Matrizes

Em um observatório meteorológico, um cientista foi incumbido de registrar, de hora em hora, a temperatura de uma região durante os quatro primeiros dias do mês de junho. Depois de realizado o trabalho, o meteorologista apresentou um relatório com a seguinte tabela:


Na qual cada elemento da linha i e coluna j é a temperatura, em graus Celsius, da região na hora i do dia j.


Note a simplicidade dessa tabela. Se quisermos, por exemplo, basear qual foi a temperatura às 9h do dia 3 de junho, basta olharmos para a intersecção da linha 9 com a coluna 3 e encontraremos os 23°C.



Tabelas como estas são denominadas matrizes. Vamos formalizar uma estrutura algébrica para as matrizes, ou seja, definiremos igualdade e operações com elas.






Chama-se matriz do tipo mn (lê-se “m por n”) toda tabela de números dispostos em m linhas e n colunas. Tal tabela deve ser representada entre parênteses ( ), entre colchetes [ ] ou entre barras duplas || ||.
Exemplos:
9 4
Matriz A do tipo 3x2
a) A3 x 2 = 5 6

1 -3




5 -4
b) B2x2 = Matriz b do tipo 2x2
3 -6





c) C 1x3 = || 4 -1 5 || Matriz C do tipo 1x3



CONVENÇÃO

Indicamos por aij o elemento posicionado na linha i e coluna j de uma matriz A.

Exemplo: 9 4

Na matriz A3x2 = 5 6 , temos que:

1 -3

• O numero 9 esta posicionado na linha 1 e coluna 1; indica-se esse elemento por a11, ou seja, a11, = 9;
• O 4 esta posicionado a linha 1 e coluna 2; indica-se esse elemento por a12, ou seja, a12 = 4;
• O 5 esta posicionado na linha 2 e coluna 1; indica-se esse elemento por a21, ou seja, a21 = 5.



Analogamente temos a22 = 6, a31 = 1 e a32 = -3.
]




Podemos representar genericamente uma matriz a do tipo m x n na seguinte maneira:


a11 a12 a13 .... a1n Como esta representação é
Am x n = a21 a22 a23 .... a2n muito extensa, vamos
    convencionar uma forma
    abreviada. Essa matriz pode
    ser representada,
a21 a21 a21 a21 simplesmente, por A=(aij)m x n
ou, quando não houver possibilidade de confusão quanto ao tipo da matriz, por A=(aij).






MATRIZ QUADRADA

Matriz quadrada é toda matriz cujo número de linhas é igual ao número de colunas.

Exemplos:

1 0 3

a) A 3 x 3 = 0 -1 4 É uma matriz quadrada de ordem 3.

6 8 -3



3 6

b) B2x2 = 4 0 É uma matriz quadrada de ordem 2

c) C2x2 = ( 8 ) é uma matriz quadrada de ordem 1.


Numa matriz quadrada A de ordem n, os elementos aij tais que i=j formam a diagonal principal da matriz, e os elementos aij tais que i + j = n + 1 formam a diagonal secundária.


Exemplo:


Diagonal Secundária
a11 a 32 a13
A =
a21 a 32 a23

a31 a32 a33

Diagonal primária

Observe:

• Na diagonal principal os elementos aij possuem i =

a11, a22 e a33

• Na diagonal secundária os elementos aij são tais i + j = 3 + 1 ( em que 3 é a ordem n, que indica por In, a matriz A):

a31, a22 e a13





MATRIZ IDENTIDADE

Chama-se matriz identidade de ordem n, que indica por I¬¬¬n, a matriz:


1, se i = j
I¬¬¬n =( aij)n x 1 tal que aij =
0, se i = j




Note, pela definição que:

• A matriz identidade de ordem 1 é I1 = ( 1 );
• Toda matriz identidade de ordem maior do que 1
Todos os elementos da diagonal principais a todos os demais elementos iguais á zero.

Exemplos:


1 0 0
1 0
a) I2 = b) I2 = 0 1 0
0 1
0 0 1








Chama-se transposta da matriz A = =( aij)mx n que indica por A1, a matriz:

At =( bji)n x m tal que b ji = a ji i , j, 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n


Ou seja, cada coluna i de A1 é, ordenamente, igual a limha i de A.

Exemplos:

2 3
2 5 8
A3 x 2 = 5 0 A3 x 2 =
3 0 6
8 6




Dadas duas matrizes do mesmo tipo, A = ( aij)m x n e B = ( aij)m x n, dizemos que A = B se, e somente se, todo elemento de A igual ao seu correspondente em B.

Em símbolos;

A = B  a rs = b rs r, s ≤r ≤ m e 1 ≤ s n







Uma empresa é formada pelas lojas A e B, concessionárias de automóveis. Realizado um estudo sobre a aceitação de dois novos modelos de veículos nos quatro primeiros dias de Janeiro, foram obtidos os seguintes resultados:

2 3 1 5 3 0 2 3
A = B =
1 2 5 3 4 2 5 3




Sendo que:

• A matriz descreve o desempenho da loja A, de modo que cada elemento aij é o número de unidades vendidas do modelo 2 no dia 3;
• A matriz B descreve o desempenha da loja B, de modo que cada elemento bij é o numero de unidades vendidas do modelo i no dia j.

Como representaríamos, matrialmente, a quantidade vendida desses dois modelos, nas duas lojas, nos primeiros quatro dias de Janeiro? Basta construir uma matriz C2 x 3, na qual cada elemento C ij seja igual à soma de seus correspondentes nas matrizes A e B, ou seja:



2 + 3 3 + 0 1 + 2 5 + 3
C = =
1 + 4 2 + 2 5 + 4 3 + 5



5 3 3 8 A matriz denominada “matriz
= soma de A e B”.
5 4 9 8





Definição:

A soma de duas matrizes do mesmo tipo A=( aij ) m x n e B = (b ij ) que se indica por A + B, é a matriz C =(c ij ) m x n tal que:

c ij = aij + b ij , i, j, 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n

m outras palavras, cada elemento da matriz C é igual à soma de seus correspondentes em A e B.







Definição:

O produto de um número k por uma matriz A= ( aij ) m x n , que se indica por kA, é a matriz B= ( bij ) m x n tal que:

bij = Ka ij, i, j, 1≤ j ≤ n

Ou seja, cada elemento da matriz b é igual ao produto de seu correspondente em a, pelo número k.


Exemplo:

2 -5 8 -20
4 3 0 = 12 0
1 6 4 24









No exemplo introdutório do item 6 (Adição de matrizes), se quisermos uma matriz que represente o desempenho da loja A em relação à loja B, basta subtrairmos de cada elemento da matriz A o seu correspondente em B obtendo:


D = 2 – 3 3 – 0 1 – 2 5 – 3

1 – 4 2 – 2 5 – 4 3 - 5



-1 3 -1 2
=
-3 0 1 -2
Assim por exemplo:

• O elemento A11 = -1 nos diz que a loja vendeu uma unidade a menos do modelo 1, no dia 1, do que a loja B;
• O elemento a14 = 2 nos diz que a loja A vendeu duas unidades a mais do modelo 1, no dia 4, do que a loja B.

Definição

A diferença de duas matrizes do mesmo tipo A e B, nessa ordem, que se indica por A-B, é a matriz A + ( -B):

A – B = A + ( - B )


Em palavras mais simples a diferença A – B, é igual à soma de A com a oposta do B.


Exemplo:

8 5 6 2
4 6 _ 3 6 =
9 -2 12 -9




8 5 -6 -2 2 3
= 4 6 + -3 -6 = 1 0
9 -2 -12 9 -3 7