-Em todo o ensino médio estudamos apenas os seguintes

conjuntos numéricos:

Conjunto dos naturais

Conjunto dos inteiros

Conjunto dos racionais

Conjunto dos irracionais

Conjunto dos reais

-No ensino médio estudamos um novo conjunto, o conjunto dos números complexos.

-Veja uma breve explicação da evolução dos conjuntos numéricos. Iniciamos o estudo dos conjuntos numéricos pelo conjunto dos naturais representado pela letra N maiúscula, os números que pertencem a esse conjunto são:

N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, ...}.

-As operações se tornaram complicadas e sem solução, pois como podemos retirar uma quantidade maior de outra menor? Então foi notada a necessidade de mais números e surgiram os números inteiros representados pela letra Z maiúscula.

-Os números que pertencem a esse conjunto são:

Z = {... , -3,-2,-1,0,1,2,3, ... }

-Novamente as operações se complicaram, pois ao dividirmos, por exemplo, 2: 5 não chegaríamos a uma resposta inteira, então sugiram os números que podem ser escritos em forma de fração, que são representados pela letra Q maiúscula, esses números são:

Q = { ... , -5; ...; - 4,2; ... ; - 2; ... ; -1;...; 0; ...; 3,56; ...; 4; ... }

-Podemos dizer que o conjunto dos naturais está contido no conjunto dos inteiros e racionais, que o conjunto dos inteiros está contido dentro do conjunto dos racionais, veja essa relação em forma de diagrama:

-Ao resolvermos a raiz de alguns números percebemos que as soluções encontradas eram números decimais infinitos e que não obedeciam a uma seqüência, portanto, esses números iriam participar de um conjunto chamado irracionais, representados pela letra I maiúscula. Esse conjunto fica à parte, ele e nenhum dos outros conjuntos citados acima está contido no conjunto dos irracionais.

-A união dos conjuntos racionais com os irracionais forma o conjunto dos reais, representado pela letra R maiúscula, veja o diagrama abaixo: Nem esses conjuntos satisfizeram alguns cálculos, então foi preciso que criassem mais um conjunto numérico, esse seria um pouco diferente dos outros, pois iria conter em sua estrutura a letra i. Sua representação é feita pela letra maiúscula C. Esse conjunto é chamado de conjunto dos números complexos, veio pra resolver raízes com índices pares e radicando negativo, pois no conjunto dos reais essa operação não teria solução. Podemos concluir que o conjunto dos números reais está contido no conjunto dos números complexos.

Circunferência

A equação normal é obtida através da eliminação de todos os parênteses e da união dos termos semelhantes, além disso, é necessário igualar a zero a equação reduzida da circunferência

R2 = (x – a)2 + (y – b)2
R2 = x2 – 2xa + a2 + y2 – 2yb + b2
x 2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – R2 = 0

Essa equação é mais uma forma de equacionar uma circunferência e a partir dela determinar o centro e o raio que a equação está representando, isso poderá ser feito utilizando dois métodos diferentes: comparação e redução.

· Por comparação: basta comparar as duas equações, veja:

Dada a equação x2 + y2 – 2x + 8y + 8 = 0, comparado-a com a equação x 2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – R2 = 0, teremos:

x 2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – R2 = 0
↓ ↓ ↓x2 + y2 – 2x + 8y + 8 = 0

-2a = -2
a = 1

-2b = 8
-b = 8:2
b = -4

a2 + b2 – R2 = 8
12 + (-4)2 – R2 = 8
1 + 16 – R2 = 8
17 – R2 = 8
– R2 = 8 – 17
– R2 = - 9
R = 3

Portanto, a circunferência de equação igual a x2 + y2 – 2x + 8y + 8 = 0 terá centro igual a C(1,-4) e raio igual a R = 3.

· Por redução: consiste em transformar a equação normal em reduzida e assim identificar o centro e o raio.

Pegando como exemplo a mesma equação acima x2 + y2 – 2x + 8y + 8 = 0, iremos transformá-la em uma equação reduzida seguindo os passos abaixo:

1º) É preciso agrupar os termos em x e os termos em y e isolar o termo independente.
(x2 – 2x) + (y2 + 8y) = - 8

2º) Somar aos dois membros da igualdade um termo que torne o agrupamento em x um quadrado perfeito.

(x2 – 2x +1) + (y2 + 8y) = - 8 +1

3°) Somar aos dois membros da igualdade um termo que torne o agrupamento em y um quadrado perfeito.

(x2 – 2x +1) + (y2 + 8y + 16) = - 8 +1 + 16

(x2 – 2x +1) + (y2 + 8y + 16) = 9

(x + 1)2 + (y + 4)2 = 9

Comparando com a equação reduzida.

(x + 1)2 + (y + 4)2 = 9
(x + a)2 + (y + b)2 = R2

Portanto, o centro dessa equação da circunferência será C(1,4) e R = 3.

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