na lógica silogística.
Tanto o ramo clássico como o moderno implicam em métodos de lógica dedutiva, embora também tenha havido esforços no sentido de desenvolver métodos de lógica indutiva, sendo neste último campo a contribuição mais importante a do filósofo britânico John Stuart Mill, com sua obra Sistema de lógica (1843). Estudos posteriores desenvolveram sistemas da chamada lógica combinatória: uma afirmação pode ter um valor diferente de verdadeiro ou falso. Em alguns pressupostos, é apenas um terceiro valor, neutro; em outros, é um valor de probabilidade.
Lógica paraconsistente, noção segundo a qual a lógica admite contradições. Foi introduzida pelo filósofo e matemático brasileiro Newton da Costa.
A necessidade da ciência de trabalhar com a contradição surgiu do interesse em estudar temas complexos, como por exemplo os tratados pela mecânica quântica. Desde a década de 1930, supunha-se que a lógica clássica não podia ser aplicada à mecânica quântica. A partir das lógicas não-clássicas, em especial os paradoxos na lógica e/ou na matemática, surgiu o conceito de lógica paraconsistente, formulado em 1963.
Na realidade, esse conceito nasceu da idéia de Georg Cantor, que dizia que a essência da matemática está na sua liberdade. Muitos dos paradoxos surgidos no início do século XX, em geral foram eliminados com a manutenção da lógica tradicional e com a introdução de restrições nos postulados da teoria dos conjuntos. Se a matemática fosse absolutamente livre, como supunha Cantor, em vez de introduzir restrições aos postulados da teoria dos conjuntos poderíamos mudar a lógica e, desse modo, reconstituir a matemática clássica inteira.
Para melhor entender o que é a lógica paraconsistente, convém recordar que a lógica é o estudo dos processos pelos quais determinadas sentenças ou proposições podem ser deduzidas de outras. Desde a época de Aristóteles, um dos princípios da lógica é o da não-contradição. Essa idéia estabelece a impossibilidade de que uma sentença qualquer e sua negação sejam ambas verdadeiras. A lógica clássica não admite contradições.
No entanto, à medida que os diferentes campos da ciência evoluem e se tornam mais complexos, as contradições aparecem. Na física, as partículas elementares em determinadas circunstâncias não se comportam como matéria, mas como ondas. Sob certos aspectos, elas são e não são partículas. Tal dificuldade pode ser ultrapassada, como em geral fazem os físicos, tentando eliminar a contradição e manter a lógica clássica.
No entanto, se o pesquisador quiser tratar diretamente o problema, sem desvios teóricos, torna-se necessário o emprego de uma lógica não-convencional, que aceite as contradições. A lógica paraconsistente foi idealizada para tratar desses problemas.
A idéia de trabalhar com a contradição atraiu para a lógica paraconsistente pesquisadores de várias áreas do conhecimento, inclusive psicanalistas que reconhecem no trabalho a formalização da idéia de contradição que, segundo Freud, existiria no próprio plano do inconsciente.
Na informática, os especialistas já desenvolveram sistemas para processar dados contraditórios. No campo da teoria da ciência, surgiu o conceito de "quase-verdade", uma variante da verdade pragmática. Consideremos o caso da mecânica clássica newtoniana, em relação à relatividade einsteiniana: a primeira não se aplica aos corpos que se deslocam em velocidades muito altas, próximas à da luz, ao contrário do que ocorre em determinados domínios, como na engenharia civil, onde a mecânica newtoniana é estritamente verdadeira. Ela é, portanto, quase-verdadeira para um determinado setor. Assim também pode ocorrer com a teoria da luz ondulatória e corpuscular. Ambas são quase-verdade para certos aspectos da teoria da luz.
Matemática, estudo das relações entre quantidades, magnitudes e propriedades, e das operações lógicas utilizadas para deduzir quantidades, magnitudes e propriedades desconhecidas. No passado, a matemática era considerada a ciência da quantidade, aplicada às magnitudes (como na geometria), aos números (como na aritmética) ou à generalização de ambos (como na álgebra). Em meados do século XIX, a matemática passou a ser considerada como a ciência das relações, ou como a ciência que produz condições necessárias. Esta última noção abarca a lógica matemática ou simbólica — ciência que consiste em utilizar símbolos para gerar uma teoria exata de dedução e inferência lógica baseada em definições, axiomas, postulados e regras que transformam elementos primitivos em relações e teoremas mais complexos.
HISTÓRIA
As primeiras referências à matemática avançadas e organizadas datam do terceiro milênio a.C., na Babilônia e no Egito. Esta matemática estava dominada pela aritmética.
Os primeiros livros egípcios, escritos no ano 1800 a.C., mostram um sistema de numeração decimal com diferentes símbolos para as sucessivas potências de 10 (1, 10, 100, ...), semelhante ao sistema utilizado pelos romanos. Na geometria, foram obtidas as regras corretas para calcular a área de triângulos, retângulos e trapézios, e o volume de figuras como ortoedros, cilindros e pirâmides.
Os gregos usaram elementos da matemática dos babilônios e dos egípcios. A inovação mais importante foi a invenção da matemática abstrata, com base numa estrutura lógica de definições, axiomas e demonstrações. Este avanço começou no VI a.C., com Tales de Mileto e Pitágoras. Alguns de seus discípulos fizeram importantes descobertas sobre a teoria numérica e a geometria, que são atribuídas ao próprio Pitágoras.
No final do século IV a.C., Euclides escreveu Elementos, obra que contém a maior parte do conhecimento matemático da época. O século posterior a Euclides esteve marcado por um grande desenvolvimento da matemática, como se pode comprovar nos trabalhos de Arquimedes e Apolônio. Este escreveu um tratado em oito volumes sobre as cônicas e estabeleceu seus nomes: elipse, parábola e hipérbole.
Os avanços dos matemáticos árabes, junto com as traduções dos gregos clássicos, foram os principais responsáveis pelo crescimento da matemática durante a Idade Média. Entre outros avanços, os matemáticos árabes ampliaram o sistema indiano de posições decimais na aritmética de números inteiros, estendendo-o às frações decimais. Al-Khwarizmi desenvolveu a álgebra dos polinômios. Os geômetras, como Ibrahim ibn Sinan, continuaram as investigações de Arquimedes sobre áreas e volumes.
Em 1545, o italiano Gerolamo Cardano publicou em sua obra Ars magna uma fórmula algébrica para a resolução das equações de terceiro e quarto graus. Esta conquista levou os matemáticos a se interessarem pelos números complexos e estimulou a busca de soluções semelhantes para equações de quinto grau ou mais. Também no século XVI, começaram a ser utilizados os modernos símbolos matemáticos e algébricos.
O século XVII começou com a descoberta dos logaritmos pelo matemático John Napier. Na geometria pura, Descartes publicou em seu Discurso do método (1637) sua visão da geometria analítica, que mostrava como utilizar a álgebra para investigar a geometria das curvas. Outro avanço importante na matemática do século XVII foi o surgimento da teoria da probabilidade.
No entanto, o acontecimento mais importante do século na matemática foi o estudo dos cálculos diferencial e integral por Newton, entre 1664 e 1666. Alguns anos mais tarde, o alemão Leibniz também descobriu o cálculo e foi o primeiro a divulgá-lo, em 1684 e 1686. O sistema de notação de Leibniz é usado hoje no cálculo. O grande matemático do século XVIII foi o suíço Euler, que contribuiu com idéias fundamentais sobre cálculo e outros ramos da matemática e suas aplicações.
Em 1821, o matemático francês Cauchy conseguiu um enfoque lógico e apropriado do cálculo, baseado apenas em quantidades finitas e no conceito de limite. Além de fortalecer os fundamentos da análise, nome dado a partir de então às técnicas do cálculo, os matemáticos do século XIX realizaram importantes avanços nesta parte. No início do século, Gauss deu uma explicação adequada sobre o conceito de número complexo.
Outra descoberta do século XIX, que na época foi considerada abstrata e inútil, foi a geometria não-euclidiana. Os fundamentos da matemática foram completamente transformados no século XIX, principalmente pelo inglês George Boole, em seu livro Investigações das leis do pensamento, sobre as quais se baseiam as teorias matemáticas da lógica e das probabilidades (1854) e por Cantor em sua teoria dos conjuntos.
O computador revolucionou a matemática e converteu-se num elemento primordial. Este avanço deu grande impulso a certos ramos da matemática, como a análise numérica e a matemática finita, e gerou novas áreas de investigação, como o estudo dos algoritmos. Tornou-se, portanto, uma poderosa ferramenta em campos tão diversos quanto a teoria numérica, as equações diferenciais e a álgebra abstrata.
O que hoje se conhece como lógica clássica, ou tradicional, foi enunciado pela primeira vez por Aristóteles, que elaborou leis para um raciocínio correto, a ser desenvolvido mediante silogismos. Em meados do século XIX, os matemáticos britânicos George Boole e Augustus De Morgan abriram à lógica um novo campo, que hoje se conhece como lógica simbólica ou moderna, posteriormente desenvolvida por Bertrand Russell e por Alfred North Whitehead, cobrindo todo um espectro de argumentações possíveis, maior do que aquelas encontradas na lógica silogística.
Tanto o ramo clássico como o moderno implicam em métodos de lógica dedutiva, embora também tenha havido esforços no sentido de desenvolver métodos de lógica indutiva, sendo neste último campo a contribuição mais importante a do filósofo britânico John Stuart Mill, com sua obra Sistema de lógica (1843). Estudos posteriores desenvolveram sistemas da chamada lógica combinatória: uma afirmação pode ter um valor diferente de verdadeiro ou falso. Em alguns pressupostos, é apenas um terceiro valor, neutro; em outros, é um valor de probabilidade.
Lógica paraconsistente, noção segundo a qual a lógica admite contradições. Foi introduzida pelo filósofo e matemático brasileiro Newton da Costa.
A necessidade da ciência de trabalhar com a contradição surgiu do interesse em estudar temas complexos, como por exemplo os tratados pela mecânica quântica. Desde a década de 1930, supunha-se que a lógica clássica não podia ser aplicada à mecânica quântica. A partir das lógicas não-clássicas, em especial os paradoxos na lógica e/ou na matemática, surgiu o conceito de lógica paraconsistente, formulado em 1963.
Na realidade, esse conceito nasceu da idéia de Georg Cantor, que dizia que a essência da matemática está na sua liberdade. Muitos dos paradoxos surgidos no início do século XX, em geral foram eliminados com a manutenção da lógica tradicional e com a introdução de restrições nos postulados da teoria dos conjuntos. Se a matemática fosse absolutamente livre, como supunha Cantor, em vez de introduzir restrições aos postulados da teoria dos conjuntos poderíamos mudar a lógica e, desse modo, reconstituir a matemática clássica inteira.
Para melhor entender o que é a lógica paraconsistente, convém recordar que a lógica é o estudo dos processos pelos quais determinadas sentenças ou proposições podem ser deduzidas de outras. Desde a época de Aristóteles, um dos princípios da lógica é o da não-contradição. Essa idéia estabelece a impossibilidade de que uma sentença qualquer e sua negação sejam ambas verdadeiras. A lógica clássica não admite contradições.
No entanto, à medida que os diferentes campos da ciência evoluem e se tornam mais complexos, as contradições aparecem. Na física, as partículas elementares em determinadas circunstâncias não se comportam como matéria, mas como ondas. Sob certos aspectos, elas são e não são partículas. Tal dificuldade pode ser ultrapassada, como em geral fazem os físicos, tentando eliminar a contradição e manter a lógica clássica.
No entanto, se o pesquisador quiser tratar diretamente o problema, sem desvios teóricos, torna-se necessário o emprego de uma lógica não-convencional, que aceite as contradições. A lógica paraconsistente foi idealizada para tratar desses problemas.
A idéia de trabalhar com a contradição atraiu para a lógica paraconsistente pesquisadores de várias áreas do conhecimento, inclusive psicanalistas que reconhecem no trabalho a formalização da idéia de contradição que, segundo Freud, existiria no próprio plano do inconsciente.
Na informática, os especialistas já desenvolveram sistemas para processar dados contraditórios. No campo da teoria da ciência, surgiu o conceito de "quase-verdade", uma variante da verdade pragmática. Consideremos o caso da mecânica clássica newtoniana, em relação à relatividade einsteiniana: a primeira não se aplica aos corpos que se deslocam em velocidades muito altas, próximas à da luz, ao contrário do que ocorre em determinados domínios, como na engenharia civil, onde a mecânica newtoniana é estritamente verdadeira. Ela é, portanto, quase-verdadeira para um determinado setor. Assim também pode ocorrer com a teoria da luz ondulatória e corpuscular. Ambas são quase-verdade para certos aspectos da teoria da luz.
Matemática, estudo das relações entre quantidades, magnitudes e propriedades, e das operações lógicas utilizadas para deduzir quantidades, magnitudes e propriedades desconhecidas. No passado, a matemática era considerada a ciência da quantidade, aplicada às magnitudes (como na geometria), aos números (como na aritmética) ou à generalização de ambos (como na álgebra). Em meados do século XIX, a matemática passou a ser considerada como a ciência das relações, ou como a ciência que produz condições necessárias. Esta última noção abarca a lógica matemática ou simbólica — ciência que consiste em utilizar símbolos para gerar uma teoria exata de dedução e inferência lógica baseada em definições, axiomas, postulados e regras que transformam elementos primitivos em relações e teoremas mais complexos.
HISTÓRIA
As primeiras referências à matemática avançadas e organizadas datam do terceiro milênio a.C., na Babilônia e no Egito. Esta matemática estava dominada pela aritmética.
Os primeiros livros egípcios, escritos no ano 1800 a.C., mostram um sistema de numeração decimal com diferentes símbolos para as sucessivas potências de 10 (1, 10, 100, ...), semelhante ao sistema utilizado pelos romanos. Na geometria, foram obtidas as regras corretas para calcular a área de triângulos, retângulos e trapézios, e o volume de figuras como ortoedros, cilindros e pirâmides.
Os gregos usaram elementos da matemática dos babilônios e dos egípcios. A inovação mais importante foi a invenção da matemática abstrata, com base numa estrutura lógica de definições, axiomas e demonstrações. Este avanço começou no VI a.C., com Tales de Mileto e Pitágoras. Alguns de seus discípulos fizeram importantes descobertas sobre a teoria numérica e a geometria, que são atribuídas ao próprio Pitágoras.
No final do século IV a.C., Euclides escreveu Elementos, obra que contém a maior parte do conhecimento matemático da época. O século posterior a Euclides esteve marcado por um grande desenvolvimento da matemática, como se pode comprovar nos trabalhos de Arquimedes e Apolônio. Este escreveu um tratado em oito volumes sobre as cônicas e estabeleceu seus nomes: elipse, parábola e hipérbole.
Os avanços dos matemáticos árabes, junto com as traduções dos gregos clássicos, foram os principais responsáveis pelo crescimento da matemática durante a Idade Média. Entre outros avanços, os matemáticos árabes ampliaram o sistema indiano de posições decimais na aritmética de números inteiros, estendendo-o às frações decimais. Al-Khwarizmi desenvolveu a álgebra dos polinômios. Os geômetras, como Ibrahim ibn Sinan, continuaram as investigações de Arquimedes sobre áreas e volumes.
Em 1545, o italiano Gerolamo Cardano publicou em sua obra Ars magna uma fórmula algébrica para a resolução das equações de terceiro e quarto graus. Esta conquista levou os matemáticos a se interessarem pelos números complexos e estimulou a busca de soluções semelhantes para equações de quinto grau ou mais. Também no século XVI, começaram a ser utilizados os modernos símbolos matemáticos e algébricos.
O século XVII começou com a descoberta dos logaritmos pelo matemático John Napier. Na geometria pura, Descartes publicou em seu Discurso do método (1637) sua visão da geometria analítica, que mostrava como utilizar a álgebra para investigar a geometria das curvas. Outro avanço importante na matemática do século XVII foi o surgimento da teoria da probabilidade.
No entanto, o acontecimento mais importante do século na matemática foi o estudo dos cálculos diferencial e integral por Newton, entre 1664 e 1666. Alguns anos mais tarde, o alemão Leibniz também descobriu o cálculo e foi o primeiro a divulgá-lo, em 1684 e 1686. O sistema de notação de Leibniz é usado hoje no cálculo. O grande matemático do século XVIII foi o suíço Euler, que contribuiu com idéias fundamentais sobre cálculo e outros ramos da matemática e suas aplicações.
Em 1821, o matemático francês Cauchy conseguiu um enfoque lógico e apropriado do cálculo, baseado apenas em quantidades finitas e no conceito de limite. Além de fortalecer os fundamentos da análise, nome dado a partir de então às técnicas do cálculo, os matemáticos do século XIX realizaram importantes avanços nesta parte. No início do século, Gauss deu uma explicação adequada sobre o conceito de número complexo.
Outra descoberta do século XIX, que na época foi considerada abstrata e inútil, foi a geometria não-euclidiana. Os fundamentos da matemática foram completamente transformados no século XIX, principalmente pelo inglês George Boole, em seu livro Investigações das leis do pensamento, sobre as quais se baseiam as teorias matemáticas da lógica e das probabilidades (1854) e por Cantor em sua teoria dos conjuntos.
O computador revolucionou a matemática e converteu-se num elemento primordial. Este avanço deu grande impulso a certos ramos da matemática, como a análise numérica e a matemática finita, e gerou novas áreas de investigação, como o estudo dos algoritmos. Tornou-se, portanto, uma poderosa ferramenta em campos tão diversos quanto a teoria numérica, as equações diferenciais e a álgebra abstrata.
terça-feira, 12 de janeiro de 2010
Logaritimo
Logaritmo podem simbolizar potência de outra forma. Como 10 = 100, então log 100 = 2.
Eles são mais curtos que as potências.
Imagine que as potências indiquem a altura de um foguete que, depois de lançado, atinge 10 m em 1 segundo, 100 m em 2 segundo, e assim sucessivamente. O tempo é sempre o logaritmo da altitude.
Se o foguete está a 10.000 m acima do solo, a sua altura é 4. Portanto, o logaritmo de 10.000 e 4.
O que é e onde utiliza-lo ?
A palavra logaritmo origino-se das palavra gregas Logos ( razão ) e arithmos ( números ).
No século XVII, havia dificuldades na elaboração de cálculos devido principalmente às operações de multiplicação, divisão e potenciação.
Burgi, em 1620, e John Napier, em 1614, publicaram as primeiras tabelas de logaritmos, cuja finalidade era a simplificação de cálculos numéricos complicados.
Embora as tabelas de logaritmos não seja tão usadas atualmente como instrumento de cálculo, os logaritmos são de grande importância em diversas áreas, por exemplo, na medição de terremotos.
Para compreendermos melhor o que é logaritmo, consideramos uma base positiva e diferente de 1.
4
Ex: 3 = 81
Ao expoente dessa potência damos o nome de logaritmo. Portanto, 4 é o logaritmo de 81 na base 3.
4
3 = 81 log 81 = 4
3
Dados dois números reais e positivos a e b, sendo 1, chama-se logritmo b na base a o expoente que deve colocar à base a .
Indicamos : log b = x a = b.
a
Onde b é o logaritmando
A é a base
X é o logaritmo
Condição de existência
CE b>0
1 a > 0
SISTEMA DE LOGARITMO
Chama-se sistema de logaritmo de base a ( 1 a > 0 ), o conjuntos dos logaritmos de todos os números reais positivos na base a .
Dois sistemas de logaritmos destacam-se pelo seu importante papel no campo das Ciências, são eles: sistema de logaritmos decimais (ou sistema de logaritmo de Briggs ) e sistema de logaritmos neperianos (ou sistema de logaritmos naturais ).
LOGARITMOS DECIMAIS
São aqueles na base 10. Indicaremos por log b = x, sem necessidade de colocar a base 10.
SISTEMA NEPERIANO OU NATURAL
É o conjunto dos logaritmos na base e (e é um número irracional que recebe o nome de número de Euler, que vale 2,71828...). Indicaremos In b = x.
CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO
A partir da definição, temos:
a) log 1 = 0
a
O logaritmo de 1 é sempre 0, pois a° = 1.
b) log a = 1
a 1
Quanto a base é igual ao logaritmando, o logaritmo é sempre 1, pois a = a .
n
b) log a = n
a n n
O logaritmo de potência da base é sempre o expoente dessa base pois a = a .
Log a b
d) a = b
Um número a, elevado ao logaritmo de b na base a, é sempre igual a b.
e) log b = log c b = c
a a
Dois valores são iguais, então, seus logaritmos, na mesma base, também são iguais.
DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Chamamos a condições de existência de um logaritmo de campo de existência ou domínio dos logaritmos.
Exemplo:
a) Determinar o campo de existência da função f (x) = log (x-3 ) indica-se condição de existência por CE. 2
EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS
Podemos classificar as equações em redutíveis, que são solucionadas por meio da definição de logaritmo.
Para resolvermos um equação, devemos obter:
• Condição de existência.
• Verificação com as soluções da equação nas condições de existência .
MUDANÇAS DE BASE
As vezes, em algumas situações, devemos transformar o logaritmo em outra base. Para mudarmos a base de um logaritmo, utilizamos a seguinte fórmula:
Log b em que c será a nova base
Log b = condições: b > 0
a Log a 0 < a 1
c
Conseqüência :
a) log b . log a = log b
a c c
b) log b = 1
a log a
b
Módulo de ensino integrado; Editora Silvanell.
1ª) Aplicando as conseqüências da definição os logaritmos :
a) log 1 = 0
2
b) log 10 = 1
3
C) log 27 = log 3 = 3
3 3 5
2
log 2 32 = log 2 2 5 = log 2 2 = 5
2
log 5 125 log 5 5 3
d) 5 = 5 = 5 3 = 125
log 5 6 . log 3 5 log 3 5 . log 5 6 log 5 6
3 = 3 = 5 = 6
e) log b = log 4
3 3
b = 4
log 4x – 1 = log 2x + 3
2 2
4x – 1 = 2x + 3
4x – 2x = 4
2x = 2
x = 1
S = 1
2ª) Resolva as condições de existência para o logaritmo :
solução :
a) CE x – 3 > 0
X – 3 > 0
X > 3 D = x R/x > 3
Solução :
b) x – 1 > 0 e x – 1 1
x > 1 x 2 D = x R/x > 1 e x 2
3ª) Aplique as propriedades dos logaritmos, calculando os logaritmos:
a) Sendo log 2 = x e log 3 = y, calcule log 12
Solução :
Log 12 = log ( 22 . 3 )
= log 22 + log 3
= 2 log 2 + log 3 4
= 2x + y ac
b) Sendo log y a = 3, log y b = 2 e log y c = 1, calcule log y
b
Solução:
4
ac 4
Log y = = log y ac - log y b
b
1
= log y ( ac) 4 - log y b
= 1 log y ( ac ) – log y b
4
= 1 ( log y a + log y c ) – log y b
4
= 1 ( 3 + 1 ) - 2
4
= 1 – 2 = - 1
4ª) Verifique a condição de existência:
a) log 2 2x – 1 = 3
CE 2x – 1 > 0
2x – 1 = 2 3
2x – 1 = 8
x = 9
2
S = 9
2
b) log 2 log 5 x = 1
CE { x > 0
log 5 x > 0
log 2 log 5 x = 1
log 5 x = 2 1
log 5 x = 2
x = 5 2
x = 25
x = 25 satisfaz as condições de existência.
S = { 25 }
5ª) Escreva em base 2 os seguintes logaritmos :
a) log 3 5
Solução:
log 3 5 = log 2 5
log 2 3
b) Se log 2 = 0,3 e log 3 = 0,48, calcular o valor de log 100 36
Solução:
Log 3 2 = log 2 = 0,3 = 0,625
log 3 0,48
Eles são mais curtos que as potências.
Imagine que as potências indiquem a altura de um foguete que, depois de lançado, atinge 10 m em 1 segundo, 100 m em 2 segundo, e assim sucessivamente. O tempo é sempre o logaritmo da altitude.
Se o foguete está a 10.000 m acima do solo, a sua altura é 4. Portanto, o logaritmo de 10.000 e 4.
O que é e onde utiliza-lo ?
A palavra logaritmo origino-se das palavra gregas Logos ( razão ) e arithmos ( números ).
No século XVII, havia dificuldades na elaboração de cálculos devido principalmente às operações de multiplicação, divisão e potenciação.
Burgi, em 1620, e John Napier, em 1614, publicaram as primeiras tabelas de logaritmos, cuja finalidade era a simplificação de cálculos numéricos complicados.
Embora as tabelas de logaritmos não seja tão usadas atualmente como instrumento de cálculo, os logaritmos são de grande importância em diversas áreas, por exemplo, na medição de terremotos.
Para compreendermos melhor o que é logaritmo, consideramos uma base positiva e diferente de 1.
4
Ex: 3 = 81
Ao expoente dessa potência damos o nome de logaritmo. Portanto, 4 é o logaritmo de 81 na base 3.
4
3 = 81 log 81 = 4
3
Dados dois números reais e positivos a e b, sendo 1, chama-se logritmo b na base a o expoente que deve colocar à base a .
Indicamos : log b = x a = b.
a
Onde b é o logaritmando
A é a base
X é o logaritmo
Condição de existência
CE b>0
1 a > 0
SISTEMA DE LOGARITMO
Chama-se sistema de logaritmo de base a ( 1 a > 0 ), o conjuntos dos logaritmos de todos os números reais positivos na base a .
Dois sistemas de logaritmos destacam-se pelo seu importante papel no campo das Ciências, são eles: sistema de logaritmos decimais (ou sistema de logaritmo de Briggs ) e sistema de logaritmos neperianos (ou sistema de logaritmos naturais ).
LOGARITMOS DECIMAIS
São aqueles na base 10. Indicaremos por log b = x, sem necessidade de colocar a base 10.
SISTEMA NEPERIANO OU NATURAL
É o conjunto dos logaritmos na base e (e é um número irracional que recebe o nome de número de Euler, que vale 2,71828...). Indicaremos In b = x.
CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO
A partir da definição, temos:
a) log 1 = 0
a
O logaritmo de 1 é sempre 0, pois a° = 1.
b) log a = 1
a 1
Quanto a base é igual ao logaritmando, o logaritmo é sempre 1, pois a = a .
n
b) log a = n
a n n
O logaritmo de potência da base é sempre o expoente dessa base pois a = a .
Log a b
d) a = b
Um número a, elevado ao logaritmo de b na base a, é sempre igual a b.
e) log b = log c b = c
a a
Dois valores são iguais, então, seus logaritmos, na mesma base, também são iguais.
DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Chamamos a condições de existência de um logaritmo de campo de existência ou domínio dos logaritmos.
Exemplo:
a) Determinar o campo de existência da função f (x) = log (x-3 ) indica-se condição de existência por CE. 2
EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS
Podemos classificar as equações em redutíveis, que são solucionadas por meio da definição de logaritmo.
Para resolvermos um equação, devemos obter:
• Condição de existência.
• Verificação com as soluções da equação nas condições de existência .
MUDANÇAS DE BASE
As vezes, em algumas situações, devemos transformar o logaritmo em outra base. Para mudarmos a base de um logaritmo, utilizamos a seguinte fórmula:
Log b em que c será a nova base
Log b = condições: b > 0
a Log a 0 < a 1
c
Conseqüência :
a) log b . log a = log b
a c c
b) log b = 1
a log a
b
Módulo de ensino integrado; Editora Silvanell.
1ª) Aplicando as conseqüências da definição os logaritmos :
a) log 1 = 0
2
b) log 10 = 1
3
C) log 27 = log 3 = 3
3 3 5
2
log 2 32 = log 2 2 5 = log 2 2 = 5
2
log 5 125 log 5 5 3
d) 5 = 5 = 5 3 = 125
log 5 6 . log 3 5 log 3 5 . log 5 6 log 5 6
3 = 3 = 5 = 6
e) log b = log 4
3 3
b = 4
log 4x – 1 = log 2x + 3
2 2
4x – 1 = 2x + 3
4x – 2x = 4
2x = 2
x = 1
S = 1
2ª) Resolva as condições de existência para o logaritmo :
solução :
a) CE x – 3 > 0
X – 3 > 0
X > 3 D = x R/x > 3
Solução :
b) x – 1 > 0 e x – 1 1
x > 1 x 2 D = x R/x > 1 e x 2
3ª) Aplique as propriedades dos logaritmos, calculando os logaritmos:
a) Sendo log 2 = x e log 3 = y, calcule log 12
Solução :
Log 12 = log ( 22 . 3 )
= log 22 + log 3
= 2 log 2 + log 3 4
= 2x + y ac
b) Sendo log y a = 3, log y b = 2 e log y c = 1, calcule log y
b
Solução:
4
ac 4
Log y = = log y ac - log y b
b
1
= log y ( ac) 4 - log y b
= 1 log y ( ac ) – log y b
4
= 1 ( log y a + log y c ) – log y b
4
= 1 ( 3 + 1 ) - 2
4
= 1 – 2 = - 1
4ª) Verifique a condição de existência:
a) log 2 2x – 1 = 3
CE 2x – 1 > 0
2x – 1 = 2 3
2x – 1 = 8
x = 9
2
S = 9
2
b) log 2 log 5 x = 1
CE { x > 0
log 5 x > 0
log 2 log 5 x = 1
log 5 x = 2 1
log 5 x = 2
x = 5 2
x = 25
x = 25 satisfaz as condições de existência.
S = { 25 }
5ª) Escreva em base 2 os seguintes logaritmos :
a) log 3 5
Solução:
log 3 5 = log 2 5
log 2 3
b) Se log 2 = 0,3 e log 3 = 0,48, calcular o valor de log 100 36
Solução:
Log 3 2 = log 2 = 0,3 = 0,625
log 3 0,48
segunda-feira, 11 de janeiro de 2010
História da Matemática 2
HISTÓRIA DOS NÚMEROS
A noção de número e suas extraordinárias generalizações estão intimamente ligadas à história da humanidade. E a própria vida está impregnada de matemática: grande parte das comparações que o homem formula, assim como gestos e atitudes cotidianas, aludem conscientemente ou não a juízos aritméticos e propriedades geométricas. Sem esquecer que a ciência, a indústria e o comércio nos colocam em permanente contato com o amplo mundo da matemática.
A LINGUAGEM DOS NÚMEROS
Em todas as épocas da evolução humana, mesmo nas mais atrasadas, encontra-se no homem o sentido do número. Esta faculdade lhe permite reconhecer que algo muda em uma pequena coleção (por exemplo, seus filhos, ou suas ovelhas) quando, sem seu conhecimento direto, um objeto tenha sido retirado ou acrescentado.
O sentido do número, em sua significação primitiva e no seu papel intuitivo, não se confunde com a capacidade de contar, que exige um fenômeno mental mais complicado. Se contar é um atributo exclusivamente humano, algumas espécies de animais parecem possuir um sentido rudimentar do número. Assim opinam, pelo menos, observadores competentes dos costumes dos animais. Muitos pássaros têm o sentido do número. Se um ninho contém quatro ovos, pode-se tirar um sem que nada ocorra, mas o pássaro provavelmente abandonará o ninho se faltarem dois ovos. De alguma forma inexplicável, ele pode distinguir dois de três.
O corvo assassinado
Um senhor feudal estava decidido a matar um corvo que tinha feito ninho na torre de seu castelo. Repetidas vezes tentou surpreender o pássaro, mas em vão: quando o homem se aproximava, o corvo voava de seu ninho, colocava-se vigilante no alto de uma árvore próxima, e só voltava à torre quando já vazia. Um dia, o senhor recorreu a um truque: dois homens entraram na torre, um ficou lá dentro e o outro saiu e se foi. O pássaro não se deixou enganar e, para voltar, esperou que o segundo homem tivesse saído. O estratagema foi repetido nos dias seguintes com dois, três e quatro homens, sempre sem êxito. Finalmente, cinco homens entraram na torre e depois saíram quatro, um atrás do outro, enquanto o quinto aprontava o trabuco à espera do corvo. Então o pássaro perdeu a conta e a vida.
As espécies zoológicas com sentido do número são muito poucas (nem mesmo incluem os monos e outros mamíferos). E a percepção de quantidade numérica nos animais é de tão limitado alcance que se pode desprezá-la. Contudo, também no homem isso é verdade. Na prática, quando o homem civilizado precisa distinguir um número ao qual não está habituado, usa conscientemente ou não - para ajudar seu sentido do número - artifícios tais como a comparação, o agrupamento ou a ação de contar. Essa última, especialmente, se tornou parte tão integrante de nossa estrutura mental que os testes sobre nossa percepção numérica direta resultaram decepcionantes. Essas provas concluem que o sentido visual direto do número possuído pelo homem civilizado raras vezes ultrapassa o número quatro, e que o sentido tátil é ainda mais limitado.
Limitações vêm de longe
Os estudos sobre os povos primitivos fornecem uma notável comprovação desses resultados. Os selvagens que não alcançaram ainda o grau de evolução suficiente para contar com os dedos estão quase completamente disprovidos de toda noção de número. Os habitantes da selva da África do Sul não possuem outras palavras numéricas além de um, dois e muitos, e ainda essas palavras estão desvinculadas que se pode duvidar que os indígenas lhes atribuam um sentido bem claro.
Realmente não há razões para crer que nossos remotos antepassados estivessem mais bem equipados, já que todas as linguagens européias apresentam traços destas antigas limitações: a palavra inglesa thrice, do mesmo modo que a palavra latina ter, possui dois sentidos: "três vezes" e "muito". Há evidente conexão entre as palavras latinas tres (três) e trans (mais além). O mesmo acontece no francês: trois (três) e très (muito).
Como nasceu o conceito de número? Da experiência? Ou, ao contrário, a experiência serviu simplesmente para tornar explícito o que já existia em estado latente na mente do homem primitivo? Eis aqui um tema apaixonante para discussão filosófica.
Julgando o desenvolvimento dos nossos ancestrais pelo estado mental das tribos selvagens atuais, é impossível deixar de concluir que sua iniciação matemática foi extremamente modesta. Um sentido rudimentar de número, de alcance não maior que o de certos pássaros, foi o núcleo do qual nasceu nossa concepção de número. Reduzido à percepção direta do número, o homem não teria avançado mais que o corvo assassinado pelo senhor feudal. Todavia, através de uma série de circunstâncias, o homem aprendeu a completar sua percepção limitada de número com um artifício que estava destinado a exercer influência extraordinária em sua vida futura. Esse artifício é a operação de contar, e é a ele que devemos o progresso da humanidade.
O número sem contagem
Apesar disso, ainda que pareça estranho, é possível chegar a uma idéia clara e lógica de número sem recorrer a contagem. Entrando numa sala de cinema, temos diante de nós dois conjuntos: o das poltronas da sala e o dos espectadores. Sem contar, podemos assegurar se esses dois conjuntos têm ou não igual número de elementos e, se não têm, qual é o de menor número. Com efeito, se cada assento está ocupado e ninguém está de pé, sabemos sem contar que os dois conjuntos têm igual número. Se todas as cadeiras estão ocupadas e há gente de pé na sala, sabemos sem contar que há mais pessoas que poltronas.
Esse conhecimento é possível graças a um procedimento que domina toda a matemática, e que recebeu o nome de correspondência biunívoca. Esta consiste em atribuir a cada objeto de um conjunto um objeto de outro, e continuar assim até que um ou ambos os conjuntos se esgotem.
A técnica de contagem, em muitos povos primitivos, se reduz precisamente a tais associações de idéias. Eles registram o número de suas ovelhas ou de seus soldados por meio de incisões feitas num pedaço de madeira ou por meio de pedras empilhadas. Temos uma prova desse procedimento na origem da palavra "cálculo", da palavra latina calculus, que significa pedra.
A idéia de correspondência
A correspondência biunívoca resume-se numa operação de "fazer corresponder". Pode-se dizer que a contagem se realiza fazendo corresponder a cada objeto da coleção (conjunto), um número que pertence à sucessão natural: 1,2,3...
A gente aponta para um objeto e diz: um; aponta para outro e diz: dois; e assim sucessivamente até esgotar os objetos da coleção; se o último número pronunciado for oito, dizemos que a coleção tem oito objetos e é um conjunto finito. Mas o homem de hoje, mesmo com conhecimento precário de matemática, começaria a sucessão numérica não pelo um mas por zero, e escreveria 0,1,2,3,4...
A criação de um símbolo para representar o "nada" constitui um dos atos mais audaciosos da história do pensamento. Essa criação é relativamente recente (talvez pelos primeiros séculos da era cristã) e foi devida às exigências da numeração escrita. O zero não só permite escrever mais simplesmente os números, como também efetuar as operações. Imagine o leitor - fazer uma divisão ou multiplicação em números romanos! E no entanto, antes ainda dos romanos, tinha florescido a civilização grega, onde viveram alguns dos maiores matemáticos de todos os tempos; e nossa numeração é muito posterior a todos eles.
Do relativo ao absoluto
Pareceria à primeira vista que o processo de correspondência biunívoca só pode fornecer um meio de relacionar, por comparação, dois conjuntos distintos (como o das ovelhas do rebanho e o das pedras empilhadas), sendo incapaz de criar o número no sentido absoluto da palavra. Contudo, a transição do relativo ao absoluto não é difícil.
Criando conjuntos modelos, tomados do mundo que nos rodeia, e fazendo cada um deles caracterizar um agrupamento possível, a avaliação de um dado conjunto fica reduzida à seleçào, entre os conjuntos modelos, daquele que possa ser posto em correspondência biunívoca com o conjunto dado.
Começou assim: as asas de um pássaro podiam simbolizar o número dois, as folhas de um trevo o número três, as patas do cavalo o número quatro, os dedos da mão o número cinco. Evidências de que essa poderia ser a origem dos números se encontram em vários idiomas primitivos.
É claro que uma vez criado e adotado, o número se desliga do objeto que o representava originalmente, a conexão entre os dois é esquecida e o número passa por sua vez a ser um modelo ou um símbolo. À medida que o homem foi aprendendo a servir-se cada vez mais da linguagem, o som das palavras que exprimiam os primeiros números foi substituindo as imagens para as quais foi criado. Assim os modelos concretos iniciais tomaram a forma abstrata dos nomes dos números. É impossível saber a idade dessa linguagem numérica falada, mas sem dúvida ela precedeu de vários milhões de anos a aparição da escrita.
Todos os vestígios da significação inicial das palavras que designam os números foram perdidos, com a possível excessão de cinco (que em várias línguas queria dizer mão, ou mão estendida). A explicação para isso é que, enquanto os nomes dos números se mantiveram invariáveis desde os dias de sua criação, revelando notável estabilidade e semelhança em todos os grupos linguísticos, os nomes dos objetos concretos que lhes deram nascimento sofreram uma metamorfose completa.
Palavras que representam números em algumas línguas indo-européias:
Nº Grego arcaico Latim Alemão Inglês Francês Russo
Fonte: Dicionário Enciclopédico Conhecer - Abril Cultural
Álgebra
Por volta do ano 400 d.C., uma idéia audaciosa de um estudioso de Alexandria começou a mudar toda a história da matemática.
Esse estudioso era Diofante de Alexandria, que viveu de 325 a 409 e seus estudos se basearam no uso de símbolos para facilitar a escrita e os cálculos matemáticos. Os Símbolos criados por Diofante fizeram com que as expressões, até então escritas totalmente com palavras, pudessem ser representadas com abreviações.
Diofante viveu numa época muito tumultuada, presenciando, por exemplo, a queda do Império Romano, e isso, não foi nada bom para a matemática, que teve todo um processo de desenvolvimento interrompido devido ao clima de guerra que se criou e principalmente pela destruição de muitos centros de estudos, fazendo com que a simbologia de Diofante não saísse do estágio inicial.
Só no ano de 650 aproximadamente, com a ascensão do Império Árabe, é que houve uma retomada dos estudos matemáticos.
De 786 a 809 no reinado do Califa Harun al-Raschid (o mesmo das mil e uma noites) os muçulmanos conquistaram vários territórios, fazendo surgir grandes cidades, centros de comércio e de artesanato. Todas essas atividades comerciais, as viagens marítimas e através do deserto, provocaram um grande desenvolvimento dos conhecimentos matemáticos.
Em 809, com a morte de al-Raschid, seu filho al-Mamum assumiu o trono e governou até 833.
al-Mamum criou em Bagdá um centro de ensino e contratou os mais brilhantes sábios muçulmanos da época. Entre eles estava Mohamed Ibn Musa al-Khowarizmi, grande matemático que escreveu um livro chamado al-jabr, que significa restauração e refere-se a mudança de termos de um lado para outro de uma equação. Provavelmente o termo Álgebra se originou do título desse livro.
al-Khowarizmi, deu sua contribuição, mas como muitos matemáticos de diversas épocas, não conseguiu expressar as equações totalmente em símbolos. Isso só aconteceu 700 anos depois, quando França e Espanha estavam em guerra, e para evitar que seus planos fossem descobertos pelos inimigos tanto franceses com espanhóis, usavam códigos em suas mensagens. Mas os espanhóis não se deram bem com essa estratégia, pois, sempre que um mensageiro de suas tropas era capturado, os franceses rapidamente descobriam seus planos militares.
"Os franceses têm um pacto com o diabo" diziam os espanhóis, até o Papa foi chamado para resolver a questão.
O demônio era François Viète um advogado francês, capaz de decifrar os códigos secretos das mensagens espanholas.
Apaixonado por álgebra, François Viète viveu de 1540 até 1603 e passou para a história como o principal responsável pela introdução dos símbolos no mundo da matemática. Por isso, ficou conhecido como o Pai da Álgebra.
Além de Viète, outros matemáticos da mesma época deram suas contribuições para o aperfeiçoamento da álgebra. Entre eles, Robert Record, inglês que criou o símbolo (=) para a expressão (igual a). Esse sinal foi usado foi usado por Thomas Harriot, outro matemático inglês, responsável pela eliminação das poucas palavras que ainda restavam na álgebra de Viète.
A passagem para uma álgebra completamente simbólica foi obra de René Descartes, grande matemático e filósofo francês, que introduziu as seguintes inovações para aperfeiçoar a álgebra de Viète:
1) criou o símbolo (.) para a operação de multiplicação;
2) criou a notação que usamos hoje para os expoentes de uma potenciação:
3) passou a usar as primeiras letras do alfabeto para os coeficentes da incógnita e os termos independentes (se literais) e as últimas letras para representar as incógnitas.
A História de Cada Um
ALGARISMOS
No ano de 825 d.C. o trono do Império Árabe era ocupado pelo Califa al-Mamum. Ele tinha interesse que seu reino se transformasse em um grande centro de ensino, onde se pudesse dominar todas as áreas do conhecimento. E para atingir esse objetivo, contratou e trouxe para Bagdá os grandes sábios muçulmanos daquela época.
Entre esses sábios estava al-Khowarizmi, o maior matemático árabe de todos os tempos, e foi destinado a ele a função de traduzir para o árabe os livros de matemática vindos da Índia.
Numa dessas traduções al-Khowarizmi se deparou com aquilo ainda hoje é considerado, a maior descoberta no campo da matemática: O Sistema de Numeração Decimal.
al-Khowarizmi ficou tão impressionado com a utilidade daqueles dez símbolos, que hoje são conhecidos como: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, que escreveu um livro explicando como funciona esse sistema.
Através desse livro Sobre a Arte Hindú de Calcular matemáticos de todo o mundo ficaram conhecendo o Sistema Decimal.
O termo algarismo usado para denominar os símbolos de 0 a 9 é uma homenagem a esse matemático árabe que mostrou a humanidade a utilidade desses dez e magníficos símbolos. Observe a semelhança entre algarismo e al-Khowarizmi.
GEOMETRIA
Geometria significa "medida da terra". Mas o que se tem de mais interessante ao se estudar a história, é que os primeiros passos no estudo da geometria foram dados com base numa hipótese falsa. Acreditava-se que a Terra era plana, portanto, todas as pesquisas foram feitas segundo essa crença, mas isso não impediu o desenvolvimento da geometria.
Foi no período grego, entre 600 e 300 a.C., que a geometria se firmou como um sistema organizado, e muito disso se deve a Euclides, mestre na escola de Alexandria (Cidade do Egito, famosa por seu farol), que publicou por volta de 325 a.C. Os Elementos, uma obra com treze volumes, propondo um sistema inédito no estudo da Geometria.
Esse trabalho de Euclides é tão vasto que alguns historiadores não acreditaram que fosse obra de um só homem.
Mas essas desconfianças não foram suficientes para tirar o mérito de Euclides o primeiro a propor um método para um estudo lógico da matemática.
GRAU
Em qualquer livro de matemática encontramos afirmações de que o ângulo reto mede 90º e que o ângulo raso mede 180º. Mas qual é a razão para os valores serem justamente 90 e 180.
Para entendermos isso, retornaremos ao ano de 4000 a.C., quando egípcios e árabes estavam tentando elaborar um calendário. Nessa época, acreditava-se que o Sol girava em torno da Terra numa órbita que levava 360 dias para completar uma volta. Desse modo, a cada dia o Sol percorria uma parcela dessa órbita, ou seja, um arco de circunferência de sua órbita. A esse arco fez-se corresponder um ângulo cujo
vértice era o centro da Terra e cujos lados passavam pelas extremidades de tal arco. Assim, esse ângulo passou a ser uma unidade de medida e foi chamado de grau ou ângulo de um grau.
Pode-se concluir, então, que para os antigos egípcios e árabes o grau era a medida do arco que o Sol percorria em torno da Terra durante um dia.
Hoje, sabemos que é a Terra que gira em torno do Sol, mas, contudo, manteve-se a tradição e convencionou-se dizer que o arco de circunferência mede um grau quando corresponde a 1/360 dessa circunferência.
METRO
A palavra metro tem origem no grego métron, que significa "o que mede".
O sistema métrico surgiu por volta do ano de 1790. Antes disso, cada povo usava um sistema de unidades diferentes, o que, naturalmente, causava a maior confusão. Por exemplo: o mesmo comprimento era medido em um lugar usando-se jardas e em outro com o uso de palmos. O resultado disso tornava praticamente impossível a comunicação entre os povos.
Para solucionar esse problema, reformadores franceses escolheram uma comissão de cinco matemáticos para que elaborassem um sistema padronizado.
Essa comissão decidiu que a unidade de medida de comprimento se chamaria metro, e que corresponderia a décima milionésima parte da distância do equador terrestre ao polo norte, medida ao longo de um meridiano.
Mas a medida da distância do equador ao polo não era nada prática, tanto que ao efetuarem os cálculos os matemáticos acabaram cometendo um erro. Então em 1875 uma comissão internacional de cientistas foi convidada pelo governo francês para que reconsiderassem a unidade do Sistema Métrico, e dessa vez foi construída uma barra de uma liga de platina com irídio, com duas marcas, cuja distância define o comprimento do metro, e para evitar a influência da temperatura, esta barra é mantida a zero grau centígrado, num museu na Suíça.
Mas os cientistas não pararam por aí, no decorrer do tempo foram sendo propostas novas definições para o metro. A última, e que passou a vigorar em 1983, é baseada na velocidade com que a luz se propaga no vácuo.
Resumidamente, pode-se dizer que um metro corresponde a fração 1/300.000.000 da distância percorrida pela luz, no vácuo em um segundo.
NÚMERO NEGATIVO
Os matemáticos chineses da antigüidade, tratavam os números como excessos ou faltas. Os chineses realizavam cálculos em tabuleiros, onde representavam os excessos com palitos vermelhos e as faltas com palitos pretos.
Na Índia, os matemáticos também trabalhavam com esses estranhos números. Brahmagupta, matemático nascido no ano 598 d.C., afirmava que os números podem ser entendidos como pertences ou dívidas.
Mas, sem símbolos próprios para que se pudesse realizar as operações, os números absurdos, como eram chamados, não conseguiam se firmar como verdadeiros números..
Depois de várias tentativas frustadas, os matemáticos conseguiram encontrar um símbolo que permitisse operar com esse novo número. Mas como a história da matemática é cheia de surpresas, não poderia de faltar mais uma: Ao observar a prática adotada pelos comerciantes da época, os matemáticos verificaram que se no início do dia, um comerciante tinha em seu armazém duas sacas de feijão de 40 quilogramas cada, se ao findar o dia ele tivesse vendido 7 quilogramas de feijão, para não se esquecer de que naquele saco faltavam 7 quilogramas, ele escrevia o número 7 com um tracinho na frente (-7). Mas se ele resolvesse despejar no outro saco os 3 quilogramas que restavam, escrevia o número 3 com dois tracinhos cruzados na frente (+3), para se lembrar que naquele saco havia 3 quilogramas a mais de feijão do que a quantidade inicial.
Os matemáticos aproveitaram-se desse expediente e criaram o número com sinal: Positivo (+) ou Negativo (-).
O ZERO
Como surgiu o zero? Para responder essa questão é necessário saber que os hindus foram os criadores do sistema de numeração posicional e que muitos cálculos efetuados por eles eram realizados com a ajuda de um ábaco, instrumento que para a época poderia ser considerado uma verdadeira máquina de calcular.
O ábaco usado inicialmente pelos hindus, consistia em meros sulcos feitos na areia, onde se colocavam pedras. Cada sulco representava uma ordem. Assim, da direita para a esquerda, o primeiro sulco representava as unidades; o segundo as dezenas e o terceiro as centenas. No exemplo acima temos a representação do número 203, ou seja, 2 centenas mais três unidades.
O Sulco vazio do ábaco, indica que não existe nenhuma dezena. Mas na horas de escrever o número faltava um símbolo que indicasse a inexistência de dezenas.
E, foi exatamente isso que fizeram os hindus, eles criaram o tão desejado símbolo para representar o sulco vazio e o chamaram de Sunya (vazio). Dessa forma, para escrever o número representado no ábaco de areia, escreviam o 2 para as centenas, o 3 para as unidades e entre eles faziam o desenho do sulco vazio, para indicar que não havia no número nenhuma dezena.
Ao introduzir o desenho do sulco vazio entre os dois outros símbolos os hindus criaram o zero que, desde aquela época já se parecia com o que usamos hoje.
A noção de número e suas extraordinárias generalizações estão intimamente ligadas à história da humanidade. E a própria vida está impregnada de matemática: grande parte das comparações que o homem formula, assim como gestos e atitudes cotidianas, aludem conscientemente ou não a juízos aritméticos e propriedades geométricas. Sem esquecer que a ciência, a indústria e o comércio nos colocam em permanente contato com o amplo mundo da matemática.
A LINGUAGEM DOS NÚMEROS
Em todas as épocas da evolução humana, mesmo nas mais atrasadas, encontra-se no homem o sentido do número. Esta faculdade lhe permite reconhecer que algo muda em uma pequena coleção (por exemplo, seus filhos, ou suas ovelhas) quando, sem seu conhecimento direto, um objeto tenha sido retirado ou acrescentado.
O sentido do número, em sua significação primitiva e no seu papel intuitivo, não se confunde com a capacidade de contar, que exige um fenômeno mental mais complicado. Se contar é um atributo exclusivamente humano, algumas espécies de animais parecem possuir um sentido rudimentar do número. Assim opinam, pelo menos, observadores competentes dos costumes dos animais. Muitos pássaros têm o sentido do número. Se um ninho contém quatro ovos, pode-se tirar um sem que nada ocorra, mas o pássaro provavelmente abandonará o ninho se faltarem dois ovos. De alguma forma inexplicável, ele pode distinguir dois de três.
O corvo assassinado
Um senhor feudal estava decidido a matar um corvo que tinha feito ninho na torre de seu castelo. Repetidas vezes tentou surpreender o pássaro, mas em vão: quando o homem se aproximava, o corvo voava de seu ninho, colocava-se vigilante no alto de uma árvore próxima, e só voltava à torre quando já vazia. Um dia, o senhor recorreu a um truque: dois homens entraram na torre, um ficou lá dentro e o outro saiu e se foi. O pássaro não se deixou enganar e, para voltar, esperou que o segundo homem tivesse saído. O estratagema foi repetido nos dias seguintes com dois, três e quatro homens, sempre sem êxito. Finalmente, cinco homens entraram na torre e depois saíram quatro, um atrás do outro, enquanto o quinto aprontava o trabuco à espera do corvo. Então o pássaro perdeu a conta e a vida.
As espécies zoológicas com sentido do número são muito poucas (nem mesmo incluem os monos e outros mamíferos). E a percepção de quantidade numérica nos animais é de tão limitado alcance que se pode desprezá-la. Contudo, também no homem isso é verdade. Na prática, quando o homem civilizado precisa distinguir um número ao qual não está habituado, usa conscientemente ou não - para ajudar seu sentido do número - artifícios tais como a comparação, o agrupamento ou a ação de contar. Essa última, especialmente, se tornou parte tão integrante de nossa estrutura mental que os testes sobre nossa percepção numérica direta resultaram decepcionantes. Essas provas concluem que o sentido visual direto do número possuído pelo homem civilizado raras vezes ultrapassa o número quatro, e que o sentido tátil é ainda mais limitado.
Limitações vêm de longe
Os estudos sobre os povos primitivos fornecem uma notável comprovação desses resultados. Os selvagens que não alcançaram ainda o grau de evolução suficiente para contar com os dedos estão quase completamente disprovidos de toda noção de número. Os habitantes da selva da África do Sul não possuem outras palavras numéricas além de um, dois e muitos, e ainda essas palavras estão desvinculadas que se pode duvidar que os indígenas lhes atribuam um sentido bem claro.
Realmente não há razões para crer que nossos remotos antepassados estivessem mais bem equipados, já que todas as linguagens européias apresentam traços destas antigas limitações: a palavra inglesa thrice, do mesmo modo que a palavra latina ter, possui dois sentidos: "três vezes" e "muito". Há evidente conexão entre as palavras latinas tres (três) e trans (mais além). O mesmo acontece no francês: trois (três) e très (muito).
Como nasceu o conceito de número? Da experiência? Ou, ao contrário, a experiência serviu simplesmente para tornar explícito o que já existia em estado latente na mente do homem primitivo? Eis aqui um tema apaixonante para discussão filosófica.
Julgando o desenvolvimento dos nossos ancestrais pelo estado mental das tribos selvagens atuais, é impossível deixar de concluir que sua iniciação matemática foi extremamente modesta. Um sentido rudimentar de número, de alcance não maior que o de certos pássaros, foi o núcleo do qual nasceu nossa concepção de número. Reduzido à percepção direta do número, o homem não teria avançado mais que o corvo assassinado pelo senhor feudal. Todavia, através de uma série de circunstâncias, o homem aprendeu a completar sua percepção limitada de número com um artifício que estava destinado a exercer influência extraordinária em sua vida futura. Esse artifício é a operação de contar, e é a ele que devemos o progresso da humanidade.
O número sem contagem
Apesar disso, ainda que pareça estranho, é possível chegar a uma idéia clara e lógica de número sem recorrer a contagem. Entrando numa sala de cinema, temos diante de nós dois conjuntos: o das poltronas da sala e o dos espectadores. Sem contar, podemos assegurar se esses dois conjuntos têm ou não igual número de elementos e, se não têm, qual é o de menor número. Com efeito, se cada assento está ocupado e ninguém está de pé, sabemos sem contar que os dois conjuntos têm igual número. Se todas as cadeiras estão ocupadas e há gente de pé na sala, sabemos sem contar que há mais pessoas que poltronas.
Esse conhecimento é possível graças a um procedimento que domina toda a matemática, e que recebeu o nome de correspondência biunívoca. Esta consiste em atribuir a cada objeto de um conjunto um objeto de outro, e continuar assim até que um ou ambos os conjuntos se esgotem.
A técnica de contagem, em muitos povos primitivos, se reduz precisamente a tais associações de idéias. Eles registram o número de suas ovelhas ou de seus soldados por meio de incisões feitas num pedaço de madeira ou por meio de pedras empilhadas. Temos uma prova desse procedimento na origem da palavra "cálculo", da palavra latina calculus, que significa pedra.
A idéia de correspondência
A correspondência biunívoca resume-se numa operação de "fazer corresponder". Pode-se dizer que a contagem se realiza fazendo corresponder a cada objeto da coleção (conjunto), um número que pertence à sucessão natural: 1,2,3...
A gente aponta para um objeto e diz: um; aponta para outro e diz: dois; e assim sucessivamente até esgotar os objetos da coleção; se o último número pronunciado for oito, dizemos que a coleção tem oito objetos e é um conjunto finito. Mas o homem de hoje, mesmo com conhecimento precário de matemática, começaria a sucessão numérica não pelo um mas por zero, e escreveria 0,1,2,3,4...
A criação de um símbolo para representar o "nada" constitui um dos atos mais audaciosos da história do pensamento. Essa criação é relativamente recente (talvez pelos primeiros séculos da era cristã) e foi devida às exigências da numeração escrita. O zero não só permite escrever mais simplesmente os números, como também efetuar as operações. Imagine o leitor - fazer uma divisão ou multiplicação em números romanos! E no entanto, antes ainda dos romanos, tinha florescido a civilização grega, onde viveram alguns dos maiores matemáticos de todos os tempos; e nossa numeração é muito posterior a todos eles.
Do relativo ao absoluto
Pareceria à primeira vista que o processo de correspondência biunívoca só pode fornecer um meio de relacionar, por comparação, dois conjuntos distintos (como o das ovelhas do rebanho e o das pedras empilhadas), sendo incapaz de criar o número no sentido absoluto da palavra. Contudo, a transição do relativo ao absoluto não é difícil.
Criando conjuntos modelos, tomados do mundo que nos rodeia, e fazendo cada um deles caracterizar um agrupamento possível, a avaliação de um dado conjunto fica reduzida à seleçào, entre os conjuntos modelos, daquele que possa ser posto em correspondência biunívoca com o conjunto dado.
Começou assim: as asas de um pássaro podiam simbolizar o número dois, as folhas de um trevo o número três, as patas do cavalo o número quatro, os dedos da mão o número cinco. Evidências de que essa poderia ser a origem dos números se encontram em vários idiomas primitivos.
É claro que uma vez criado e adotado, o número se desliga do objeto que o representava originalmente, a conexão entre os dois é esquecida e o número passa por sua vez a ser um modelo ou um símbolo. À medida que o homem foi aprendendo a servir-se cada vez mais da linguagem, o som das palavras que exprimiam os primeiros números foi substituindo as imagens para as quais foi criado. Assim os modelos concretos iniciais tomaram a forma abstrata dos nomes dos números. É impossível saber a idade dessa linguagem numérica falada, mas sem dúvida ela precedeu de vários milhões de anos a aparição da escrita.
Todos os vestígios da significação inicial das palavras que designam os números foram perdidos, com a possível excessão de cinco (que em várias línguas queria dizer mão, ou mão estendida). A explicação para isso é que, enquanto os nomes dos números se mantiveram invariáveis desde os dias de sua criação, revelando notável estabilidade e semelhança em todos os grupos linguísticos, os nomes dos objetos concretos que lhes deram nascimento sofreram uma metamorfose completa.
Palavras que representam números em algumas línguas indo-européias:
Nº Grego arcaico Latim Alemão Inglês Francês Russo
Fonte: Dicionário Enciclopédico Conhecer - Abril Cultural
Álgebra
Por volta do ano 400 d.C., uma idéia audaciosa de um estudioso de Alexandria começou a mudar toda a história da matemática.
Esse estudioso era Diofante de Alexandria, que viveu de 325 a 409 e seus estudos se basearam no uso de símbolos para facilitar a escrita e os cálculos matemáticos. Os Símbolos criados por Diofante fizeram com que as expressões, até então escritas totalmente com palavras, pudessem ser representadas com abreviações.
Diofante viveu numa época muito tumultuada, presenciando, por exemplo, a queda do Império Romano, e isso, não foi nada bom para a matemática, que teve todo um processo de desenvolvimento interrompido devido ao clima de guerra que se criou e principalmente pela destruição de muitos centros de estudos, fazendo com que a simbologia de Diofante não saísse do estágio inicial.
Só no ano de 650 aproximadamente, com a ascensão do Império Árabe, é que houve uma retomada dos estudos matemáticos.
De 786 a 809 no reinado do Califa Harun al-Raschid (o mesmo das mil e uma noites) os muçulmanos conquistaram vários territórios, fazendo surgir grandes cidades, centros de comércio e de artesanato. Todas essas atividades comerciais, as viagens marítimas e através do deserto, provocaram um grande desenvolvimento dos conhecimentos matemáticos.
Em 809, com a morte de al-Raschid, seu filho al-Mamum assumiu o trono e governou até 833.
al-Mamum criou em Bagdá um centro de ensino e contratou os mais brilhantes sábios muçulmanos da época. Entre eles estava Mohamed Ibn Musa al-Khowarizmi, grande matemático que escreveu um livro chamado al-jabr, que significa restauração e refere-se a mudança de termos de um lado para outro de uma equação. Provavelmente o termo Álgebra se originou do título desse livro.
al-Khowarizmi, deu sua contribuição, mas como muitos matemáticos de diversas épocas, não conseguiu expressar as equações totalmente em símbolos. Isso só aconteceu 700 anos depois, quando França e Espanha estavam em guerra, e para evitar que seus planos fossem descobertos pelos inimigos tanto franceses com espanhóis, usavam códigos em suas mensagens. Mas os espanhóis não se deram bem com essa estratégia, pois, sempre que um mensageiro de suas tropas era capturado, os franceses rapidamente descobriam seus planos militares.
"Os franceses têm um pacto com o diabo" diziam os espanhóis, até o Papa foi chamado para resolver a questão.
O demônio era François Viète um advogado francês, capaz de decifrar os códigos secretos das mensagens espanholas.
Apaixonado por álgebra, François Viète viveu de 1540 até 1603 e passou para a história como o principal responsável pela introdução dos símbolos no mundo da matemática. Por isso, ficou conhecido como o Pai da Álgebra.
Além de Viète, outros matemáticos da mesma época deram suas contribuições para o aperfeiçoamento da álgebra. Entre eles, Robert Record, inglês que criou o símbolo (=) para a expressão (igual a). Esse sinal foi usado foi usado por Thomas Harriot, outro matemático inglês, responsável pela eliminação das poucas palavras que ainda restavam na álgebra de Viète.
A passagem para uma álgebra completamente simbólica foi obra de René Descartes, grande matemático e filósofo francês, que introduziu as seguintes inovações para aperfeiçoar a álgebra de Viète:
1) criou o símbolo (.) para a operação de multiplicação;
2) criou a notação que usamos hoje para os expoentes de uma potenciação:
3) passou a usar as primeiras letras do alfabeto para os coeficentes da incógnita e os termos independentes (se literais) e as últimas letras para representar as incógnitas.
A História de Cada Um
ALGARISMOS
No ano de 825 d.C. o trono do Império Árabe era ocupado pelo Califa al-Mamum. Ele tinha interesse que seu reino se transformasse em um grande centro de ensino, onde se pudesse dominar todas as áreas do conhecimento. E para atingir esse objetivo, contratou e trouxe para Bagdá os grandes sábios muçulmanos daquela época.
Entre esses sábios estava al-Khowarizmi, o maior matemático árabe de todos os tempos, e foi destinado a ele a função de traduzir para o árabe os livros de matemática vindos da Índia.
Numa dessas traduções al-Khowarizmi se deparou com aquilo ainda hoje é considerado, a maior descoberta no campo da matemática: O Sistema de Numeração Decimal.
al-Khowarizmi ficou tão impressionado com a utilidade daqueles dez símbolos, que hoje são conhecidos como: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, que escreveu um livro explicando como funciona esse sistema.
Através desse livro Sobre a Arte Hindú de Calcular matemáticos de todo o mundo ficaram conhecendo o Sistema Decimal.
O termo algarismo usado para denominar os símbolos de 0 a 9 é uma homenagem a esse matemático árabe que mostrou a humanidade a utilidade desses dez e magníficos símbolos. Observe a semelhança entre algarismo e al-Khowarizmi.
GEOMETRIA
Geometria significa "medida da terra". Mas o que se tem de mais interessante ao se estudar a história, é que os primeiros passos no estudo da geometria foram dados com base numa hipótese falsa. Acreditava-se que a Terra era plana, portanto, todas as pesquisas foram feitas segundo essa crença, mas isso não impediu o desenvolvimento da geometria.
Foi no período grego, entre 600 e 300 a.C., que a geometria se firmou como um sistema organizado, e muito disso se deve a Euclides, mestre na escola de Alexandria (Cidade do Egito, famosa por seu farol), que publicou por volta de 325 a.C. Os Elementos, uma obra com treze volumes, propondo um sistema inédito no estudo da Geometria.
Esse trabalho de Euclides é tão vasto que alguns historiadores não acreditaram que fosse obra de um só homem.
Mas essas desconfianças não foram suficientes para tirar o mérito de Euclides o primeiro a propor um método para um estudo lógico da matemática.
GRAU
Em qualquer livro de matemática encontramos afirmações de que o ângulo reto mede 90º e que o ângulo raso mede 180º. Mas qual é a razão para os valores serem justamente 90 e 180.
Para entendermos isso, retornaremos ao ano de 4000 a.C., quando egípcios e árabes estavam tentando elaborar um calendário. Nessa época, acreditava-se que o Sol girava em torno da Terra numa órbita que levava 360 dias para completar uma volta. Desse modo, a cada dia o Sol percorria uma parcela dessa órbita, ou seja, um arco de circunferência de sua órbita. A esse arco fez-se corresponder um ângulo cujo
vértice era o centro da Terra e cujos lados passavam pelas extremidades de tal arco. Assim, esse ângulo passou a ser uma unidade de medida e foi chamado de grau ou ângulo de um grau.
Pode-se concluir, então, que para os antigos egípcios e árabes o grau era a medida do arco que o Sol percorria em torno da Terra durante um dia.
Hoje, sabemos que é a Terra que gira em torno do Sol, mas, contudo, manteve-se a tradição e convencionou-se dizer que o arco de circunferência mede um grau quando corresponde a 1/360 dessa circunferência.
METRO
A palavra metro tem origem no grego métron, que significa "o que mede".
O sistema métrico surgiu por volta do ano de 1790. Antes disso, cada povo usava um sistema de unidades diferentes, o que, naturalmente, causava a maior confusão. Por exemplo: o mesmo comprimento era medido em um lugar usando-se jardas e em outro com o uso de palmos. O resultado disso tornava praticamente impossível a comunicação entre os povos.
Para solucionar esse problema, reformadores franceses escolheram uma comissão de cinco matemáticos para que elaborassem um sistema padronizado.
Essa comissão decidiu que a unidade de medida de comprimento se chamaria metro, e que corresponderia a décima milionésima parte da distância do equador terrestre ao polo norte, medida ao longo de um meridiano.
Mas a medida da distância do equador ao polo não era nada prática, tanto que ao efetuarem os cálculos os matemáticos acabaram cometendo um erro. Então em 1875 uma comissão internacional de cientistas foi convidada pelo governo francês para que reconsiderassem a unidade do Sistema Métrico, e dessa vez foi construída uma barra de uma liga de platina com irídio, com duas marcas, cuja distância define o comprimento do metro, e para evitar a influência da temperatura, esta barra é mantida a zero grau centígrado, num museu na Suíça.
Mas os cientistas não pararam por aí, no decorrer do tempo foram sendo propostas novas definições para o metro. A última, e que passou a vigorar em 1983, é baseada na velocidade com que a luz se propaga no vácuo.
Resumidamente, pode-se dizer que um metro corresponde a fração 1/300.000.000 da distância percorrida pela luz, no vácuo em um segundo.
NÚMERO NEGATIVO
Os matemáticos chineses da antigüidade, tratavam os números como excessos ou faltas. Os chineses realizavam cálculos em tabuleiros, onde representavam os excessos com palitos vermelhos e as faltas com palitos pretos.
Na Índia, os matemáticos também trabalhavam com esses estranhos números. Brahmagupta, matemático nascido no ano 598 d.C., afirmava que os números podem ser entendidos como pertences ou dívidas.
Mas, sem símbolos próprios para que se pudesse realizar as operações, os números absurdos, como eram chamados, não conseguiam se firmar como verdadeiros números..
Depois de várias tentativas frustadas, os matemáticos conseguiram encontrar um símbolo que permitisse operar com esse novo número. Mas como a história da matemática é cheia de surpresas, não poderia de faltar mais uma: Ao observar a prática adotada pelos comerciantes da época, os matemáticos verificaram que se no início do dia, um comerciante tinha em seu armazém duas sacas de feijão de 40 quilogramas cada, se ao findar o dia ele tivesse vendido 7 quilogramas de feijão, para não se esquecer de que naquele saco faltavam 7 quilogramas, ele escrevia o número 7 com um tracinho na frente (-7). Mas se ele resolvesse despejar no outro saco os 3 quilogramas que restavam, escrevia o número 3 com dois tracinhos cruzados na frente (+3), para se lembrar que naquele saco havia 3 quilogramas a mais de feijão do que a quantidade inicial.
Os matemáticos aproveitaram-se desse expediente e criaram o número com sinal: Positivo (+) ou Negativo (-).
O ZERO
Como surgiu o zero? Para responder essa questão é necessário saber que os hindus foram os criadores do sistema de numeração posicional e que muitos cálculos efetuados por eles eram realizados com a ajuda de um ábaco, instrumento que para a época poderia ser considerado uma verdadeira máquina de calcular.
O ábaco usado inicialmente pelos hindus, consistia em meros sulcos feitos na areia, onde se colocavam pedras. Cada sulco representava uma ordem. Assim, da direita para a esquerda, o primeiro sulco representava as unidades; o segundo as dezenas e o terceiro as centenas. No exemplo acima temos a representação do número 203, ou seja, 2 centenas mais três unidades.
O Sulco vazio do ábaco, indica que não existe nenhuma dezena. Mas na horas de escrever o número faltava um símbolo que indicasse a inexistência de dezenas.
E, foi exatamente isso que fizeram os hindus, eles criaram o tão desejado símbolo para representar o sulco vazio e o chamaram de Sunya (vazio). Dessa forma, para escrever o número representado no ábaco de areia, escreviam o 2 para as centenas, o 3 para as unidades e entre eles faziam o desenho do sulco vazio, para indicar que não havia no número nenhuma dezena.
Ao introduzir o desenho do sulco vazio entre os dois outros símbolos os hindus criaram o zero que, desde aquela época já se parecia com o que usamos hoje.
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