Circunferência

A equação normal é obtida através da eliminação de todos os parênteses e da união dos termos semelhantes, além disso, é necessário igualar a zero a equação reduzida da circunferência

R2 = (x – a)2 + (y – b)2
R2 = x2 – 2xa + a2 + y2 – 2yb + b2
x 2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – R2 = 0

Essa equação é mais uma forma de equacionar uma circunferência e a partir dela determinar o centro e o raio que a equação está representando, isso poderá ser feito utilizando dois métodos diferentes: comparação e redução.

· Por comparação: basta comparar as duas equações, veja:

Dada a equação x2 + y2 – 2x + 8y + 8 = 0, comparado-a com a equação x 2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – R2 = 0, teremos:

x 2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – R2 = 0
↓ ↓ ↓x2 + y2 – 2x + 8y + 8 = 0

-2a = -2
a = 1

-2b = 8
-b = 8:2
b = -4

a2 + b2 – R2 = 8
12 + (-4)2 – R2 = 8
1 + 16 – R2 = 8
17 – R2 = 8
– R2 = 8 – 17
– R2 = - 9
R = 3

Portanto, a circunferência de equação igual a x2 + y2 – 2x + 8y + 8 = 0 terá centro igual a C(1,-4) e raio igual a R = 3.

· Por redução: consiste em transformar a equação normal em reduzida e assim identificar o centro e o raio.

Pegando como exemplo a mesma equação acima x2 + y2 – 2x + 8y + 8 = 0, iremos transformá-la em uma equação reduzida seguindo os passos abaixo:

1º) É preciso agrupar os termos em x e os termos em y e isolar o termo independente.
(x2 – 2x) + (y2 + 8y) = - 8

2º) Somar aos dois membros da igualdade um termo que torne o agrupamento em x um quadrado perfeito.

(x2 – 2x +1) + (y2 + 8y) = - 8 +1

3°) Somar aos dois membros da igualdade um termo que torne o agrupamento em y um quadrado perfeito.

(x2 – 2x +1) + (y2 + 8y + 16) = - 8 +1 + 16

(x2 – 2x +1) + (y2 + 8y + 16) = 9

(x + 1)2 + (y + 4)2 = 9

Comparando com a equação reduzida.

(x + 1)2 + (y + 4)2 = 9
(x + a)2 + (y + b)2 = R2

Portanto, o centro dessa equação da circunferência será C(1,4) e R = 3.