Os Entes Geométricos Fundamentais são entidades que não apresentam definição, apesar de todos saberem o que é. O ponto, a reta (ou recta, em Portugal) e o plano são os 3 entes geométricos e os elementos fundamentais da geometria clássica. Na matemática moderna, contudo, esses conceitos relativizam-se. Planos podem ser pontos num espaço de dimensão superior, funções podem ser pontos em um espaço funcional. Noutras palavras, na matemática moderna, o que vale são as relações entre entes matemáticos. Entretanto, o estudo de geometria clássica tem óbvias necessidades práticas e teóricas.
Há três tipos de entes geométricos; a linha, os polígonos e os sólidos geométricos.
O ponto é uma entidade geométrica que não tem altura, comprimento ou largura, ou seja, é unidimensional dimensões, (adimensional; adj. 2 gén., que não tem dimensão, tamanho). Em sucessão contínua, os pontos constroem linhas. As linhas têm uma única dimensão; o comprimento. Na disciplina de Geometria, a recta é compreendida como um conjuntos infinito de pontos. As rectas podem intersectar-se em qualquer dos seus pontos ou com planos (também entendidos como conjuntos infinitos de pontos).
Uma figura geométrica (polígono) é constituída, e por isso sempre representada, através de pontos que se situam num mesmo plano (triângulo, quadrado, rectângulo, trapézio, hexágono, pentágono, paralelogramo, losango, etc.).
Uma figura sólida (ou sólido geométrico) é uma figura que tem pontos de representação em diversos planos (cubo, pirâmide, cilindro, esfera, etc.). Os sólidos geométricos têm três dimensões a saber; altura, largura e comprimento. São por isso constituídos por vértices, que ligam arestas, que constroem faces. Estas faces são na generalidade figuras geométricas, excluindo-se raros casos (como a esfera). As faces dos sólidos geométricos podem ser entendidas como planos.
Representação do ponto
É representado por Letras Maiúsculas do nosso alfabeto.
[editar] Distância entre 2 pontos
Sendo e .
[editar] Reta
Ver artigo principal: Recta
RetasUma reta é composta por um conjunto infinito de pontos. É uma entidade que tem apenas comprimento, ou apenas altura ou apenas largura, ou seja, tem apenas uma dimensão, considerada como unidimensional. Para traçar uma reta, dois pontos apenas são necessários. Por um ponto, passam infinitas retas.
A reta é uma entidade geométrica caracterizada pela projeção linear de um ponto no espaço. A reta também pode ser descrita como um arco de circunferência cujo raio é infinito. Sempre se escreve o nome da reta com letras minúsculas.
[editar] Equação
A equação geral da reta num espaço euclidiano de 27 dimensões é a seguinte:
r: (x,y,z) = (o,p,q)+ t(a,b,c)
Onde v=(a,b,c) é um vetor diretor de r. Onde P=(o,p,q) é um ponto de r. Onde Q=(x,y,z) é um ponto qualquer de r. Onde t é o parâmetro que pode tomar como valor qualquer número real.
[editar] Representação da reta
A reta é representada por letras minúsculas do nosso alfabeto ou por dois pontos com uma seta apontando para os dois lados em cima.
[editar] Posição de uma reta no plano
Uma reta pode estar na posição Vertical, Horizontal ou Inclinada(Diagonal).
r=vertical / s=horizontal / t=inclinadaDuas retas podem ser:
Perpendiculares:
Paralelas: Quando não tem nenhum ponto em comum. Quando o coeficiente angular de uma igual da outra ()
Concorrentes: Quando tem apenas dois pontos em comum.
Coincidentes: Quando nao tem todos os pontos em comum.
Uma reta pode ser:
Horizontal: .
Vertical: não definido.
Diagonal: não definido.
[editar] Coeficiente angular
Sendo: e . = Coeficiente angular. = Ponto onde corta o eixo y. Uma reta no plano bidimensional pode ser representada das seguintes formas.
[editar] Semi-reta
Semi-reta é uma parte da reta que tem começo, mas não tem fim. O ponto onde a semi-reta tem início é chamado Ponto de origem.
Semi-Reta[editar] Segmento de reta
Segmento de Reta é um dos infinitos segmento finito de uma reta. É determinado por dois pontos colineares (todo par de pontos é colinear, logo todo par de pontos pode formar um segumento de reta). Dois ou mais segmentos de reta podem ser:
Consecutivos: Têm apenas um ponto em comum
Colineares: Estão na mesma reta
Adjacentes: Têm apenas um ponto em comum e estão na mesma reta, ou seja, são Consecutivos e Colineares ao mesmo tempo.
[editar] Ponto médio de um segmento de reta
Sendo e .
Segmentos Consecutivos, adjacentes e colineares[editar] Plano
Ver artigo principal: Plano
plano alfaUm plano é uma entidade geométrica formada por infinitas retas e infinitos pontos. Para traçar um plano, três pontos não-alinhados são necessários. O plano tem duas dimensões, ou seja tem altura e largura ou altura e comprimento ou largura e comprimento, por isso, é chamado de bidimensional.
[editar] Representação de um plano
Um plano é representado por uma letra minúscula do alfabeto grego, geralmente α ou β ou por três pontos distintos do plano.E por retas paralelas; apesar de não possuir nem um ponto em comum , as retas paralelas são coplanares.
[editar] Equação
Onde n=(a,b,c) é um vetor normal (perpendicular) ao plano. Onde P=(x,y,z) é um ponto desse plano. E d é um número real que satisfaça a equação.
Obtido em "http://pt.wikipedia.org/wiki/Entes_geom%C3%A9tricos_fundamentais"
Categoria: Geometria
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sexta-feira, 19 de março de 2010
Ângulo
Ângulo é a região de um plano concebida pela abertura de duas semi-retas que possuem uma origem em comum, chamada vértice do ângulo. A abertura do ângulo é uma propriedade invariante e é medida em radianos ou graus.
Componentes de um ângulo
Semi-retas - são as duas retas laterais ao ângulo.
Origem ou vértice - ponto onde as duas semi-retas se cruzam.
Bissetriz - é a semi-reta com origem no vértice desse ângulo dividindo-o ao meio.
[editar] Unidades de medidas para ângulos
De forma a medir um ângulo, um círculo com centro no vértice é desenhado. Como a circunferência do círculo é sempre diretamente proporcional ao comprimento de seu raio, a medida de um ângulo é independente do tamanho do círculo.
A medida em radianos de um ângulo é o comprimento do arco cortado pelo ângulo, dividido pelo raio do círculo. O SI utiliza o radiano como a unidade derivada para ângulos. Devido ao seu relacionamento com o comprimento do arco, radianos são uma unidade especial. Senos e co-senos cujos argumentos estão em radianos possuem propriedades analíticas particulares, tal como criar funções exponenciais em base e.
A medida em graus de um ângulo é o comprimento de um arco, dividido pela circunferência de um círculo e multiplicada por 360. O símbolo de graus é um pequeno círculo sobrescrito °. 2π radianos é igual a 360° (um círculo completo), então um radiano é aproximadamente 57° e um grau é π/180 radianos.
O gradiano, também chamado de grado, é uma medida angular onde o arco é divido pela circunferência e multiplicado por 400. Essa forma é usado mais em triangulação.
O ponto é usado em navegação, e é definida como 1/32 do círculo, ou exatamente 11,25°.
...
O círculo completo ou volta completa representa o número ou a fração de voltas completas. Por exemplo, π/2 radianos = 90° = 1/4 de um círculo completo.
O ângulo nulo é um ângulo que tem 0°.
[editar] Medindo ângulos
O ângulo θ é o quociente de s por r.Para medir um ângulo θ, um arco circular centrado no vértice do ângulo é desenhado. O comprimento do arco s é então dividido pelo raio do círculo r, e multiplicado por uma constante k, que depende da unidade de medida selecionada (graus ou radianos). Se a unidade for radianos, k = 1; se a unidade for graus, .
Cabe mencionar que valor de θ é independente do tamanho do círculo (a proporção s/r é mantida), pois se o raio do círculo aumenta, o comprimento do arco também aumenta na mesma proporção.
[editar] Tipos de ângulos
[editar] Quanto ao ângulo
Ângulo agudo
Ângulo reto
Ângulo obtuso
Ângulo raso
Ângulo giro ou ângulo completoCom relação às suas medidas, os ângulos podem ser classificados como
Nulo: Um ângulo nulo mede 0°
Agudo: Ângulo cuja medida é maior do que 0° e menor do que 90°
Reto: Um ângulo reto é um ângulo cuja medida é exatamente 90°. Assim os seus lados estão localizados em retas perpendiculares.
Obtuso: É um ângulo cuja medida está entre 90° e 180°.
Raso: Ângulo que mede exatamente 180°, os seus lados são semi-retas opostas.
Côncavo: Ângulo que mede mais de 180°e menos de 360°.
Giro ou Completo: Ângulo que mede 360°. Também pode ser chamado de Ângulo de uma volta.
O ângulo reto (90°) é provavelmente o ângulo mais importante, pois o mesmo é encontrado em inúmeras aplicações práticas, como no encontro de uma parede com o chão, os pés de uma mesa em relação ao seu tampo, caixas de papelão, esquadrias de janelas, etc...
Um ângulo de 360 graus é o ângulo que completa o círculo. Após esta volta completa este ângulo coincide com o ângulo de zero graus mas possui a grandeza de 360 graus (360°).
[editar] Quanto a posições
Os ângulos têm denominações distintas com relação ao posicionamento de dois ângulos.
Ângulos Congruentes - São chamados Ângulos Congruentes quando dois ângulos têm a mesma medida.
Propriedades da Congruência dos ângulos:
Reflexiva
Simétrica
Transitiva
Ângulos Consecutivos - Dois ângulos são chamados consecutivos se um dos lados de um deles coincide com um dos lados do outro ângulo.
Ângulos Adjacentes - Dois ângulos são adjacentes quando são consecutivos e não possuem pontos internos comuns.
Ângulos opostos pelo vértice - São ângulos compostos por duas retas cujo ângulo interno ou externos a estas retas e diagonalmente opostos são congruentes.
[editar] Quanto a complementações
Ângulos complementares a e b (b é o complemento de a, e a é o complemento de b).
Os ângulos a e b são suplementares; a é agudo e b é obtuso.Ângulos Complementares - Dois ângulos são Complementares quando a soma de suas medidas é igual a 90°. Neste caso, cada um é o complemento do outro.
Ângulos Suplementares - Dois ângulos são Suplementares quando a soma de suas medidas é igual a 180°. Neste caso, cada um é o suplemento do outro.
Ângulos Replementares - Dois ângulos são Replementares quando a soma de suas medidas é igual a 360°. Neste caso, cada um é o replemento do outro.
Ângulos Explementares - Dois ângulos são Explementares quando a diferença de suas medidas é igual a 180. Neste caso, cada um é o explemento do outro
Componentes de um ângulo
Semi-retas - são as duas retas laterais ao ângulo.
Origem ou vértice - ponto onde as duas semi-retas se cruzam.
Bissetriz - é a semi-reta com origem no vértice desse ângulo dividindo-o ao meio.
[editar] Unidades de medidas para ângulos
De forma a medir um ângulo, um círculo com centro no vértice é desenhado. Como a circunferência do círculo é sempre diretamente proporcional ao comprimento de seu raio, a medida de um ângulo é independente do tamanho do círculo.
A medida em radianos de um ângulo é o comprimento do arco cortado pelo ângulo, dividido pelo raio do círculo. O SI utiliza o radiano como a unidade derivada para ângulos. Devido ao seu relacionamento com o comprimento do arco, radianos são uma unidade especial. Senos e co-senos cujos argumentos estão em radianos possuem propriedades analíticas particulares, tal como criar funções exponenciais em base e.
A medida em graus de um ângulo é o comprimento de um arco, dividido pela circunferência de um círculo e multiplicada por 360. O símbolo de graus é um pequeno círculo sobrescrito °. 2π radianos é igual a 360° (um círculo completo), então um radiano é aproximadamente 57° e um grau é π/180 radianos.
O gradiano, também chamado de grado, é uma medida angular onde o arco é divido pela circunferência e multiplicado por 400. Essa forma é usado mais em triangulação.
O ponto é usado em navegação, e é definida como 1/32 do círculo, ou exatamente 11,25°.
...
O círculo completo ou volta completa representa o número ou a fração de voltas completas. Por exemplo, π/2 radianos = 90° = 1/4 de um círculo completo.
O ângulo nulo é um ângulo que tem 0°.
[editar] Medindo ângulos
O ângulo θ é o quociente de s por r.Para medir um ângulo θ, um arco circular centrado no vértice do ângulo é desenhado. O comprimento do arco s é então dividido pelo raio do círculo r, e multiplicado por uma constante k, que depende da unidade de medida selecionada (graus ou radianos). Se a unidade for radianos, k = 1; se a unidade for graus, .
Cabe mencionar que valor de θ é independente do tamanho do círculo (a proporção s/r é mantida), pois se o raio do círculo aumenta, o comprimento do arco também aumenta na mesma proporção.
[editar] Tipos de ângulos
[editar] Quanto ao ângulo
Ângulo agudo
Ângulo reto
Ângulo obtuso
Ângulo raso
Ângulo giro ou ângulo completoCom relação às suas medidas, os ângulos podem ser classificados como
Nulo: Um ângulo nulo mede 0°
Agudo: Ângulo cuja medida é maior do que 0° e menor do que 90°
Reto: Um ângulo reto é um ângulo cuja medida é exatamente 90°. Assim os seus lados estão localizados em retas perpendiculares.
Obtuso: É um ângulo cuja medida está entre 90° e 180°.
Raso: Ângulo que mede exatamente 180°, os seus lados são semi-retas opostas.
Côncavo: Ângulo que mede mais de 180°e menos de 360°.
Giro ou Completo: Ângulo que mede 360°. Também pode ser chamado de Ângulo de uma volta.
O ângulo reto (90°) é provavelmente o ângulo mais importante, pois o mesmo é encontrado em inúmeras aplicações práticas, como no encontro de uma parede com o chão, os pés de uma mesa em relação ao seu tampo, caixas de papelão, esquadrias de janelas, etc...
Um ângulo de 360 graus é o ângulo que completa o círculo. Após esta volta completa este ângulo coincide com o ângulo de zero graus mas possui a grandeza de 360 graus (360°).
[editar] Quanto a posições
Os ângulos têm denominações distintas com relação ao posicionamento de dois ângulos.
Ângulos Congruentes - São chamados Ângulos Congruentes quando dois ângulos têm a mesma medida.
Propriedades da Congruência dos ângulos:
Reflexiva
Simétrica
Transitiva
Ângulos Consecutivos - Dois ângulos são chamados consecutivos se um dos lados de um deles coincide com um dos lados do outro ângulo.
Ângulos Adjacentes - Dois ângulos são adjacentes quando são consecutivos e não possuem pontos internos comuns.
Ângulos opostos pelo vértice - São ângulos compostos por duas retas cujo ângulo interno ou externos a estas retas e diagonalmente opostos são congruentes.
[editar] Quanto a complementações
Ângulos complementares a e b (b é o complemento de a, e a é o complemento de b).
Os ângulos a e b são suplementares; a é agudo e b é obtuso.Ângulos Complementares - Dois ângulos são Complementares quando a soma de suas medidas é igual a 90°. Neste caso, cada um é o complemento do outro.
Ângulos Suplementares - Dois ângulos são Suplementares quando a soma de suas medidas é igual a 180°. Neste caso, cada um é o suplemento do outro.
Ângulos Replementares - Dois ângulos são Replementares quando a soma de suas medidas é igual a 360°. Neste caso, cada um é o replemento do outro.
Ângulos Explementares - Dois ângulos são Explementares quando a diferença de suas medidas é igual a 180. Neste caso, cada um é o explemento do outro
quinta-feira, 21 de janeiro de 2010
Números irracionais
A origem histórica da necessidade de criação dos números irracionais está intimamente ligada com fatos de natureza geométrica e de natureza aritmética. Os de natureza geométrica podem ser ilustrados com o problema da medida da diagonal do quadrado quando a comparamos com o seu lado.
Este problema geométrico arrasta outro de natureza aritmética, que consiste na impossibilidade de encontrar números conhecidos - racionais - para raízes quadradas de outros números, como por exemplo, raiz quadrada de 2. Estes problemas já eram conhecidos da Escola Pitagórica (séc. V a.c.), que considerava os irracionais heréticos. A Ciência grega consegui um aprofundamento de toda a teoria dos números racionais, por via geométrica - "Elementos de Euclides" - mas não avançou, por razões essencialmente filosóficas, no campo do conceito de número. Para os gregos, toda a figura geométrica era formada por um número finito de pontos, sendo estes concebidos como minúsculos corpúsculos - "as mónadas" - todos iguais entre si; daí resultava que, ao medir um comprimento de n mónadas com outro de m, essa medida seria sempre representada por uma razão entre dois inteiros n/m (número racional); tal comprimento incluía-se, então na categoria dos comensuráveis. Ao encontrar os irracionais, aos quais não conseguem dar forma de fracção, os matemáticos gregos são levados a conceber grandezas incomensuráveis. A reta onde se marcavam todos os racionais era, para eles, perfeitamente contínua; admitir os irracionais era imaginála cheia de "buracos". É no séc. XVII, com a criação da Geometria Analítica (Fermat e Descartes), que se estabelece a simbiose do geométrico com o algébrico, favorecendo o tratamento aritmético do comensurável e do incomensurável. Newton (1642-1727) define pela primeira vez "número", tanto racional como irracional.
O IRRACIONAL ø
ø =1,6180339887... ou ø =(1 + sqr(5))/2 é considerado símbolo de harmonia. Os artistas gregos usavam-no em arquitetura; Leonardo da Vinci, nos seus trabalhos artísticos; e, no mundo moderno, o arquiteto Le Corbusier, com base nele, apresentou, em 1948, O modulor. O número de ouro descobre-se em relações métricas: - na natureza: em animais (como na concha do Nautilus) flores, frutos, na disposição dos ramos de certas árvores;- em figuras geométricas, tais como o retângulo de ouro, hexágono e decágono regulares e poliedros regulares;- em inúmeros monumentos, desde a Pirâmide de Quéops até diversas catedrais, na escultura, pintura e até na música.
Este problema geométrico arrasta outro de natureza aritmética, que consiste na impossibilidade de encontrar números conhecidos - racionais - para raízes quadradas de outros números, como por exemplo, raiz quadrada de 2. Estes problemas já eram conhecidos da Escola Pitagórica (séc. V a.c.), que considerava os irracionais heréticos. A Ciência grega consegui um aprofundamento de toda a teoria dos números racionais, por via geométrica - "Elementos de Euclides" - mas não avançou, por razões essencialmente filosóficas, no campo do conceito de número. Para os gregos, toda a figura geométrica era formada por um número finito de pontos, sendo estes concebidos como minúsculos corpúsculos - "as mónadas" - todos iguais entre si; daí resultava que, ao medir um comprimento de n mónadas com outro de m, essa medida seria sempre representada por uma razão entre dois inteiros n/m (número racional); tal comprimento incluía-se, então na categoria dos comensuráveis. Ao encontrar os irracionais, aos quais não conseguem dar forma de fracção, os matemáticos gregos são levados a conceber grandezas incomensuráveis. A reta onde se marcavam todos os racionais era, para eles, perfeitamente contínua; admitir os irracionais era imaginála cheia de "buracos". É no séc. XVII, com a criação da Geometria Analítica (Fermat e Descartes), que se estabelece a simbiose do geométrico com o algébrico, favorecendo o tratamento aritmético do comensurável e do incomensurável. Newton (1642-1727) define pela primeira vez "número", tanto racional como irracional.
O IRRACIONAL ø
ø =1,6180339887... ou ø =(1 + sqr(5))/2 é considerado símbolo de harmonia. Os artistas gregos usavam-no em arquitetura; Leonardo da Vinci, nos seus trabalhos artísticos; e, no mundo moderno, o arquiteto Le Corbusier, com base nele, apresentou, em 1948, O modulor. O número de ouro descobre-se em relações métricas: - na natureza: em animais (como na concha do Nautilus) flores, frutos, na disposição dos ramos de certas árvores;- em figuras geométricas, tais como o retângulo de ouro, hexágono e decágono regulares e poliedros regulares;- em inúmeros monumentos, desde a Pirâmide de Quéops até diversas catedrais, na escultura, pintura e até na música.
quarta-feira, 20 de janeiro de 2010
Números Inteiros
Introdução aos números inteiros
Na época do Renascimento, os matemáticos sentiram cada vez mais a necessidade de um novo tipo de número, que pudesse ser a solução de equações tão simples como:
x + 2 = 0, 2x + 10 = 0, 4y + 4 = 0
As Ciências precisavam de símbolos para representar temperaturas acima e abaixo de 0º C, por exemplo. Os astrônomos e físicos estavam procurando uma linguagem matemática capaz de expressar o movimento de atração entre dois corpos. Quando um corpo age com uma força sobre outro corpo, este reage com uma força de mesma intensidade e sentido contrário.
Mas a tarefa não ficava somente em criar um novo número, era preciso encontrar um símbolo que permitisse operar com esse número criado, de modo prático e eficiente.
Sobre a origem dos sinais
A idéia sobre os sinais vem dos comerciantes da época. Os matemáticos encontraram a melhor notação para expressar esse novo tipo de número. Veja como faziam tais comerciantes:
Suponha que um deles tivesse em seu armazém duas sacas de feijão com 10 kg cada. Se esse comerciante vendesse num dia 8 Kg de feijão, ele escrevia o número 8 com um traço (semelhante ao atual sinal de menos) na frente para não se esquecer de que no saco faltava 8 Kg de feijão.
Mas se ele resolvesse despejar no outro saco os 2 Kg que restaram, escrevia o número 2 com dois traços cruzados (semelhante ao atual sinal de mais) na frente, para se lembrar de que no saco havia 2 Kg de feijão a mais que a quantidade inicial.
Com essa nova notação,os matemáticos poderiam, não somente indicar as quantidades, mas também representar o ganho ou a perda dessas quantidades, através de números, com sinal positivo ou negativo.
O conjunto Z dos Números Inteiros
Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos números naturais, o conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto é denotado pela letra Z (Zahlen=número em alemão). Este conjunto pode ser escrito por:
Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...}
Exemplos de subconjuntos do conjunto Z:
Conjunto dos números inteiros exceto o número zero:
Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...}
Conjunto dos números inteiros não negativos:
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4,...}
Conjunto dos números inteiros não positivos:
Z- = {..., -4, -3, -2, -1, 0}
Observação: Não existe padronização para estas notações.
Reta Numerada
Uma forma de representar geometricamente o conjunto Z é construir uma reta numerada, considerar o número 0 como a origem e o número 1 em algum lugar, tomar a unidade de medida como a distância entre 0 e 1 e por os números inteiros da seguinte maneira:
Ao observar a reta numerada notamos que a ordem que os números inteiros obedecem é crescente da esquerda para a direita, razão pela qual indicamos com uma seta para a direita. Esta consideração é adotada por convenção, o que nos permite pensar que se fosse adotada outra forma, não haveria qualquer problema.
Baseando-se ainda na reta numerada podemos afirmar que todos os números inteiros possuem um e somente um antecessor e também um e somente um sucessor.
Ordem no conjunto Z
O sucessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua direita na reta (em Z) e o antecessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua esquerda na reta (em Z).
Exemplos:
3 é sucessor de 2;
-5 é antecessor de -4
0 é antecessor de 1
-1 é sucessor de -2
Simetria no conjunto Z
Todo número inteiro z exceto o zero, possui um elemento denominado simétrico ou oposto -z e ele é caracterizado pelo fato geométrico que tanto z como -z estão à mesma distância da origem do conjunto Z que é 0.
Exemplos:
O oposto de ganhar é perder;
O oposto de perder é ganhar;
O oposto de 3 é -3
O oposto de 5 é -5
Módulo de um número Inteiro
O módulo ou valor absoluto de um número Inteiro é definido como sendo o maior valor entre um número e seu elemento oposto e pode ser denotado pelo uso de duas barras verticais | |. Assim:
|x| = max{-x,x}
Exemplos:
|0| = 0
|8| = 8
|-6| = 6
Observação: Do ponto de vista geométrico, o módulo de um número inteiro corresponde à distância deste número até a origem (zero) na reta numérica inteira.
A soma (adição) de números inteiros
Para melhor entendimento desta operação, associaremos aos números inteiros positivos a idéia de ganhar e aos números inteiros negativos a idéia de perder.
ganhar 3 + ganhar 4 = ganhar 7
(+3) + (+4) = (+7)
perder 3 + perder 4 = perder 7
(-3) + (-4) = (-7)
ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3
(+8) + (-5) = (+3)
perder 8 + ganhar 5 = perder 3
(-8) + (+5) = (-3)
Atenção: O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado, mas o sinal (-) antes do número negativo nunca pode ser dispensado.
Exemplos:
-3 + 3 = 0
6 + 3 = 9
5 - 1 = 4
Propriedades da adição de números inteiros
Fecho: O conjunto Z é fechado para a adição, isto é, a soma de dois números inteiros ainda é um número inteiro.
Associativa: Para todos a,b,c em Z:
a + ( b + c ) = ( a + b ) + c
2 + ( 3 + 7 ) = ( 2 + 3 ) + 7
Comutativa: Para todos a,b em Z:
a + b = b + a
3 + 7 = 7 + 3
Elemento neutro: Existe 0 em Z, que adicionado a todo z em Z, proporciona o próprio z, isto é:
z + 0 = z
7 + 0 = 7
Elemento oposto: Para todo z em Z, existe (-z) em Z, tal que
z + (-z) = 0
9 + (-9) = 0
A Multiplicação (produto) de números inteiros
A multiplicação funciona como uma forma simplificada de uma adição quando os números são repetidos. Poderiamos analisar tal situação como o fato de estarmos ganhando repetidamente alguma quantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto por 30 vezes consectivas, significa ganhar 30 objetos e esta repetição pode ser indicada por um x, isto é:
1 + 1 + 1 + ... + 1 + 1 = 30 x 1 = 30
Se trocarmos o número 1 pelo número 2, teremos:
2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = 30 x 2 = 60
Se trocarmos o número 2 pelo número -2, teremos:
(-2) + (-2) + ... + (-2) = 30 x (-2) = -60
Observamos então que a multiplicação é um caso particular da adição onde os valores são repetidos.
Na multiplicação o produto dos números a e b, pode ser indicado por axb, a.b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras.
Para realizar a multiplicação de números inteiros, devemos obedecer à seguinte regra de sinais:
(+1) x (+1) = (+1)
(+1) x (-1) = (-1)
(-1) x (+1) = (-1)
(-1) x (-1) = (+1)
Podemos assim concluir que:
Sinais iguais produto de inteiros é positivo.
Sinais diferentes produto de inteiros é negativo.
Propriedades da multiplicação de números inteiros
Fecho: O conjunto Z é fechado para a multiplicação, isto é, a multiplicação de dois números inteiros ainda é um número inteiro.
Associativa: Para todos a,b,c em Z:
a x ( b x c ) = ( a x b ) x c
2 x ( 3 x 7 ) = ( 2 x 3 ) x 7
Comutativa: Para todos a,b em Z:
a x b = b x a
3 x 7 = 7 x 3
Elemento neutro: Existe 1 em Z, que multiplicado por todo z em Z, proporciona o próprio z, isto é:
z x 1 = z
7 x 1 = 7
Elemento inverso: Para todo z em Z, z diferente de zero, existe z-1=1/z em Z, tal que
z x z-1 = z x (1/z) = 1
9 x 9-1 = 9 x (1/9) = 1
Propriedade mista (distributiva)
Distributiva: Para todos a,b,c em Z:
a x ( b + c ) = ( a x b ) + ( a x c )
3 x ( 4 + 5 ) = ( 3 x 4 ) + ( 3 x 5 )
Potenciação de números inteiros
Definição: A potência an do número inteiro a, é definida como um produto de n fatores iguais. O número a é denominado a base e o número n é o expoente.
an = a x a x a x a x ... x a
n vezes
Exemplos:
23 = 2 x 2 x 2 = 8
(-2)3 = (-2) x (-2) x (-2) = (-8)
(-5)2 = (-5) x (-5) = 25
(+5)2 = (+5) x (+5) = 25
com os exemplos acima, podemos observar que a potência de todo número inteiro elevado a um expoente par é um número positivo e a potência de todo número inteiro elevado a um expoente ímpar é um número que conserva o seu sinal.
Observação: Quando o expoente é n=2, a potência a2 pode ser lida como: "a elevado ao quadrado" e quando o expoente é n=3, a potência a3 pode ser lida como: "a elevado ao cubo". Tais leituras são provenientes do fato que área do quadrado pode ser obtida por A=a2 onde a é o lado e o volume do cubo pode ser obtido por V=a3 onde a é o lado do cubo.
Radiciação de números inteiros
Definição: A raiz n-ésima (de ordem n) de um número inteiro a é a operação que resulta em um outro número inteiro não negativo b que elevado à potência n fornece o número a. O número n é o índice da raiz enquanto que o número a é o radicando (que fica sob o sinal do radical). Leia a observação seguinte para entender as razões pelas quais não uso o símbolo de radical neste trabalho.
Observação: Por deficiência da própria linguagem HTML, que até hoje não implementou o sinal de raiz n-ésima, usarei aqui Rn[a] para indicar a raiz n-ésima de a. Quando n=2, simplesmente indicarei a raiz de ordem 2 de um número inteiro a como R[a].
Dessa forma, b é a raiz n-ésima de a se, e somente se, a=bn, isto é:
b = Rn[a] <=> a = bn
Definição: A raiz quadrada (de ordem 2) de um número inteiro a é a operação que resulta em um outro número inteiro não negativo que elevado ao quadrado seja igual ao número a.
Observação importante: Não existe a raiz quadrada de um número inteiro negativo no conjunto dos números inteiros. A existência de um número cujo quadrado é igual a um número negativo só será estudada mais tarde no contexto dos números complexos.
Erro muito comum: Freqüentemente lemos em alguns materiais didáticos e até mesmo ocorre em algumas aulas aparecimento de:
R[9] = ±3
mas isto está errado. O certo é:
R[9] = +3
Observamos que não existe um número inteiro não negativo que multiplicado por ele mesmo resulte em um número negativo.
Definição: A raiz cúbica (de ordem 3) de um número inteiro a é a operação que resulta em um outro número inteiro que elevado ao cubo seja igual ao número a. Aqui não restringimos os nossos cálculos somente aos números não negativos.
Exemplos:
R3[8] = 2, pois 23 = 8.
R3[-8] = -2, pois (-2)3 = -8.
R3[27] = 3, pois 33 = 27.
R3[-27] = -3, pois (-3)3 = -27.
Observação: Obedecendo à regra dos sinais para a multiplicação de números inteiros, concluímos que:
Se o índice da raiz for par, não existe raiz de número inteiro negativo.
Se o índice da raiz for ímpar, é possível extrair a raiz de qualquer número inteiro.
Na época do Renascimento, os matemáticos sentiram cada vez mais a necessidade de um novo tipo de número, que pudesse ser a solução de equações tão simples como:
x + 2 = 0, 2x + 10 = 0, 4y + 4 = 0
As Ciências precisavam de símbolos para representar temperaturas acima e abaixo de 0º C, por exemplo. Os astrônomos e físicos estavam procurando uma linguagem matemática capaz de expressar o movimento de atração entre dois corpos. Quando um corpo age com uma força sobre outro corpo, este reage com uma força de mesma intensidade e sentido contrário.
Mas a tarefa não ficava somente em criar um novo número, era preciso encontrar um símbolo que permitisse operar com esse número criado, de modo prático e eficiente.
Sobre a origem dos sinais
A idéia sobre os sinais vem dos comerciantes da época. Os matemáticos encontraram a melhor notação para expressar esse novo tipo de número. Veja como faziam tais comerciantes:
Suponha que um deles tivesse em seu armazém duas sacas de feijão com 10 kg cada. Se esse comerciante vendesse num dia 8 Kg de feijão, ele escrevia o número 8 com um traço (semelhante ao atual sinal de menos) na frente para não se esquecer de que no saco faltava 8 Kg de feijão.
Mas se ele resolvesse despejar no outro saco os 2 Kg que restaram, escrevia o número 2 com dois traços cruzados (semelhante ao atual sinal de mais) na frente, para se lembrar de que no saco havia 2 Kg de feijão a mais que a quantidade inicial.
Com essa nova notação,os matemáticos poderiam, não somente indicar as quantidades, mas também representar o ganho ou a perda dessas quantidades, através de números, com sinal positivo ou negativo.
O conjunto Z dos Números Inteiros
Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos números naturais, o conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto é denotado pela letra Z (Zahlen=número em alemão). Este conjunto pode ser escrito por:
Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...}
Exemplos de subconjuntos do conjunto Z:
Conjunto dos números inteiros exceto o número zero:
Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...}
Conjunto dos números inteiros não negativos:
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4,...}
Conjunto dos números inteiros não positivos:
Z- = {..., -4, -3, -2, -1, 0}
Observação: Não existe padronização para estas notações.
Reta Numerada
Uma forma de representar geometricamente o conjunto Z é construir uma reta numerada, considerar o número 0 como a origem e o número 1 em algum lugar, tomar a unidade de medida como a distância entre 0 e 1 e por os números inteiros da seguinte maneira:
Ao observar a reta numerada notamos que a ordem que os números inteiros obedecem é crescente da esquerda para a direita, razão pela qual indicamos com uma seta para a direita. Esta consideração é adotada por convenção, o que nos permite pensar que se fosse adotada outra forma, não haveria qualquer problema.
Baseando-se ainda na reta numerada podemos afirmar que todos os números inteiros possuem um e somente um antecessor e também um e somente um sucessor.
Ordem no conjunto Z
O sucessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua direita na reta (em Z) e o antecessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua esquerda na reta (em Z).
Exemplos:
3 é sucessor de 2;
-5 é antecessor de -4
0 é antecessor de 1
-1 é sucessor de -2
Simetria no conjunto Z
Todo número inteiro z exceto o zero, possui um elemento denominado simétrico ou oposto -z e ele é caracterizado pelo fato geométrico que tanto z como -z estão à mesma distância da origem do conjunto Z que é 0.
Exemplos:
O oposto de ganhar é perder;
O oposto de perder é ganhar;
O oposto de 3 é -3
O oposto de 5 é -5
Módulo de um número Inteiro
O módulo ou valor absoluto de um número Inteiro é definido como sendo o maior valor entre um número e seu elemento oposto e pode ser denotado pelo uso de duas barras verticais | |. Assim:
|x| = max{-x,x}
Exemplos:
|0| = 0
|8| = 8
|-6| = 6
Observação: Do ponto de vista geométrico, o módulo de um número inteiro corresponde à distância deste número até a origem (zero) na reta numérica inteira.
A soma (adição) de números inteiros
Para melhor entendimento desta operação, associaremos aos números inteiros positivos a idéia de ganhar e aos números inteiros negativos a idéia de perder.
ganhar 3 + ganhar 4 = ganhar 7
(+3) + (+4) = (+7)
perder 3 + perder 4 = perder 7
(-3) + (-4) = (-7)
ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3
(+8) + (-5) = (+3)
perder 8 + ganhar 5 = perder 3
(-8) + (+5) = (-3)
Atenção: O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado, mas o sinal (-) antes do número negativo nunca pode ser dispensado.
Exemplos:
-3 + 3 = 0
6 + 3 = 9
5 - 1 = 4
Propriedades da adição de números inteiros
Fecho: O conjunto Z é fechado para a adição, isto é, a soma de dois números inteiros ainda é um número inteiro.
Associativa: Para todos a,b,c em Z:
a + ( b + c ) = ( a + b ) + c
2 + ( 3 + 7 ) = ( 2 + 3 ) + 7
Comutativa: Para todos a,b em Z:
a + b = b + a
3 + 7 = 7 + 3
Elemento neutro: Existe 0 em Z, que adicionado a todo z em Z, proporciona o próprio z, isto é:
z + 0 = z
7 + 0 = 7
Elemento oposto: Para todo z em Z, existe (-z) em Z, tal que
z + (-z) = 0
9 + (-9) = 0
A Multiplicação (produto) de números inteiros
A multiplicação funciona como uma forma simplificada de uma adição quando os números são repetidos. Poderiamos analisar tal situação como o fato de estarmos ganhando repetidamente alguma quantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto por 30 vezes consectivas, significa ganhar 30 objetos e esta repetição pode ser indicada por um x, isto é:
1 + 1 + 1 + ... + 1 + 1 = 30 x 1 = 30
Se trocarmos o número 1 pelo número 2, teremos:
2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = 30 x 2 = 60
Se trocarmos o número 2 pelo número -2, teremos:
(-2) + (-2) + ... + (-2) = 30 x (-2) = -60
Observamos então que a multiplicação é um caso particular da adição onde os valores são repetidos.
Na multiplicação o produto dos números a e b, pode ser indicado por axb, a.b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras.
Para realizar a multiplicação de números inteiros, devemos obedecer à seguinte regra de sinais:
(+1) x (+1) = (+1)
(+1) x (-1) = (-1)
(-1) x (+1) = (-1)
(-1) x (-1) = (+1)
Podemos assim concluir que:
Sinais iguais produto de inteiros é positivo.
Sinais diferentes produto de inteiros é negativo.
Propriedades da multiplicação de números inteiros
Fecho: O conjunto Z é fechado para a multiplicação, isto é, a multiplicação de dois números inteiros ainda é um número inteiro.
Associativa: Para todos a,b,c em Z:
a x ( b x c ) = ( a x b ) x c
2 x ( 3 x 7 ) = ( 2 x 3 ) x 7
Comutativa: Para todos a,b em Z:
a x b = b x a
3 x 7 = 7 x 3
Elemento neutro: Existe 1 em Z, que multiplicado por todo z em Z, proporciona o próprio z, isto é:
z x 1 = z
7 x 1 = 7
Elemento inverso: Para todo z em Z, z diferente de zero, existe z-1=1/z em Z, tal que
z x z-1 = z x (1/z) = 1
9 x 9-1 = 9 x (1/9) = 1
Propriedade mista (distributiva)
Distributiva: Para todos a,b,c em Z:
a x ( b + c ) = ( a x b ) + ( a x c )
3 x ( 4 + 5 ) = ( 3 x 4 ) + ( 3 x 5 )
Potenciação de números inteiros
Definição: A potência an do número inteiro a, é definida como um produto de n fatores iguais. O número a é denominado a base e o número n é o expoente.
an = a x a x a x a x ... x a
n vezes
Exemplos:
23 = 2 x 2 x 2 = 8
(-2)3 = (-2) x (-2) x (-2) = (-8)
(-5)2 = (-5) x (-5) = 25
(+5)2 = (+5) x (+5) = 25
com os exemplos acima, podemos observar que a potência de todo número inteiro elevado a um expoente par é um número positivo e a potência de todo número inteiro elevado a um expoente ímpar é um número que conserva o seu sinal.
Observação: Quando o expoente é n=2, a potência a2 pode ser lida como: "a elevado ao quadrado" e quando o expoente é n=3, a potência a3 pode ser lida como: "a elevado ao cubo". Tais leituras são provenientes do fato que área do quadrado pode ser obtida por A=a2 onde a é o lado e o volume do cubo pode ser obtido por V=a3 onde a é o lado do cubo.
Radiciação de números inteiros
Definição: A raiz n-ésima (de ordem n) de um número inteiro a é a operação que resulta em um outro número inteiro não negativo b que elevado à potência n fornece o número a. O número n é o índice da raiz enquanto que o número a é o radicando (que fica sob o sinal do radical). Leia a observação seguinte para entender as razões pelas quais não uso o símbolo de radical neste trabalho.
Observação: Por deficiência da própria linguagem HTML, que até hoje não implementou o sinal de raiz n-ésima, usarei aqui Rn[a] para indicar a raiz n-ésima de a. Quando n=2, simplesmente indicarei a raiz de ordem 2 de um número inteiro a como R[a].
Dessa forma, b é a raiz n-ésima de a se, e somente se, a=bn, isto é:
b = Rn[a] <=> a = bn
Definição: A raiz quadrada (de ordem 2) de um número inteiro a é a operação que resulta em um outro número inteiro não negativo que elevado ao quadrado seja igual ao número a.
Observação importante: Não existe a raiz quadrada de um número inteiro negativo no conjunto dos números inteiros. A existência de um número cujo quadrado é igual a um número negativo só será estudada mais tarde no contexto dos números complexos.
Erro muito comum: Freqüentemente lemos em alguns materiais didáticos e até mesmo ocorre em algumas aulas aparecimento de:
R[9] = ±3
mas isto está errado. O certo é:
R[9] = +3
Observamos que não existe um número inteiro não negativo que multiplicado por ele mesmo resulte em um número negativo.
Definição: A raiz cúbica (de ordem 3) de um número inteiro a é a operação que resulta em um outro número inteiro que elevado ao cubo seja igual ao número a. Aqui não restringimos os nossos cálculos somente aos números não negativos.
Exemplos:
R3[8] = 2, pois 23 = 8.
R3[-8] = -2, pois (-2)3 = -8.
R3[27] = 3, pois 33 = 27.
R3[-27] = -3, pois (-3)3 = -27.
Observação: Obedecendo à regra dos sinais para a multiplicação de números inteiros, concluímos que:
Se o índice da raiz for par, não existe raiz de número inteiro negativo.
Se o índice da raiz for ímpar, é possível extrair a raiz de qualquer número inteiro.
terça-feira, 19 de janeiro de 2010
Numeros
Número, palavra ou símbolo utilizado para designar quantidades ou entidades que se comportem como quantidades.
NÚMEROS REAIS
Números racionais: os inteiros e quebrados positivos e negativos junto com o número zero formam o sistema dos números racionais. Qualquer número racional pode ser representado como um decimal periódico e vice-versa.
Números irracionais: números reais que não podem ser representados como fração ou decimal periódico. Por exemplo, Ã = 1,4142135623... e ð = 3,1415926535... são números irracionais e suas expansões decimais são necessariamente infinitas e não periódicas.
O conjunto dos números racionais junto com o dos irracionais forma o conjunto dos números reais.
NÚMEROS IMAGINÁRIOS
Os números imaginários representam raízes quadradas de números negativos. O símbolo i representa a unidade dos números imaginários e equivale a Á. Qualquer número imaginário pode ser escrito como ai, sendo a um número real.
NÚMEROS COMPLEXOS
Os números complexos resultam da combinação de números reais com imaginários. De forma geral, um número complexo é representado como a + bi, sendo a e b números reais.
Número Complexo, expressão da forma a + bi, sendo a e b números reais e sendo i Á. Estes números podem ser somados, subtraídos, multiplicados e divididos, formando um corpo.
Em um número complexo a + bi, a é conhecido como a parte real e b como a parte imaginária. A adição de números complexos realiza-se somando as partes reais e imaginárias separadamente: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i.
A multiplicação de números complexos baseia-se em que i · i = -1 e em concluir que esta operação é distributiva quanto à adição: (a + bi)·(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc) i.
Os números complexos podem ser representados como pontos de um plano no chamado diagrama de Argand. Dado que os pontos do plano podem ser definidos em função de suas coordenadas polares r e è, todo número complexo z pode ser escrito da forma z = r (cos è + i sen è), sendo r o módulo de z ou a distância do ponto à origem e è é o argumento de z, ou ângulo entre z e o eixo das abscissas x.
Corpo (matemática), conjunto de elementos com os quais se pode realizar operações que satisfazem certas propriedades. A teoria matemática dos corpos é uma das principais ferramentas para estudar as propriedades fundamentais dos números.
Formalmente, um corpo é um conjunto F, junto com duas operações, Å e Ä, que satisfazem certas propriedades. Os símbolos Å e Ä podem indicar a adição e a multiplicação comuns ou outro par qualquer de operações semelhantes. As propriedades que o conjunto F tem que cumprir para ser um corpo são as seguintes: (1) A adição e a multiplicação devem ser uniformes e estar bem definidas: a Å b e a Ä b são elementos únicos de F para qualquer a e b de F (2) Para qualquer par de elementos de F, cumpre-se a propriedade comutativa da adição:
a Å b = b Å a (3) Para qualquer trio de elementos de
F, se cumprem as propriedades associativas da adição e da multiplicação:
(a Å b) Å c = a Å (b Å c) e (a Ä b) Ä c = a Ä (b Ä c)
(4) Existem os elementos neutros da adição e a multiplicação, que se representam como 0 e 1, sendo 0 ≠ 1, que cumprem: a Å 0 = a = 0 Å a e a Ä 1 = a = 1 Ä a para qualquer a de F
(5) Todo elemento a de F tem um elemento simétrico, -a, tal que: a Å (-a) = 0 = (-a) Å a
(6) Todo elemento a de F diferente de zero tem um elemento inverso, a-1, tal que: a Ä a-1 = 1 = a-1 Ä a
(7) A propriedade distributiva cumpre-se para todos os elementos de F: a Ä (b Å c) = a Ä b Å a Ä c
A subtração se define utilizando a quinta propriedade, isto é, a - b = a Å (-b).
A divisão se define utilizando a sexta propriedade, isto é, a / b = a Ä b-1, para todo b diferente de zero.
Sistema de coordenadas, sistema de identificação de elementos em um conjunto de pontos, marcando-os com números. Estes números são chamados de coordenadas e indicam a posição de um ponto dentro do conjunto.
As coordenadas cartesianas são as mais usadas. Em duas dimensões, são formadas por um par de retas que se cortam em ângulo reto. Cada reta é chamada de eixo e desenhada como a horizontal (eixo x) e a vertical (eixo y). Em três dimensões, acrescenta-se o eixo z, perpendicular aos outros.
Em coordenadas polares, a cada ponto do plano são atribuídas as coordenadas (r,è) com relação a uma reta fixa no plano, denominada eixo polar, e a um ponto desta linha chamado de origem. Para um ponto qualquer do plano, a coordenada r é a distância do ponto até a origem, e a è é o ângulo entre o eixo polar e a linha que une a origem e o ponto.
NÚMEROS REAIS
Números racionais: os inteiros e quebrados positivos e negativos junto com o número zero formam o sistema dos números racionais. Qualquer número racional pode ser representado como um decimal periódico e vice-versa.
Números irracionais: números reais que não podem ser representados como fração ou decimal periódico. Por exemplo, Ã = 1,4142135623... e ð = 3,1415926535... são números irracionais e suas expansões decimais são necessariamente infinitas e não periódicas.
O conjunto dos números racionais junto com o dos irracionais forma o conjunto dos números reais.
NÚMEROS IMAGINÁRIOS
Os números imaginários representam raízes quadradas de números negativos. O símbolo i representa a unidade dos números imaginários e equivale a Á. Qualquer número imaginário pode ser escrito como ai, sendo a um número real.
NÚMEROS COMPLEXOS
Os números complexos resultam da combinação de números reais com imaginários. De forma geral, um número complexo é representado como a + bi, sendo a e b números reais.
Número Complexo, expressão da forma a + bi, sendo a e b números reais e sendo i Á. Estes números podem ser somados, subtraídos, multiplicados e divididos, formando um corpo.
Em um número complexo a + bi, a é conhecido como a parte real e b como a parte imaginária. A adição de números complexos realiza-se somando as partes reais e imaginárias separadamente: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i.
A multiplicação de números complexos baseia-se em que i · i = -1 e em concluir que esta operação é distributiva quanto à adição: (a + bi)·(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc) i.
Os números complexos podem ser representados como pontos de um plano no chamado diagrama de Argand. Dado que os pontos do plano podem ser definidos em função de suas coordenadas polares r e è, todo número complexo z pode ser escrito da forma z = r (cos è + i sen è), sendo r o módulo de z ou a distância do ponto à origem e è é o argumento de z, ou ângulo entre z e o eixo das abscissas x.
Corpo (matemática), conjunto de elementos com os quais se pode realizar operações que satisfazem certas propriedades. A teoria matemática dos corpos é uma das principais ferramentas para estudar as propriedades fundamentais dos números.
Formalmente, um corpo é um conjunto F, junto com duas operações, Å e Ä, que satisfazem certas propriedades. Os símbolos Å e Ä podem indicar a adição e a multiplicação comuns ou outro par qualquer de operações semelhantes. As propriedades que o conjunto F tem que cumprir para ser um corpo são as seguintes: (1) A adição e a multiplicação devem ser uniformes e estar bem definidas: a Å b e a Ä b são elementos únicos de F para qualquer a e b de F (2) Para qualquer par de elementos de F, cumpre-se a propriedade comutativa da adição:
a Å b = b Å a (3) Para qualquer trio de elementos de
F, se cumprem as propriedades associativas da adição e da multiplicação:
(a Å b) Å c = a Å (b Å c) e (a Ä b) Ä c = a Ä (b Ä c)
(4) Existem os elementos neutros da adição e a multiplicação, que se representam como 0 e 1, sendo 0 ≠ 1, que cumprem: a Å 0 = a = 0 Å a e a Ä 1 = a = 1 Ä a para qualquer a de F
(5) Todo elemento a de F tem um elemento simétrico, -a, tal que: a Å (-a) = 0 = (-a) Å a
(6) Todo elemento a de F diferente de zero tem um elemento inverso, a-1, tal que: a Ä a-1 = 1 = a-1 Ä a
(7) A propriedade distributiva cumpre-se para todos os elementos de F: a Ä (b Å c) = a Ä b Å a Ä c
A subtração se define utilizando a quinta propriedade, isto é, a - b = a Å (-b).
A divisão se define utilizando a sexta propriedade, isto é, a / b = a Ä b-1, para todo b diferente de zero.
Sistema de coordenadas, sistema de identificação de elementos em um conjunto de pontos, marcando-os com números. Estes números são chamados de coordenadas e indicam a posição de um ponto dentro do conjunto.
As coordenadas cartesianas são as mais usadas. Em duas dimensões, são formadas por um par de retas que se cortam em ângulo reto. Cada reta é chamada de eixo e desenhada como a horizontal (eixo x) e a vertical (eixo y). Em três dimensões, acrescenta-se o eixo z, perpendicular aos outros.
Em coordenadas polares, a cada ponto do plano são atribuídas as coordenadas (r,è) com relação a uma reta fixa no plano, denominada eixo polar, e a um ponto desta linha chamado de origem. Para um ponto qualquer do plano, a coordenada r é a distância do ponto até a origem, e a è é o ângulo entre o eixo polar e a linha que une a origem e o ponto.
segunda-feira, 18 de janeiro de 2010
PI
diâmetro obtemos uma constante: o número PI; representado pela letra grega p. Descrevemos neste artigo definição, história e porque este número aparece em fórmulas como o perímetro da circunferência e a área de um círculo.
O QUE É "PI" ???
"PI" é um número irracional, que não pode ser escrito como um número finito ou repetindo decimais. O valor aproximado é 3,1416 (lembrando que este não é seu valor exato, ele continua.).
Os egípcios sabiam trabalhar muito bem com as razões. Descobriram logo que a razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro é a mesma para qualquer circunferência.
Por definição, " Pi " é a razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro. " PI " será sempre o mesmo valor não importando o tamanho do círculo.
Matematicamente, escrevemos o número " PI " (p) como: comprimento da circunferência / diâmetro.
HISTÓRIA:
Os primeiros vestígios de uma estimativa de p , encontram-se do Papiro de Rhind escrito, aproximadamente, em 1700 a.C. , onde se lê : " a área de um circulo é igual a de um quadrado cujo lado é o diâmetro de círculo diminuído de sua nona parte".
Desde muito antes de Cristo, sabe-se que a razão C / D é constante. A procura desta constante foi tarefa árdua de grandes matemáticos ao longo da história.
Os gregos antigos já sabiam que a razão entre a circunferência (comprimento) de um círculo com o seu diâmetro resultava em uma constante ( que hoje chamamos de PI).
Por volta de 200 a.C. , o matemático Arquimedes de Siracusa aproximou PI inscrevendo polígonos em círculos e levando a relação da circunferência do polígono para o raio do círculo ( que também é o raio do polígono). Quanto mais lados no polígono, mais precisa a aproximação, foi a partir desta conclusão que Arquimedes escreveu um livro " A Medida de um Círculo". Neste livro, declara que PI é um número entre 3 10/71 e 3 1/7.O perímetro de uma roda de diâmetro 4 pés é dado por Vitruvius como sendo 121/2 pés, o que dá à PI o valor de 3 . 1/8. Essa aproximação não é tão boa quanto a de Arquimedes, cuja a obra Vitruvius provavelmente pouco conhecida, mas é de grau de precisão aceitável para as aplicações romanas.
Apolônio escreveu uma obra (agora perdida) chamada "Resultado Rápido" que pareceu ter tratado de processos rápidos de calcular p . Nela, diz-se que o autor obteve uma aproximação de p melhor do que a dada por Arquimedes. Provavelmente o valor que conhecemos com 3,1416. Não sabemos como foi obtido esse valor, que apareceu depois de Ptolomeu e na Índia. Na verdade, há mais perguntas não respondidas sobre Apolônio e sua obra do que sobre Euclides e Arquimedes, pois a maior parte de suas obras desapareceram.
Antes do tempo de Viéte havia já muitas aproximações boas e más para a razão da circunferência para o diâmetro de um círculo, tais como a de V.Otho e A.Anthonisk que, independentemente, redescobriram (por volta de 1573) a aproximação 355 / 113 , subtraindo numeradores e denominadores dos valores de Ptolomeu e Arquimedes, 377 / 120 e 22 / 7 respectivamente. Viéte calculou p corretamente a dez algarismos significativos, aparentemente sem conhecer a aproximação ainda melhor de Al- Kashi.
O uso do valor 3 para p na matemática chinesa antiga não chega a ser um argumento para afirmar dependência com relação à Mesopotâmia, especialmente porque a busca de valores mais precisos, desde os primeiros séculos da era cristã, era mais persistente na China que nos demais lugares. Valores como 3.1547 , , 92 / 29 e 142 / 45 são encontrados; e no terceiro século Liu Hui, um importante comendador do "Nove Capítulos", obteve 3.14 usando um polígono de 96 lados e a aproximação 3.14159 considerando um polígono de 3072 lados.
A fascinação dos chineses com o valor de p atingiu o ápice na obra de Tsu Chúng-Chisch (430-501). Um de seus valores era o familiar valor arquimediano 22 / 7, descrito por Tsu como "inexato", seu valor "preciso" era 355 / 113.
O inglês Willian Shanks calculou p com 707 algarismos exatos em 1873. Em 1947 descobriu-se que o cálculo de Shanks errava no 527º algarismo ( e portanto nos seguintes).
Com auxílio de uma pequena máquina manual, o valor de p foi, então calculado com 808 algarismos decimais exatos.
Depois vieram os computadores. Com seu auxílio, em 1967, na França, calculou-se p e, 500.000 algarismos decimais exatos e em 1984, nos Estados Unidos, com mais de dez milhões (precisamente 10.013.395) algarismos exatos.
Os motivos que levam as pessoas a se esforçarem tanto para calcular p com centenas ou milhares de algarismos decimais seriam: o "Livro dos Recordes de Guines"; e testes em computadores ( fazer as máquinas calcularem e comparar resultados).
POR QUE TAL NÚMERO É REPRESENTADO PELA LETRA GREGA p , QUE É EQUIVALENTE AO NOSSO " P " ?
Nos tempos antigos não havia uma notação padronizada para representar a razão entre a circunferência e o diâmetro. Euler, a princípio, usava ‘p’ ou ‘c’ mas, a partir de 1737, passou a adoptar sistematicamente o símbolo p . Desde então, todo o mundo o seguiu. Na verdade, alguns anos antes, o matemático inglês Willian Jones (1706) propusera a mesma notação, ou seja, utilizou a letra grega p para o número PI, sem muito êxito. Questão de prestígio.
POR QUE O CÍRCULO É DEFINIDO POR 360º ?
Grau é uma unidade de medida angular. Por convenção, a idéia de grau está diretamente relacionada como uma unidade que mede ângulos, assim como o metro mede duração, grama mede massa, segundo mede tempo,...
Além do grau, temos outra unidade para medir arcos e ângulos que é o radiano.
Considerando um arco , contido numa circunferência de raio R, tal que o comprimento do arco seja igual a R..
Um radiano ( 1 rad. ) é um arco cujo comprimento é igual ao do raio da circunferência que o contém.
O angulo AOB mede 1 rad. se, e somente se, determine numa circunferência de centro O um arco de 1 rad.
SE A MEDIDA DA CIRCUNFERÊNCIA É 360º. QUAL SERÁ A MEDIDA EM RADIANOS?
O comprimento de uma circunferência de raio R, numa certa unidade U, é dado por 2p R, pois se .
Temos 2R igual ao diâmetro, aplicando meios por extremos obteremos: C= 2p R ou seja, o comprimento da circunferência.
Logo, sendo X a medida da circunferência em radianos, temos:
Rad. U
1 ____________ R
X ____________ 2p R
\ X= rad.
X = 2p rad. .......... medida da circunferência em radianos.
Como definição temos que uma medida a graus é equivalente a outra medida b radianos se, e somente se:
a º / 360º = b rad. / 2p rad.
( se forem medidas do mesmo arco)
Esta equivalência nos permite transformar unidades de graus para radianos e vice-versa.
FACILITANDO CÁLCULOS
O número p surge inesperadamente em várias situações. Por exemplo, Leibniz notou que 1 – 1 / 3 + 1 / 5 – 1 / 7 + ... = p/ 4 e Euler provou que a soma dos inversos dos quadrados de todos os números naturais é igual a p2 / 6. A área da região plana compreendida entre o eixo das abcissas e o gráfico da função é igual a . Inúmeros outros exemplos poderiam ser mencionados, como o seguinte: a probabilidade para que dois número naturais, escolhidos ao acaso sejam primos entre si é de 6/p2.
Como podemos observar o número p serve para tornar mais acessíveis alguns cálculos.
Um número fascinante
PI, o valor da razão entre a circunferência de qualquer círculo e seu diâmetro, é a mais antiga constante matemática que se conhece. E' também um dos poucos objetos matemáticos que, ao ser mencionado, produz reconhecimento e ate mesmo interesse em praticamente qualquer pessoa alfabetizada.
Apesar da antiguidade do nosso conhecimento do PI, ele ainda é fonte de pesquisas em diversas áreas. Com efeito, dentre os objetos matemáticos estudados pelos antigos gregos, há mais de 2 000 anos, Pi é um dos poucos que ainda continua sendo pesquisado: suas propriedades continuam a ser investigadas e procura-se inventar novos e mais poderosos métodos para calcular seu valor, sendo que a divulgação desses resultados constitui uma das raras ocasiões em que vemos a Matemática atingindo os meios de comunicação de massa.
Como uma conseqüência dessa situação, e como uma outra maneira de demonstrar o interesse e fascinação despertados pelo PI, os editores estão sempre a publicar livros dedicados inteiramente ao tema e dirigidos tanto ao grande público como a professores e pesquisadores. Entre os mais recentes, podemos destacar:
· Lennart Berggren (ed) - Pi: A Source Book
Springer Verlag, 2nd ed., NYork, 2000
( nada menos do que 736 paginas! )
· J. P. Delahaye - Le fascinant nombre Pi
Editions Belin / Pour La Science, Paris, 1997.
· J. Arndt - PI, unleashed.
Springer Verlag, NYork, 2000.
Os vários tipos de PI
Em verdade, na Geometria Euclidiana, temos quatro constantes que poderiam ser chamadas de PI:
- PI de circunferências: a constante de proporcionalidade na relação entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro
- PI de áreas de círculos: a constante de proporcionalidade na relação entre a área de um círculo e o quadrado de seu diâmetro
- PI de áreas de esferas: a constante de proporcionalidade na relação entre a área de uma esfera e o quadrado de seu diâmetro
- PI de volumes de esferas: a constante de proporcionalidade na relação entre o volume de uma esfera e o cubo de seu diâmetro
Usando as fórmulas clássicas da Geometria, fica muito fácil expressarmos qualquer uma dessas constantes de proporcionalidade em termos das demais. Por questão de tradição, prefere-se trabalhar exclusivamente com o PI da circunferência de círculos, o qual é denotado internacionalmente pela letra pi minúsculo, a letra inicial da palavra grega peripheria que significa perímetro ou circunferência ( essa notação surgiu no início do sec. 1700 e foi adotada e popularizada pelo importante livro Análise Infinitesimal, escrito por Euler c. 1750 ).
A descoberta do PI
Muitas pessoas acham que precisamos ter o valor do PI para calcular circunferência de círculos. Um exemplo clássico mostrando que isso NAO e' verdade e' o cálculo da circunferência da Terra por Erathostenes c. 250 AC. Ele mediu um arco de meridiano terrestre de 5000 estádios e, usando um instrumento de forma semi-esférica ( chamado skaphe ), verificou que esse arco de meridiano era proporcional a um arco de meridiano da skaphe, o qual media 1/50 do meridiano da esfera desse instrumento. Conseqüentemente, concluiu que o meridiano terrestre e' 50*5000 = 250000 estádios. Ou seja, em lugar nenhum precisou saber o valor do PI!
Esse exemplo, e outros que poderíamos mencionar, mostram que é bastante surpreendente que a quase totalidade das pessoas ache que PI foi descoberto ao se relacionar circunferências com diâmetros dos respectivos círculos. Embora a definição usual do PI baseie-se na constância da razão circunferência : diâmetro, muito provavelmente não foi essa a origem do PI. Com efeito, é difícil imaginarmos situações práticas reais onde, numa civilização incipiente, alguém tenha precisado calcular a circunferência de um círculo de diâmetro conhecido, ou vice-versa. Muito mais naturais são problemas requerendo achar a área de um campo circular em termos do diâmetro ou mesmo em termos da circunferência. Em verdade, devia-se até questionar se a descoberta do PI realmente ocorreu no contexto de círculos, e não no de esferas.
Essa inquietação não é só nossa. O famoso historiador matemático Abraham Seidenberg gastou muitos anos de sua vida vasculhando museus e lendo trabalhos de antropologia, em busca dos mais antigos indícios de envolvimento humano com círculos, esferas e o PI. O resultado desses estudos foi resumido nos seus artigos The ritual origin of the circle and square, Archiv. Hist. Exact Sc. 25, (1981), e principalmente em On the volume of a sphere, Archiv. Hist. Exact Sc. 39, (1988). Sua conclusão foi que o cálculo do volume da esfera em termos de seu diâmetro remontaria a antes de 2 000AC, sendo anterior a matemática das grandes antigas civilizações mesopotâmicas, indiana, chinesa e egípcia. O historiador matemático B. van der Waerden identifica essa origem com o que chamo de Tradição Origem da Matemática e a localiza no Vale do Danúbio c. 4 000 AC. Segundo Seidenberg, nessa tradição também se teria reconhecido a igualdade da constante de proporcionalidade relacionando circunferência com diâmetro e área de círculo com quadrado do raio; ou seja, já nessa tradição, possivelmente lá por 3000 a 4000AC, se teria reconhecido que o "PI da circunferência" é igual ao "PI da área do círculo". Também é interessante observar que Seidenberg concluiu que a descoberta dessa igualdade usou métodos infinitesimais, ao estilo de Cavalieri.
É preciso que fique bem claro que o que o trabalho de Seidenberg achou na noite dos tempos, em bem remota antiguidade, foram apenas indícios indiretos de envolvimento com PI. Os mais antigos documentos concretos que temos e que tratam explícitamente de PI são tabletas mesopotâmicas de c. 2 000 AC, como a mostrada ao lado. Examinando a figura desenhada, fica fácil ver que a mesma corresponde a adotar a aproximação grosseira PI = 3, que é a mais comum das aproximações para PI que encontramos nos documentos mesopotâmicos.
Por que é tão difícil calcular o PI?
A principal razão é que PI não é uma fração. Com efeito, se PI pudesse ser escrito como uma fração m / n, seu cálculo poderia
· ou se resumir em buscar o valor de tais numeros inteiros m e n
· ou explorar a periodicidade de sua representação decimal
( por exemplo, se fosse verdade que PI = 22 / 7 = 3.142857 142857 142857 ..., então nos bastaria achar o valor da parte inteira, 3, e o bloco 142857 que se repete indefinidamente )
O fato de que, por mais de 2000 anos, ninguém tivesse conseguido explorar nenhuma das duas possibilidades acima é exatamente o que sugeriu que PI não deva ser uma fração. A verificação rigorosa desse fato, ou seja a demonstração da irracionalidade de PI, veio só com Lambert, em 1 761.
Em verdade, por si só, a irracionalidade de PI não seria suficiente para determinar a dificuldade de seu cálculo; com efeito, existem irracionais de representação decimal previsível, e então fáceis de calcular, como é o caso de 3.10110111011110... . PI é difícil de calcular porque é um irracional imprevisível: sua representação decimal não mostra nenhuma previsibilidade, sendo que acredita-se que seus algarismos se distribuam aleatoriamente.
O QUE É "PI" ???
"PI" é um número irracional, que não pode ser escrito como um número finito ou repetindo decimais. O valor aproximado é 3,1416 (lembrando que este não é seu valor exato, ele continua.).
Os egípcios sabiam trabalhar muito bem com as razões. Descobriram logo que a razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro é a mesma para qualquer circunferência.
Por definição, " Pi " é a razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro. " PI " será sempre o mesmo valor não importando o tamanho do círculo.
Matematicamente, escrevemos o número " PI " (p) como: comprimento da circunferência / diâmetro.
HISTÓRIA:
Os primeiros vestígios de uma estimativa de p , encontram-se do Papiro de Rhind escrito, aproximadamente, em 1700 a.C. , onde se lê : " a área de um circulo é igual a de um quadrado cujo lado é o diâmetro de círculo diminuído de sua nona parte".
Desde muito antes de Cristo, sabe-se que a razão C / D é constante. A procura desta constante foi tarefa árdua de grandes matemáticos ao longo da história.
Os gregos antigos já sabiam que a razão entre a circunferência (comprimento) de um círculo com o seu diâmetro resultava em uma constante ( que hoje chamamos de PI).
Por volta de 200 a.C. , o matemático Arquimedes de Siracusa aproximou PI inscrevendo polígonos em círculos e levando a relação da circunferência do polígono para o raio do círculo ( que também é o raio do polígono). Quanto mais lados no polígono, mais precisa a aproximação, foi a partir desta conclusão que Arquimedes escreveu um livro " A Medida de um Círculo". Neste livro, declara que PI é um número entre 3 10/71 e 3 1/7.O perímetro de uma roda de diâmetro 4 pés é dado por Vitruvius como sendo 121/2 pés, o que dá à PI o valor de 3 . 1/8. Essa aproximação não é tão boa quanto a de Arquimedes, cuja a obra Vitruvius provavelmente pouco conhecida, mas é de grau de precisão aceitável para as aplicações romanas.
Apolônio escreveu uma obra (agora perdida) chamada "Resultado Rápido" que pareceu ter tratado de processos rápidos de calcular p . Nela, diz-se que o autor obteve uma aproximação de p melhor do que a dada por Arquimedes. Provavelmente o valor que conhecemos com 3,1416. Não sabemos como foi obtido esse valor, que apareceu depois de Ptolomeu e na Índia. Na verdade, há mais perguntas não respondidas sobre Apolônio e sua obra do que sobre Euclides e Arquimedes, pois a maior parte de suas obras desapareceram.
Antes do tempo de Viéte havia já muitas aproximações boas e más para a razão da circunferência para o diâmetro de um círculo, tais como a de V.Otho e A.Anthonisk que, independentemente, redescobriram (por volta de 1573) a aproximação 355 / 113 , subtraindo numeradores e denominadores dos valores de Ptolomeu e Arquimedes, 377 / 120 e 22 / 7 respectivamente. Viéte calculou p corretamente a dez algarismos significativos, aparentemente sem conhecer a aproximação ainda melhor de Al- Kashi.
O uso do valor 3 para p na matemática chinesa antiga não chega a ser um argumento para afirmar dependência com relação à Mesopotâmia, especialmente porque a busca de valores mais precisos, desde os primeiros séculos da era cristã, era mais persistente na China que nos demais lugares. Valores como 3.1547 , , 92 / 29 e 142 / 45 são encontrados; e no terceiro século Liu Hui, um importante comendador do "Nove Capítulos", obteve 3.14 usando um polígono de 96 lados e a aproximação 3.14159 considerando um polígono de 3072 lados.
A fascinação dos chineses com o valor de p atingiu o ápice na obra de Tsu Chúng-Chisch (430-501). Um de seus valores era o familiar valor arquimediano 22 / 7, descrito por Tsu como "inexato", seu valor "preciso" era 355 / 113.
O inglês Willian Shanks calculou p com 707 algarismos exatos em 1873. Em 1947 descobriu-se que o cálculo de Shanks errava no 527º algarismo ( e portanto nos seguintes).
Com auxílio de uma pequena máquina manual, o valor de p foi, então calculado com 808 algarismos decimais exatos.
Depois vieram os computadores. Com seu auxílio, em 1967, na França, calculou-se p e, 500.000 algarismos decimais exatos e em 1984, nos Estados Unidos, com mais de dez milhões (precisamente 10.013.395) algarismos exatos.
Os motivos que levam as pessoas a se esforçarem tanto para calcular p com centenas ou milhares de algarismos decimais seriam: o "Livro dos Recordes de Guines"; e testes em computadores ( fazer as máquinas calcularem e comparar resultados).
POR QUE TAL NÚMERO É REPRESENTADO PELA LETRA GREGA p , QUE É EQUIVALENTE AO NOSSO " P " ?
Nos tempos antigos não havia uma notação padronizada para representar a razão entre a circunferência e o diâmetro. Euler, a princípio, usava ‘p’ ou ‘c’ mas, a partir de 1737, passou a adoptar sistematicamente o símbolo p . Desde então, todo o mundo o seguiu. Na verdade, alguns anos antes, o matemático inglês Willian Jones (1706) propusera a mesma notação, ou seja, utilizou a letra grega p para o número PI, sem muito êxito. Questão de prestígio.
POR QUE O CÍRCULO É DEFINIDO POR 360º ?
Grau é uma unidade de medida angular. Por convenção, a idéia de grau está diretamente relacionada como uma unidade que mede ângulos, assim como o metro mede duração, grama mede massa, segundo mede tempo,...
Além do grau, temos outra unidade para medir arcos e ângulos que é o radiano.
Considerando um arco , contido numa circunferência de raio R, tal que o comprimento do arco seja igual a R..
Um radiano ( 1 rad. ) é um arco cujo comprimento é igual ao do raio da circunferência que o contém.
O angulo AOB mede 1 rad. se, e somente se, determine numa circunferência de centro O um arco de 1 rad.
SE A MEDIDA DA CIRCUNFERÊNCIA É 360º. QUAL SERÁ A MEDIDA EM RADIANOS?
O comprimento de uma circunferência de raio R, numa certa unidade U, é dado por 2p R, pois se .
Temos 2R igual ao diâmetro, aplicando meios por extremos obteremos: C= 2p R ou seja, o comprimento da circunferência.
Logo, sendo X a medida da circunferência em radianos, temos:
Rad. U
1 ____________ R
X ____________ 2p R
\ X= rad.
X = 2p rad. .......... medida da circunferência em radianos.
Como definição temos que uma medida a graus é equivalente a outra medida b radianos se, e somente se:
a º / 360º = b rad. / 2p rad.
( se forem medidas do mesmo arco)
Esta equivalência nos permite transformar unidades de graus para radianos e vice-versa.
FACILITANDO CÁLCULOS
O número p surge inesperadamente em várias situações. Por exemplo, Leibniz notou que 1 – 1 / 3 + 1 / 5 – 1 / 7 + ... = p/ 4 e Euler provou que a soma dos inversos dos quadrados de todos os números naturais é igual a p2 / 6. A área da região plana compreendida entre o eixo das abcissas e o gráfico da função é igual a . Inúmeros outros exemplos poderiam ser mencionados, como o seguinte: a probabilidade para que dois número naturais, escolhidos ao acaso sejam primos entre si é de 6/p2.
Como podemos observar o número p serve para tornar mais acessíveis alguns cálculos.
Um número fascinante
PI, o valor da razão entre a circunferência de qualquer círculo e seu diâmetro, é a mais antiga constante matemática que se conhece. E' também um dos poucos objetos matemáticos que, ao ser mencionado, produz reconhecimento e ate mesmo interesse em praticamente qualquer pessoa alfabetizada.
Apesar da antiguidade do nosso conhecimento do PI, ele ainda é fonte de pesquisas em diversas áreas. Com efeito, dentre os objetos matemáticos estudados pelos antigos gregos, há mais de 2 000 anos, Pi é um dos poucos que ainda continua sendo pesquisado: suas propriedades continuam a ser investigadas e procura-se inventar novos e mais poderosos métodos para calcular seu valor, sendo que a divulgação desses resultados constitui uma das raras ocasiões em que vemos a Matemática atingindo os meios de comunicação de massa.
Como uma conseqüência dessa situação, e como uma outra maneira de demonstrar o interesse e fascinação despertados pelo PI, os editores estão sempre a publicar livros dedicados inteiramente ao tema e dirigidos tanto ao grande público como a professores e pesquisadores. Entre os mais recentes, podemos destacar:
· Lennart Berggren (ed) - Pi: A Source Book
Springer Verlag, 2nd ed., NYork, 2000
( nada menos do que 736 paginas! )
· J. P. Delahaye - Le fascinant nombre Pi
Editions Belin / Pour La Science, Paris, 1997.
· J. Arndt - PI, unleashed.
Springer Verlag, NYork, 2000.
Os vários tipos de PI
Em verdade, na Geometria Euclidiana, temos quatro constantes que poderiam ser chamadas de PI:
- PI de circunferências: a constante de proporcionalidade na relação entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro
- PI de áreas de círculos: a constante de proporcionalidade na relação entre a área de um círculo e o quadrado de seu diâmetro
- PI de áreas de esferas: a constante de proporcionalidade na relação entre a área de uma esfera e o quadrado de seu diâmetro
- PI de volumes de esferas: a constante de proporcionalidade na relação entre o volume de uma esfera e o cubo de seu diâmetro
Usando as fórmulas clássicas da Geometria, fica muito fácil expressarmos qualquer uma dessas constantes de proporcionalidade em termos das demais. Por questão de tradição, prefere-se trabalhar exclusivamente com o PI da circunferência de círculos, o qual é denotado internacionalmente pela letra pi minúsculo, a letra inicial da palavra grega peripheria que significa perímetro ou circunferência ( essa notação surgiu no início do sec. 1700 e foi adotada e popularizada pelo importante livro Análise Infinitesimal, escrito por Euler c. 1750 ).
A descoberta do PI
Muitas pessoas acham que precisamos ter o valor do PI para calcular circunferência de círculos. Um exemplo clássico mostrando que isso NAO e' verdade e' o cálculo da circunferência da Terra por Erathostenes c. 250 AC. Ele mediu um arco de meridiano terrestre de 5000 estádios e, usando um instrumento de forma semi-esférica ( chamado skaphe ), verificou que esse arco de meridiano era proporcional a um arco de meridiano da skaphe, o qual media 1/50 do meridiano da esfera desse instrumento. Conseqüentemente, concluiu que o meridiano terrestre e' 50*5000 = 250000 estádios. Ou seja, em lugar nenhum precisou saber o valor do PI!
Esse exemplo, e outros que poderíamos mencionar, mostram que é bastante surpreendente que a quase totalidade das pessoas ache que PI foi descoberto ao se relacionar circunferências com diâmetros dos respectivos círculos. Embora a definição usual do PI baseie-se na constância da razão circunferência : diâmetro, muito provavelmente não foi essa a origem do PI. Com efeito, é difícil imaginarmos situações práticas reais onde, numa civilização incipiente, alguém tenha precisado calcular a circunferência de um círculo de diâmetro conhecido, ou vice-versa. Muito mais naturais são problemas requerendo achar a área de um campo circular em termos do diâmetro ou mesmo em termos da circunferência. Em verdade, devia-se até questionar se a descoberta do PI realmente ocorreu no contexto de círculos, e não no de esferas.
Essa inquietação não é só nossa. O famoso historiador matemático Abraham Seidenberg gastou muitos anos de sua vida vasculhando museus e lendo trabalhos de antropologia, em busca dos mais antigos indícios de envolvimento humano com círculos, esferas e o PI. O resultado desses estudos foi resumido nos seus artigos The ritual origin of the circle and square, Archiv. Hist. Exact Sc. 25, (1981), e principalmente em On the volume of a sphere, Archiv. Hist. Exact Sc. 39, (1988). Sua conclusão foi que o cálculo do volume da esfera em termos de seu diâmetro remontaria a antes de 2 000AC, sendo anterior a matemática das grandes antigas civilizações mesopotâmicas, indiana, chinesa e egípcia. O historiador matemático B. van der Waerden identifica essa origem com o que chamo de Tradição Origem da Matemática e a localiza no Vale do Danúbio c. 4 000 AC. Segundo Seidenberg, nessa tradição também se teria reconhecido a igualdade da constante de proporcionalidade relacionando circunferência com diâmetro e área de círculo com quadrado do raio; ou seja, já nessa tradição, possivelmente lá por 3000 a 4000AC, se teria reconhecido que o "PI da circunferência" é igual ao "PI da área do círculo". Também é interessante observar que Seidenberg concluiu que a descoberta dessa igualdade usou métodos infinitesimais, ao estilo de Cavalieri.
É preciso que fique bem claro que o que o trabalho de Seidenberg achou na noite dos tempos, em bem remota antiguidade, foram apenas indícios indiretos de envolvimento com PI. Os mais antigos documentos concretos que temos e que tratam explícitamente de PI são tabletas mesopotâmicas de c. 2 000 AC, como a mostrada ao lado. Examinando a figura desenhada, fica fácil ver que a mesma corresponde a adotar a aproximação grosseira PI = 3, que é a mais comum das aproximações para PI que encontramos nos documentos mesopotâmicos.
Por que é tão difícil calcular o PI?
A principal razão é que PI não é uma fração. Com efeito, se PI pudesse ser escrito como uma fração m / n, seu cálculo poderia
· ou se resumir em buscar o valor de tais numeros inteiros m e n
· ou explorar a periodicidade de sua representação decimal
( por exemplo, se fosse verdade que PI = 22 / 7 = 3.142857 142857 142857 ..., então nos bastaria achar o valor da parte inteira, 3, e o bloco 142857 que se repete indefinidamente )
O fato de que, por mais de 2000 anos, ninguém tivesse conseguido explorar nenhuma das duas possibilidades acima é exatamente o que sugeriu que PI não deva ser uma fração. A verificação rigorosa desse fato, ou seja a demonstração da irracionalidade de PI, veio só com Lambert, em 1 761.
Em verdade, por si só, a irracionalidade de PI não seria suficiente para determinar a dificuldade de seu cálculo; com efeito, existem irracionais de representação decimal previsível, e então fáceis de calcular, como é o caso de 3.10110111011110... . PI é difícil de calcular porque é um irracional imprevisível: sua representação decimal não mostra nenhuma previsibilidade, sendo que acredita-se que seus algarismos se distribuam aleatoriamente.
domingo, 17 de janeiro de 2010
Números de combinações simples
Seja C um conjunto com m elementos distintos. No estudo de arranjos, já vimos antes que é possível escolher p elementos de A, mas quando realizamos tais escolhas pode acontecer que duas coleções com p elementos tenham os mesmos elementos em ordens trocadas. Uma situação típica é a escolha de um casal (H,M).
Quando se fala casal, não tem importância a ordem da posição (H,M) ou (M,H), assim não há a necessidade de escolher duas vezes as mesmas pessoas para formar o referido casal. Para evitar a repetição de elementos em grupos com a mesma quantidade p de elementos, introduziremos o conceito de combinação.
Diremos que uma coleção de p elementos de um conjunto C com m elementos é uma combinação de m elementos tomados p a p, se as coleções com p elementos não tem os mesmos elementos que já apareceram em outras coleções com o mesmo número p de elementos.
Aqui temos outra situação particular de arranjo, mas não pode acontecer a repetição do mesmo grupo de elementos em uma ordem diferente.
Isto significa que dentre todos os A(m,p) arranjos com p elementos, existem p! desses arranjos com os mesmos elementos, assim, para obter a combinação de m elementos tomados p a p, deveremos dividir o número A(m,p) por m! para obter apenas o número de arranjos que contem conjuntos distintos, ou seja:
C(m,p) = A(m,p) / p!
Como A(m,p) = m.(m-1).(m-2). ... .(m-p+1), então:
C(m,p) = [ m.(m-1).(m-2). ... .(m-p+1)] / p!
o que pode ser reescrito
C(m,p) = [ m.(m-1).(m-2). ... .(m-p+1)] / [(1.2.3.4....(p-1)p]
Se multiplicarmos numerador e denominador desta fração por
(m-p)(m-p-1)(m-p-2)...3.2.1
que é o mesmo que multiplicar por (m-p)!, o numerador da fração ficará:
m.(m-1).(m-2).....(m-p+1)(m-p)(m-p-1)...3.2.1 = m!
e o denominador ficará:
p! (m-p)!
Assim, a expressão simplificada para a combinação de n elementos tomados p a p, será:
m!
C(m,p) =
---------------------------------------------------------
p! (m-p)!
Quando se fala casal, não tem importância a ordem da posição (H,M) ou (M,H), assim não há a necessidade de escolher duas vezes as mesmas pessoas para formar o referido casal. Para evitar a repetição de elementos em grupos com a mesma quantidade p de elementos, introduziremos o conceito de combinação.
Diremos que uma coleção de p elementos de um conjunto C com m elementos é uma combinação de m elementos tomados p a p, se as coleções com p elementos não tem os mesmos elementos que já apareceram em outras coleções com o mesmo número p de elementos.
Aqui temos outra situação particular de arranjo, mas não pode acontecer a repetição do mesmo grupo de elementos em uma ordem diferente.
Isto significa que dentre todos os A(m,p) arranjos com p elementos, existem p! desses arranjos com os mesmos elementos, assim, para obter a combinação de m elementos tomados p a p, deveremos dividir o número A(m,p) por m! para obter apenas o número de arranjos que contem conjuntos distintos, ou seja:
C(m,p) = A(m,p) / p!
Como A(m,p) = m.(m-1).(m-2). ... .(m-p+1), então:
C(m,p) = [ m.(m-1).(m-2). ... .(m-p+1)] / p!
o que pode ser reescrito
C(m,p) = [ m.(m-1).(m-2). ... .(m-p+1)] / [(1.2.3.4....(p-1)p]
Se multiplicarmos numerador e denominador desta fração por
(m-p)(m-p-1)(m-p-2)...3.2.1
que é o mesmo que multiplicar por (m-p)!, o numerador da fração ficará:
m.(m-1).(m-2).....(m-p+1)(m-p)(m-p-1)...3.2.1 = m!
e o denominador ficará:
p! (m-p)!
Assim, a expressão simplificada para a combinação de n elementos tomados p a p, será:
m!
C(m,p) =
---------------------------------------------------------
p! (m-p)!
sábado, 16 de janeiro de 2010
Matrizes
Em um observatório meteorológico, um cientista foi incumbido de registrar, de hora em hora, a temperatura de uma região durante os quatro primeiros dias do mês de junho. Depois de realizado o trabalho, o meteorologista apresentou um relatório com a seguinte tabela:
Na qual cada elemento da linha i e coluna j é a temperatura, em graus Celsius, da região na hora i do dia j.
Note a simplicidade dessa tabela. Se quisermos, por exemplo, basear qual foi a temperatura às 9h do dia 3 de junho, basta olharmos para a intersecção da linha 9 com a coluna 3 e encontraremos os 23°C.
Tabelas como estas são denominadas matrizes. Vamos formalizar uma estrutura algébrica para as matrizes, ou seja, definiremos igualdade e operações com elas.
Chama-se matriz do tipo mn (lê-se “m por n”) toda tabela de números dispostos em m linhas e n colunas. Tal tabela deve ser representada entre parênteses ( ), entre colchetes [ ] ou entre barras duplas || ||.
Exemplos:
9 4
Matriz A do tipo 3x2
a) A3 x 2 = 5 6
1 -3
5 -4
b) B2x2 = Matriz b do tipo 2x2
3 -6
c) C 1x3 = || 4 -1 5 || Matriz C do tipo 1x3
CONVENÇÃO
Indicamos por aij o elemento posicionado na linha i e coluna j de uma matriz A.
Exemplo: 9 4
Na matriz A3x2 = 5 6 , temos que:
1 -3
• O numero 9 esta posicionado na linha 1 e coluna 1; indica-se esse elemento por a11, ou seja, a11, = 9;
• O 4 esta posicionado a linha 1 e coluna 2; indica-se esse elemento por a12, ou seja, a12 = 4;
• O 5 esta posicionado na linha 2 e coluna 1; indica-se esse elemento por a21, ou seja, a21 = 5.
Analogamente temos a22 = 6, a31 = 1 e a32 = -3.
]
Podemos representar genericamente uma matriz a do tipo m x n na seguinte maneira:
a11 a12 a13 .... a1n Como esta representação é
Am x n = a21 a22 a23 .... a2n muito extensa, vamos
convencionar uma forma
abreviada. Essa matriz pode
ser representada,
a21 a21 a21 a21 simplesmente, por A=(aij)m x n
ou, quando não houver possibilidade de confusão quanto ao tipo da matriz, por A=(aij).
MATRIZ QUADRADA
Matriz quadrada é toda matriz cujo número de linhas é igual ao número de colunas.
Exemplos:
1 0 3
a) A 3 x 3 = 0 -1 4 É uma matriz quadrada de ordem 3.
6 8 -3
3 6
b) B2x2 = 4 0 É uma matriz quadrada de ordem 2
c) C2x2 = ( 8 ) é uma matriz quadrada de ordem 1.
Numa matriz quadrada A de ordem n, os elementos aij tais que i=j formam a diagonal principal da matriz, e os elementos aij tais que i + j = n + 1 formam a diagonal secundária.
Exemplo:
Diagonal Secundária
a11 a 32 a13
A =
a21 a 32 a23
a31 a32 a33
Diagonal primária
Observe:
• Na diagonal principal os elementos aij possuem i =
a11, a22 e a33
• Na diagonal secundária os elementos aij são tais i + j = 3 + 1 ( em que 3 é a ordem n, que indica por In, a matriz A):
a31, a22 e a13
MATRIZ IDENTIDADE
Chama-se matriz identidade de ordem n, que indica por I¬¬¬n, a matriz:
1, se i = j
I¬¬¬n =( aij)n x 1 tal que aij =
0, se i = j
Note, pela definição que:
• A matriz identidade de ordem 1 é I1 = ( 1 );
• Toda matriz identidade de ordem maior do que 1
Todos os elementos da diagonal principais a todos os demais elementos iguais á zero.
Exemplos:
1 0 0
1 0
a) I2 = b) I2 = 0 1 0
0 1
0 0 1
Chama-se transposta da matriz A = =( aij)mx n que indica por A1, a matriz:
At =( bji)n x m tal que b ji = a ji i , j, 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n
Ou seja, cada coluna i de A1 é, ordenamente, igual a limha i de A.
Exemplos:
2 3
2 5 8
A3 x 2 = 5 0 A3 x 2 =
3 0 6
8 6
Dadas duas matrizes do mesmo tipo, A = ( aij)m x n e B = ( aij)m x n, dizemos que A = B se, e somente se, todo elemento de A igual ao seu correspondente em B.
Em símbolos;
A = B a rs = b rs r, s ≤r ≤ m e 1 ≤ s n
Uma empresa é formada pelas lojas A e B, concessionárias de automóveis. Realizado um estudo sobre a aceitação de dois novos modelos de veículos nos quatro primeiros dias de Janeiro, foram obtidos os seguintes resultados:
2 3 1 5 3 0 2 3
A = B =
1 2 5 3 4 2 5 3
Sendo que:
• A matriz descreve o desempenho da loja A, de modo que cada elemento aij é o número de unidades vendidas do modelo 2 no dia 3;
• A matriz B descreve o desempenha da loja B, de modo que cada elemento bij é o numero de unidades vendidas do modelo i no dia j.
Como representaríamos, matrialmente, a quantidade vendida desses dois modelos, nas duas lojas, nos primeiros quatro dias de Janeiro? Basta construir uma matriz C2 x 3, na qual cada elemento C ij seja igual à soma de seus correspondentes nas matrizes A e B, ou seja:
2 + 3 3 + 0 1 + 2 5 + 3
C = =
1 + 4 2 + 2 5 + 4 3 + 5
5 3 3 8 A matriz denominada “matriz
= soma de A e B”.
5 4 9 8
Definição:
A soma de duas matrizes do mesmo tipo A=( aij ) m x n e B = (b ij ) que se indica por A + B, é a matriz C =(c ij ) m x n tal que:
c ij = aij + b ij , i, j, 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n
m outras palavras, cada elemento da matriz C é igual à soma de seus correspondentes em A e B.
Definição:
O produto de um número k por uma matriz A= ( aij ) m x n , que se indica por kA, é a matriz B= ( bij ) m x n tal que:
bij = Ka ij, i, j, 1≤ j ≤ n
Ou seja, cada elemento da matriz b é igual ao produto de seu correspondente em a, pelo número k.
Exemplo:
2 -5 8 -20
4 3 0 = 12 0
1 6 4 24
No exemplo introdutório do item 6 (Adição de matrizes), se quisermos uma matriz que represente o desempenho da loja A em relação à loja B, basta subtrairmos de cada elemento da matriz A o seu correspondente em B obtendo:
D = 2 – 3 3 – 0 1 – 2 5 – 3
1 – 4 2 – 2 5 – 4 3 - 5
-1 3 -1 2
=
-3 0 1 -2
Assim por exemplo:
• O elemento A11 = -1 nos diz que a loja vendeu uma unidade a menos do modelo 1, no dia 1, do que a loja B;
• O elemento a14 = 2 nos diz que a loja A vendeu duas unidades a mais do modelo 1, no dia 4, do que a loja B.
Definição
A diferença de duas matrizes do mesmo tipo A e B, nessa ordem, que se indica por A-B, é a matriz A + ( -B):
A – B = A + ( - B )
Em palavras mais simples a diferença A – B, é igual à soma de A com a oposta do B.
Exemplo:
8 5 6 2
4 6 _ 3 6 =
9 -2 12 -9
8 5 -6 -2 2 3
= 4 6 + -3 -6 = 1 0
9 -2 -12 9 -3 7
Na qual cada elemento da linha i e coluna j é a temperatura, em graus Celsius, da região na hora i do dia j.
Note a simplicidade dessa tabela. Se quisermos, por exemplo, basear qual foi a temperatura às 9h do dia 3 de junho, basta olharmos para a intersecção da linha 9 com a coluna 3 e encontraremos os 23°C.
Tabelas como estas são denominadas matrizes. Vamos formalizar uma estrutura algébrica para as matrizes, ou seja, definiremos igualdade e operações com elas.
Chama-se matriz do tipo mn (lê-se “m por n”) toda tabela de números dispostos em m linhas e n colunas. Tal tabela deve ser representada entre parênteses ( ), entre colchetes [ ] ou entre barras duplas || ||.
Exemplos:
9 4
Matriz A do tipo 3x2
a) A3 x 2 = 5 6
1 -3
5 -4
b) B2x2 = Matriz b do tipo 2x2
3 -6
c) C 1x3 = || 4 -1 5 || Matriz C do tipo 1x3
CONVENÇÃO
Indicamos por aij o elemento posicionado na linha i e coluna j de uma matriz A.
Exemplo: 9 4
Na matriz A3x2 = 5 6 , temos que:
1 -3
• O numero 9 esta posicionado na linha 1 e coluna 1; indica-se esse elemento por a11, ou seja, a11, = 9;
• O 4 esta posicionado a linha 1 e coluna 2; indica-se esse elemento por a12, ou seja, a12 = 4;
• O 5 esta posicionado na linha 2 e coluna 1; indica-se esse elemento por a21, ou seja, a21 = 5.
Analogamente temos a22 = 6, a31 = 1 e a32 = -3.
]
Podemos representar genericamente uma matriz a do tipo m x n na seguinte maneira:
a11 a12 a13 .... a1n Como esta representação é
Am x n = a21 a22 a23 .... a2n muito extensa, vamos
convencionar uma forma
abreviada. Essa matriz pode
ser representada,
a21 a21 a21 a21 simplesmente, por A=(aij)m x n
ou, quando não houver possibilidade de confusão quanto ao tipo da matriz, por A=(aij).
MATRIZ QUADRADA
Matriz quadrada é toda matriz cujo número de linhas é igual ao número de colunas.
Exemplos:
1 0 3
a) A 3 x 3 = 0 -1 4 É uma matriz quadrada de ordem 3.
6 8 -3
3 6
b) B2x2 = 4 0 É uma matriz quadrada de ordem 2
c) C2x2 = ( 8 ) é uma matriz quadrada de ordem 1.
Numa matriz quadrada A de ordem n, os elementos aij tais que i=j formam a diagonal principal da matriz, e os elementos aij tais que i + j = n + 1 formam a diagonal secundária.
Exemplo:
Diagonal Secundária
a11 a 32 a13
A =
a21 a 32 a23
a31 a32 a33
Diagonal primária
Observe:
• Na diagonal principal os elementos aij possuem i =
a11, a22 e a33
• Na diagonal secundária os elementos aij são tais i + j = 3 + 1 ( em que 3 é a ordem n, que indica por In, a matriz A):
a31, a22 e a13
MATRIZ IDENTIDADE
Chama-se matriz identidade de ordem n, que indica por I¬¬¬n, a matriz:
1, se i = j
I¬¬¬n =( aij)n x 1 tal que aij =
0, se i = j
Note, pela definição que:
• A matriz identidade de ordem 1 é I1 = ( 1 );
• Toda matriz identidade de ordem maior do que 1
Todos os elementos da diagonal principais a todos os demais elementos iguais á zero.
Exemplos:
1 0 0
1 0
a) I2 = b) I2 = 0 1 0
0 1
0 0 1
Chama-se transposta da matriz A = =( aij)mx n que indica por A1, a matriz:
At =( bji)n x m tal que b ji = a ji i , j, 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n
Ou seja, cada coluna i de A1 é, ordenamente, igual a limha i de A.
Exemplos:
2 3
2 5 8
A3 x 2 = 5 0 A3 x 2 =
3 0 6
8 6
Dadas duas matrizes do mesmo tipo, A = ( aij)m x n e B = ( aij)m x n, dizemos que A = B se, e somente se, todo elemento de A igual ao seu correspondente em B.
Em símbolos;
A = B a rs = b rs r, s ≤r ≤ m e 1 ≤ s n
Uma empresa é formada pelas lojas A e B, concessionárias de automóveis. Realizado um estudo sobre a aceitação de dois novos modelos de veículos nos quatro primeiros dias de Janeiro, foram obtidos os seguintes resultados:
2 3 1 5 3 0 2 3
A = B =
1 2 5 3 4 2 5 3
Sendo que:
• A matriz descreve o desempenho da loja A, de modo que cada elemento aij é o número de unidades vendidas do modelo 2 no dia 3;
• A matriz B descreve o desempenha da loja B, de modo que cada elemento bij é o numero de unidades vendidas do modelo i no dia j.
Como representaríamos, matrialmente, a quantidade vendida desses dois modelos, nas duas lojas, nos primeiros quatro dias de Janeiro? Basta construir uma matriz C2 x 3, na qual cada elemento C ij seja igual à soma de seus correspondentes nas matrizes A e B, ou seja:
2 + 3 3 + 0 1 + 2 5 + 3
C = =
1 + 4 2 + 2 5 + 4 3 + 5
5 3 3 8 A matriz denominada “matriz
= soma de A e B”.
5 4 9 8
Definição:
A soma de duas matrizes do mesmo tipo A=( aij ) m x n e B = (b ij ) que se indica por A + B, é a matriz C =(c ij ) m x n tal que:
c ij = aij + b ij , i, j, 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n
m outras palavras, cada elemento da matriz C é igual à soma de seus correspondentes em A e B.
Definição:
O produto de um número k por uma matriz A= ( aij ) m x n , que se indica por kA, é a matriz B= ( bij ) m x n tal que:
bij = Ka ij, i, j, 1≤ j ≤ n
Ou seja, cada elemento da matriz b é igual ao produto de seu correspondente em a, pelo número k.
Exemplo:
2 -5 8 -20
4 3 0 = 12 0
1 6 4 24
No exemplo introdutório do item 6 (Adição de matrizes), se quisermos uma matriz que represente o desempenho da loja A em relação à loja B, basta subtrairmos de cada elemento da matriz A o seu correspondente em B obtendo:
D = 2 – 3 3 – 0 1 – 2 5 – 3
1 – 4 2 – 2 5 – 4 3 - 5
-1 3 -1 2
=
-3 0 1 -2
Assim por exemplo:
• O elemento A11 = -1 nos diz que a loja vendeu uma unidade a menos do modelo 1, no dia 1, do que a loja B;
• O elemento a14 = 2 nos diz que a loja A vendeu duas unidades a mais do modelo 1, no dia 4, do que a loja B.
Definição
A diferença de duas matrizes do mesmo tipo A e B, nessa ordem, que se indica por A-B, é a matriz A + ( -B):
A – B = A + ( - B )
Em palavras mais simples a diferença A – B, é igual à soma de A com a oposta do B.
Exemplo:
8 5 6 2
4 6 _ 3 6 =
9 -2 12 -9
8 5 -6 -2 2 3
= 4 6 + -3 -6 = 1 0
9 -2 -12 9 -3 7
quinta-feira, 14 de janeiro de 2010
മ്ട്ക്.MMC
A utilização de mmc e mdc nas resoluções de problemas é muito comum já que um trata de múltiplos e o outro de divisores comuns de dois ou mais números. Antes de estudarmos as aplicações vejamos como obtê-los.
MÁXIMO DIVISOR COMUM ( M.D.C )
O máximo divisor comum (mdc) entre dois números naturais é obtido a partir da interseção dos divisores naturais, escolhendo-se a maior. O mdc pode ser calculado pelo produto dos fatores primos que são comuns tomando-se sempre o de menor expoente.
Exemplo: 120 e 36
120 2 36 2
60 2 18 2
30 2 9 3
15 3 3 3
5 5 1 22.32
1 23.3.5
m.d.c ( 120, 36) = 22.3 = 12
OBS: O m.d.c pode ser calculado pela decomposição simultânea em fatores primos, tomando apenas os fatores que dividem simultaneamente.
120 - 36 2 ( * )
60 - 18 2 ( * )
30 - 9 2
15 - 9 3 ( * )
5 - 3 3
5 - 1 5
1 - 1 22. 3 = 12
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM ( M.M.C)
O número múltiplo comum entre dois números naturais é obtido a partir da interseção dos múltiplos naturais, escolhendo-se o menor excetuando o zero. O m.m.c pode ser calculado pelo produto de todos os fatores primos, considerados uma única vez e de maior expoente.
Exemplo: 120 e 36
120 2 36 2
60 2 18 2
30 2 9 3
15 3 3 3
5 5 1 22.32
1 23.3.5
m.m.c ( 120, 36) = 23.32.5 = 360
OBS: O m.m.c pode ser calculado pela decomposição simultânea em fatores primos.
120 - 36 2
60 - 18 2
30 - 9 2
15 - 9 3
5 - 3 3
5 - 1 5
1 - 1 23. 32 . 5 = 360
OBS : Existe uma relação entre o m.m.c e o m.d.c de dois números naturais a e b
m.m.c.(a,b) . m.d.c. (a,b) = a . b
O produto entre o m.m.c e m.d.c de dois números é igual ao produto entre os dois números.
MÁXIMO DIVISOR COMUM ( M.D.C )
O máximo divisor comum (mdc) entre dois números naturais é obtido a partir da interseção dos divisores naturais, escolhendo-se a maior. O mdc pode ser calculado pelo produto dos fatores primos que são comuns tomando-se sempre o de menor expoente.
Exemplo: 120 e 36
120 2 36 2
60 2 18 2
30 2 9 3
15 3 3 3
5 5 1 22.32
1 23.3.5
m.d.c ( 120, 36) = 22.3 = 12
OBS: O m.d.c pode ser calculado pela decomposição simultânea em fatores primos, tomando apenas os fatores que dividem simultaneamente.
120 - 36 2 ( * )
60 - 18 2 ( * )
30 - 9 2
15 - 9 3 ( * )
5 - 3 3
5 - 1 5
1 - 1 22. 3 = 12
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM ( M.M.C)
O número múltiplo comum entre dois números naturais é obtido a partir da interseção dos múltiplos naturais, escolhendo-se o menor excetuando o zero. O m.m.c pode ser calculado pelo produto de todos os fatores primos, considerados uma única vez e de maior expoente.
Exemplo: 120 e 36
120 2 36 2
60 2 18 2
30 2 9 3
15 3 3 3
5 5 1 22.32
1 23.3.5
m.m.c ( 120, 36) = 23.32.5 = 360
OBS: O m.m.c pode ser calculado pela decomposição simultânea em fatores primos.
120 - 36 2
60 - 18 2
30 - 9 2
15 - 9 3
5 - 3 3
5 - 1 5
1 - 1 23. 32 . 5 = 360
OBS : Existe uma relação entre o m.m.c e o m.d.c de dois números naturais a e b
m.m.c.(a,b) . m.d.c. (a,b) = a . b
O produto entre o m.m.c e m.d.c de dois números é igual ao produto entre os dois números.
quarta-feira, 13 de janeiro de 2010
LÓGICA
Lógica, ciência que trata dos princípios válidos do raciocínio e da argumentação. Seu estudo é um esforço no sentido de determinar as condições que permitem tirar de determinadas proposições, chamadas de premissas, uma conclusão delas derivada. A validade lógica é a relação entre as premissas e a conclusão.
O que hoje se conhece como lógica clássica, ou tradicional, foi enunciado pela primeira vez por Aristóteles, que elaborou leis para um raciocínio correto, a ser desenvolvido mediante silogismos. Em meados do século XIX, os matemáticos britânicos George Boole e Augustus De Morgan abriram à lógica um novo campo, que hoje se conhece como lógica simbólica ou moderna, posteriormente desenvolvida por Bertrand Russell e por Alfred North Whitehead, cobrindo todo um espectro de argumentações possíveis, maior do que aquelas encontradas na lógica silogística.
Tanto o ramo clássico como o moderno implicam em métodos de lógica dedutiva, embora também tenha havido esforços no sentido de desenvolver métodos de lógica indutiva, sendo neste último campo a contribuição mais importante a do filósofo britânico John Stuart Mill, com sua obra Sistema de lógica (1843). Estudos posteriores desenvolveram sistemas da chamada lógica combinatória: uma afirmação pode ter um valor diferente de verdadeiro ou falso. Em alguns pressupostos, é apenas um terceiro valor, neutro; em outros, é um valor de probabilidade.
Lógica paraconsistente, noção segundo a qual a lógica admite contradições. Foi introduzida pelo filósofo e matemático brasileiro Newton da Costa.
A necessidade da ciência de trabalhar com a contradição surgiu do interesse em estudar temas complexos, como por exemplo os tratados pela mecânica quântica. Desde a década de 1930, supunha-se que a lógica clássica não podia ser aplicada à mecânica quântica. A partir das lógicas não-clássicas, em especial os paradoxos na lógica e/ou na matemática, surgiu o conceito de lógica paraconsistente, formulado em 1963.
Na realidade, esse conceito nasceu da idéia de Georg Cantor, que dizia que a essência da matemática está na sua liberdade. Muitos dos paradoxos surgidos no início do século XX, em geral foram eliminados com a manutenção da lógica tradicional e com a introdução de restrições nos postulados da teoria dos conjuntos. Se a matemática fosse absolutamente livre, como supunha Cantor, em vez de introduzir restrições aos postulados da teoria dos conjuntos poderíamos mudar a lógica e, desse modo, reconstituir a matemática clássica inteira.
Para melhor entender o que é a lógica paraconsistente, convém recordar que a lógica é o estudo dos processos pelos quais determinadas sentenças ou proposições podem ser deduzidas de outras. Desde a época de Aristóteles, um dos princípios da lógica é o da não-contradição. Essa idéia estabelece a impossibilidade de que uma sentença qualquer e sua negação sejam ambas verdadeiras. A lógica clássica não admite contradições.
No entanto, à medida que os diferentes campos da ciência evoluem e se tornam mais complexos, as contradições aparecem. Na física, as partículas elementares em determinadas circunstâncias não se comportam como matéria, mas como ondas. Sob certos aspectos, elas são e não são partículas. Tal dificuldade pode ser ultrapassada, como em geral fazem os físicos, tentando eliminar a contradição e manter a lógica clássica.
No entanto, se o pesquisador quiser tratar diretamente o problema, sem desvios teóricos, torna-se necessário o emprego de uma lógica não-convencional, que aceite as contradições. A lógica paraconsistente foi idealizada para tratar desses problemas.
A idéia de trabalhar com a contradição atraiu para a lógica paraconsistente pesquisadores de várias áreas do conhecimento, inclusive psicanalistas que reconhecem no trabalho a formalização da idéia de contradição que, segundo Freud, existiria no próprio plano do inconsciente.
Na informática, os especialistas já desenvolveram sistemas para processar dados contraditórios. No campo da teoria da ciência, surgiu o conceito de "quase-verdade", uma variante da verdade pragmática. Consideremos o caso da mecânica clássica newtoniana, em relação à relatividade einsteiniana: a primeira não se aplica aos corpos que se deslocam em velocidades muito altas, próximas à da luz, ao contrário do que ocorre em determinados domínios, como na engenharia civil, onde a mecânica newtoniana é estritamente verdadeira. Ela é, portanto, quase-verdadeira para um determinado setor. Assim também pode ocorrer com a teoria da luz ondulatória e corpuscular. Ambas são quase-verdade para certos aspectos da teoria da luz.
Matemática, estudo das relações entre quantidades, magnitudes e propriedades, e das operações lógicas utilizadas para deduzir quantidades, magnitudes e propriedades desconhecidas. No passado, a matemática era considerada a ciência da quantidade, aplicada às magnitudes (como na geometria), aos números (como na aritmética) ou à generalização de ambos (como na álgebra). Em meados do século XIX, a matemática passou a ser considerada como a ciência das relações, ou como a ciência que produz condições necessárias. Esta última noção abarca a lógica matemática ou simbólica — ciência que consiste em utilizar símbolos para gerar uma teoria exata de dedução e inferência lógica baseada em definições, axiomas, postulados e regras que transformam elementos primitivos em relações e teoremas mais complexos.
HISTÓRIA
As primeiras referências à matemática avançadas e organizadas datam do terceiro milênio a.C., na Babilônia e no Egito. Esta matemática estava dominada pela aritmética.
Os primeiros livros egípcios, escritos no ano 1800 a.C., mostram um sistema de numeração decimal com diferentes símbolos para as sucessivas potências de 10 (1, 10, 100, ...), semelhante ao sistema utilizado pelos romanos. Na geometria, foram obtidas as regras corretas para calcular a área de triângulos, retângulos e trapézios, e o volume de figuras como ortoedros, cilindros e pirâmides.
Os gregos usaram elementos da matemática dos babilônios e dos egípcios. A inovação mais importante foi a invenção da matemática abstrata, com base numa estrutura lógica de definições, axiomas e demonstrações. Este avanço começou no VI a.C., com Tales de Mileto e Pitágoras. Alguns de seus discípulos fizeram importantes descobertas sobre a teoria numérica e a geometria, que são atribuídas ao próprio Pitágoras.
No final do século IV a.C., Euclides escreveu Elementos, obra que contém a maior parte do conhecimento matemático da época. O século posterior a Euclides esteve marcado por um grande desenvolvimento da matemática, como se pode comprovar nos trabalhos de Arquimedes e Apolônio. Este escreveu um tratado em oito volumes sobre as cônicas e estabeleceu seus nomes: elipse, parábola e hipérbole.
Os avanços dos matemáticos árabes, junto com as traduções dos gregos clássicos, foram os principais responsáveis pelo crescimento da matemática durante a Idade Média. Entre outros avanços, os matemáticos árabes ampliaram o sistema indiano de posições decimais na aritmética de números inteiros, estendendo-o às frações decimais. Al-Khwarizmi desenvolveu a álgebra dos polinômios. Os geômetras, como Ibrahim ibn Sinan, continuaram as investigações de Arquimedes sobre áreas e volumes.
Em 1545, o italiano Gerolamo Cardano publicou em sua obra Ars magna uma fórmula algébrica para a resolução das equações de terceiro e quarto graus. Esta conquista levou os matemáticos a se interessarem pelos números complexos e estimulou a busca de soluções semelhantes para equações de quinto grau ou mais. Também no século XVI, começaram a ser utilizados os modernos símbolos matemáticos e algébricos.
O século XVII começou com a descoberta dos logaritmos pelo matemático John Napier. Na geometria pura, Descartes publicou em seu Discurso do método (1637) sua visão da geometria analítica, que mostrava como utilizar a álgebra para investigar a geometria das curvas. Outro avanço importante na matemática do século XVII foi o surgimento da teoria da probabilidade.
No entanto, o acontecimento mais importante do século na matemática foi o estudo dos cálculos diferencial e integral por Newton, entre 1664 e 1666. Alguns anos mais tarde, o alemão Leibniz também descobriu o cálculo e foi o primeiro a divulgá-lo, em 1684 e 1686. O sistema de notação de Leibniz é usado hoje no cálculo. O grande matemático do século XVIII foi o suíço Euler, que contribuiu com idéias fundamentais sobre cálculo e outros ramos da matemática e suas aplicações.
Em 1821, o matemático francês Cauchy conseguiu um enfoque lógico e apropriado do cálculo, baseado apenas em quantidades finitas e no conceito de limite. Além de fortalecer os fundamentos da análise, nome dado a partir de então às técnicas do cálculo, os matemáticos do século XIX realizaram importantes avanços nesta parte. No início do século, Gauss deu uma explicação adequada sobre o conceito de número complexo.
Outra descoberta do século XIX, que na época foi considerada abstrata e inútil, foi a geometria não-euclidiana. Os fundamentos da matemática foram completamente transformados no século XIX, principalmente pelo inglês George Boole, em seu livro Investigações das leis do pensamento, sobre as quais se baseiam as teorias matemáticas da lógica e das probabilidades (1854) e por Cantor em sua teoria dos conjuntos.
O computador revolucionou a matemática e converteu-se num elemento primordial. Este avanço deu grande impulso a certos ramos da matemática, como a análise numérica e a matemática finita, e gerou novas áreas de investigação, como o estudo dos algoritmos. Tornou-se, portanto, uma poderosa ferramenta em campos tão diversos quanto a teoria numérica, as equações diferenciais e a álgebra abstrata.
O que hoje se conhece como lógica clássica, ou tradicional, foi enunciado pela primeira vez por Aristóteles, que elaborou leis para um raciocínio correto, a ser desenvolvido mediante silogismos. Em meados do século XIX, os matemáticos britânicos George Boole e Augustus De Morgan abriram à lógica um novo campo, que hoje se conhece como lógica simbólica ou moderna, posteriormente desenvolvida por Bertrand Russell e por Alfred North Whitehead, cobrindo todo um espectro de argumentações possíveis, maior do que aquelas encontradas na lógica silogística.
Tanto o ramo clássico como o moderno implicam em métodos de lógica dedutiva, embora também tenha havido esforços no sentido de desenvolver métodos de lógica indutiva, sendo neste último campo a contribuição mais importante a do filósofo britânico John Stuart Mill, com sua obra Sistema de lógica (1843). Estudos posteriores desenvolveram sistemas da chamada lógica combinatória: uma afirmação pode ter um valor diferente de verdadeiro ou falso. Em alguns pressupostos, é apenas um terceiro valor, neutro; em outros, é um valor de probabilidade.
Lógica paraconsistente, noção segundo a qual a lógica admite contradições. Foi introduzida pelo filósofo e matemático brasileiro Newton da Costa.
A necessidade da ciência de trabalhar com a contradição surgiu do interesse em estudar temas complexos, como por exemplo os tratados pela mecânica quântica. Desde a década de 1930, supunha-se que a lógica clássica não podia ser aplicada à mecânica quântica. A partir das lógicas não-clássicas, em especial os paradoxos na lógica e/ou na matemática, surgiu o conceito de lógica paraconsistente, formulado em 1963.
Na realidade, esse conceito nasceu da idéia de Georg Cantor, que dizia que a essência da matemática está na sua liberdade. Muitos dos paradoxos surgidos no início do século XX, em geral foram eliminados com a manutenção da lógica tradicional e com a introdução de restrições nos postulados da teoria dos conjuntos. Se a matemática fosse absolutamente livre, como supunha Cantor, em vez de introduzir restrições aos postulados da teoria dos conjuntos poderíamos mudar a lógica e, desse modo, reconstituir a matemática clássica inteira.
Para melhor entender o que é a lógica paraconsistente, convém recordar que a lógica é o estudo dos processos pelos quais determinadas sentenças ou proposições podem ser deduzidas de outras. Desde a época de Aristóteles, um dos princípios da lógica é o da não-contradição. Essa idéia estabelece a impossibilidade de que uma sentença qualquer e sua negação sejam ambas verdadeiras. A lógica clássica não admite contradições.
No entanto, à medida que os diferentes campos da ciência evoluem e se tornam mais complexos, as contradições aparecem. Na física, as partículas elementares em determinadas circunstâncias não se comportam como matéria, mas como ondas. Sob certos aspectos, elas são e não são partículas. Tal dificuldade pode ser ultrapassada, como em geral fazem os físicos, tentando eliminar a contradição e manter a lógica clássica.
No entanto, se o pesquisador quiser tratar diretamente o problema, sem desvios teóricos, torna-se necessário o emprego de uma lógica não-convencional, que aceite as contradições. A lógica paraconsistente foi idealizada para tratar desses problemas.
A idéia de trabalhar com a contradição atraiu para a lógica paraconsistente pesquisadores de várias áreas do conhecimento, inclusive psicanalistas que reconhecem no trabalho a formalização da idéia de contradição que, segundo Freud, existiria no próprio plano do inconsciente.
Na informática, os especialistas já desenvolveram sistemas para processar dados contraditórios. No campo da teoria da ciência, surgiu o conceito de "quase-verdade", uma variante da verdade pragmática. Consideremos o caso da mecânica clássica newtoniana, em relação à relatividade einsteiniana: a primeira não se aplica aos corpos que se deslocam em velocidades muito altas, próximas à da luz, ao contrário do que ocorre em determinados domínios, como na engenharia civil, onde a mecânica newtoniana é estritamente verdadeira. Ela é, portanto, quase-verdadeira para um determinado setor. Assim também pode ocorrer com a teoria da luz ondulatória e corpuscular. Ambas são quase-verdade para certos aspectos da teoria da luz.
Matemática, estudo das relações entre quantidades, magnitudes e propriedades, e das operações lógicas utilizadas para deduzir quantidades, magnitudes e propriedades desconhecidas. No passado, a matemática era considerada a ciência da quantidade, aplicada às magnitudes (como na geometria), aos números (como na aritmética) ou à generalização de ambos (como na álgebra). Em meados do século XIX, a matemática passou a ser considerada como a ciência das relações, ou como a ciência que produz condições necessárias. Esta última noção abarca a lógica matemática ou simbólica — ciência que consiste em utilizar símbolos para gerar uma teoria exata de dedução e inferência lógica baseada em definições, axiomas, postulados e regras que transformam elementos primitivos em relações e teoremas mais complexos.
HISTÓRIA
As primeiras referências à matemática avançadas e organizadas datam do terceiro milênio a.C., na Babilônia e no Egito. Esta matemática estava dominada pela aritmética.
Os primeiros livros egípcios, escritos no ano 1800 a.C., mostram um sistema de numeração decimal com diferentes símbolos para as sucessivas potências de 10 (1, 10, 100, ...), semelhante ao sistema utilizado pelos romanos. Na geometria, foram obtidas as regras corretas para calcular a área de triângulos, retângulos e trapézios, e o volume de figuras como ortoedros, cilindros e pirâmides.
Os gregos usaram elementos da matemática dos babilônios e dos egípcios. A inovação mais importante foi a invenção da matemática abstrata, com base numa estrutura lógica de definições, axiomas e demonstrações. Este avanço começou no VI a.C., com Tales de Mileto e Pitágoras. Alguns de seus discípulos fizeram importantes descobertas sobre a teoria numérica e a geometria, que são atribuídas ao próprio Pitágoras.
No final do século IV a.C., Euclides escreveu Elementos, obra que contém a maior parte do conhecimento matemático da época. O século posterior a Euclides esteve marcado por um grande desenvolvimento da matemática, como se pode comprovar nos trabalhos de Arquimedes e Apolônio. Este escreveu um tratado em oito volumes sobre as cônicas e estabeleceu seus nomes: elipse, parábola e hipérbole.
Os avanços dos matemáticos árabes, junto com as traduções dos gregos clássicos, foram os principais responsáveis pelo crescimento da matemática durante a Idade Média. Entre outros avanços, os matemáticos árabes ampliaram o sistema indiano de posições decimais na aritmética de números inteiros, estendendo-o às frações decimais. Al-Khwarizmi desenvolveu a álgebra dos polinômios. Os geômetras, como Ibrahim ibn Sinan, continuaram as investigações de Arquimedes sobre áreas e volumes.
Em 1545, o italiano Gerolamo Cardano publicou em sua obra Ars magna uma fórmula algébrica para a resolução das equações de terceiro e quarto graus. Esta conquista levou os matemáticos a se interessarem pelos números complexos e estimulou a busca de soluções semelhantes para equações de quinto grau ou mais. Também no século XVI, começaram a ser utilizados os modernos símbolos matemáticos e algébricos.
O século XVII começou com a descoberta dos logaritmos pelo matemático John Napier. Na geometria pura, Descartes publicou em seu Discurso do método (1637) sua visão da geometria analítica, que mostrava como utilizar a álgebra para investigar a geometria das curvas. Outro avanço importante na matemática do século XVII foi o surgimento da teoria da probabilidade.
No entanto, o acontecimento mais importante do século na matemática foi o estudo dos cálculos diferencial e integral por Newton, entre 1664 e 1666. Alguns anos mais tarde, o alemão Leibniz também descobriu o cálculo e foi o primeiro a divulgá-lo, em 1684 e 1686. O sistema de notação de Leibniz é usado hoje no cálculo. O grande matemático do século XVIII foi o suíço Euler, que contribuiu com idéias fundamentais sobre cálculo e outros ramos da matemática e suas aplicações.
Em 1821, o matemático francês Cauchy conseguiu um enfoque lógico e apropriado do cálculo, baseado apenas em quantidades finitas e no conceito de limite. Além de fortalecer os fundamentos da análise, nome dado a partir de então às técnicas do cálculo, os matemáticos do século XIX realizaram importantes avanços nesta parte. No início do século, Gauss deu uma explicação adequada sobre o conceito de número complexo.
Outra descoberta do século XIX, que na época foi considerada abstrata e inútil, foi a geometria não-euclidiana. Os fundamentos da matemática foram completamente transformados no século XIX, principalmente pelo inglês George Boole, em seu livro Investigações das leis do pensamento, sobre as quais se baseiam as teorias matemáticas da lógica e das probabilidades (1854) e por Cantor em sua teoria dos conjuntos.
O computador revolucionou a matemática e converteu-se num elemento primordial. Este avanço deu grande impulso a certos ramos da matemática, como a análise numérica e a matemática finita, e gerou novas áreas de investigação, como o estudo dos algoritmos. Tornou-se, portanto, uma poderosa ferramenta em campos tão diversos quanto a teoria numérica, as equações diferenciais e a álgebra abstrata.
domingo, 10 de janeiro de 2010
Talles de Mileto-matemático
Tales de Mileto é descrito em algumas lendas como homem de negócios, mercador de sal, defensor do celibato ou estadista de visão, mas a verdade é que pouco se sabe sobre sua vida.
As obras de Tales não conseguiram sobreviver até nossos dias mas com base em tradições pode-se reconstruir algumas idéias.
Viajando muito pelos centros antigos de conhecimento deve ter obtido informações sobre Astronomia e Matemática aprendendo Geometria no Egito. Na Babilônia, sob o governo de Nabucodonosor, entrou em contato com as primeiras tabelas e instrumentos astronômicos e diz-se que em 585 A.C. conseguiu predizer o elipse solar que ocorreria neste ano, assombrando seus contemporâneos e é nesta data que se apóiam para indicar aproximadamente o ano em que nasceu, pois na época deveria contar com quarenta anos, mais ou menos. Calcula-se que tenha morrido com 78 anos de idade.
Tales é considerado o primeiro filósofo e o primeiro dos sete sábios, discípulo dos egípcios e caldeus, e recebe o título comumente de "primeiro matemático" verdadeiro, tentando organizar a Geometria de forma dedutiva.
Acredita-se que durante sua viagem à Babilônia estudou o resultado que chega até nós como "Teorema de Tales" segundo o qual um angulo inscrito num semicírculo é um ângulo reto.
A ele também se devem outros quatro teoremas fundamentais: "um círculo é bissectado por um diâmetro", "os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais", "os pares de ângulos opostos formados por duas retas que se cortam são iguais", e "se dois triângulos são tais que dois ângulos e um lado são iguais respectivamente a dois ângulos e um lado do outro. então, eles são congruentes".
Parece provável que Tales conseguiu medir a altura de uma pirâmide do Egito observando o comprimento das sombras no momento em que a sombra de um bastão vertical é igual à sua altura".
Tales foi mestre de um grupo de seguidores de suas idéias, chamado "Escola de Jônia" e foi o primeiro homem da História a quem se atribuem descoberta matemáticas específicas e, como disse Aristóteles, "para Tales a questão primordial não era o que sabemos, mas como sabemos".
As obras de Tales não conseguiram sobreviver até nossos dias mas com base em tradições pode-se reconstruir algumas idéias.
Viajando muito pelos centros antigos de conhecimento deve ter obtido informações sobre Astronomia e Matemática aprendendo Geometria no Egito. Na Babilônia, sob o governo de Nabucodonosor, entrou em contato com as primeiras tabelas e instrumentos astronômicos e diz-se que em 585 A.C. conseguiu predizer o elipse solar que ocorreria neste ano, assombrando seus contemporâneos e é nesta data que se apóiam para indicar aproximadamente o ano em que nasceu, pois na época deveria contar com quarenta anos, mais ou menos. Calcula-se que tenha morrido com 78 anos de idade.
Tales é considerado o primeiro filósofo e o primeiro dos sete sábios, discípulo dos egípcios e caldeus, e recebe o título comumente de "primeiro matemático" verdadeiro, tentando organizar a Geometria de forma dedutiva.
Acredita-se que durante sua viagem à Babilônia estudou o resultado que chega até nós como "Teorema de Tales" segundo o qual um angulo inscrito num semicírculo é um ângulo reto.
A ele também se devem outros quatro teoremas fundamentais: "um círculo é bissectado por um diâmetro", "os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais", "os pares de ângulos opostos formados por duas retas que se cortam são iguais", e "se dois triângulos são tais que dois ângulos e um lado são iguais respectivamente a dois ângulos e um lado do outro. então, eles são congruentes".
Parece provável que Tales conseguiu medir a altura de uma pirâmide do Egito observando o comprimento das sombras no momento em que a sombra de um bastão vertical é igual à sua altura".
Tales foi mestre de um grupo de seguidores de suas idéias, chamado "Escola de Jônia" e foi o primeiro homem da História a quem se atribuem descoberta matemáticas específicas e, como disse Aristóteles, "para Tales a questão primordial não era o que sabemos, mas como sabemos".
Sócrates de Antenas- Matemático
Filósofo grego do século V a. C. (cerca de 470 – 399 a. C.) filho do escultor Sofronisco e da parteira fenareta, nasceu e viveu nas cercanias de Atenas, onde desposou Xantipa, mulher de gênio irascível que hostilizava o marido e lhe desdenhava a filosofia (mas que permaneceu ao seu lado até o último instante e lhe chorou a morte, justamente com os três filhos que lhes dera). Dele escreve um historiador: “Sócrates, como o Cristo, nada escreveu, ou pelo menos nada deixou escrito. Como ele, morreu a morte dos criminosos (ao passo que Jesus foi crucificado, Sócrates foi obrigado a ingerir cicuta), vítima do fantimos por ter atacado crianças tradicionais e posto a verdadeira virtude acima da hipocrisia e da ilusão dos formalismos. Assim como Jesus foi acusado pelos fariseus do seu tempo – pois que os têm havido em todas as épocas – de corromper a juventude, ao proclamar o dogma da unicidade de Deus, da imortalidade da alma e da vida futura. Da mesma maneira que hoje conhecemos a doutrina de Jesus apenas pelos escritos dos seus discípulos, só conhecemos a de Sócrates pelos escritos do seu discípulo “Platão”. Desses escritos o principal é o intitulado Apologia de Sócrates. A sua divisa era: conhece-te a ti mesmo. Só este conhecimento poderá constituir uma ciência que há de ensinar os homens a praticar o bem, a administrar bem os negócios da cidade assim com os seus próprios. O método que usou foi o do diálogo, que desenvolve as verdades comuns a todos os espíritos. O diálogo comporta a ironia, que liberta o espírito dos erros, a maiêutica, que obriga a reconhecer a verdade quem si mesmo existe, tirando-o seu íntimo como o entre que vai nascer. A indução que se eleva a observações, das mais simples as mais ousadas generalizações, e a definição, que nos dá o âmago das coisas e a sua razão de ser, completa o método socrático. Indiferentemente dos problemas. Física, dedicou-se a moral e quis instruir os ignorantes, para torna-los bons a virtude era o seu objetivo e por isso dizia: “Fiz descer do céu a Terra a filosofia”. Monoteísta, para ele Deus era eterno e imenso. “Ele vê ao mesmo tempo todas as coisas, ouve tudo, está presente em toda parte, e vela sobre tudo ao mesmo tempo.”
Sócrates cria de tal maneira na providência divina que chegava a admitir uma comunicação mais ou menos direta de certos homens com a divindade: Admitia a possibilidade de uma inspiração de uma voz íntima capaz de nos dar o pressentimento do futuro: e era isso que ele chamava a sua voz divina, e que se designa vulgarmente sob o nome de demônio de Sócrates.
Sócrates cria de tal maneira na providência divina que chegava a admitir uma comunicação mais ou menos direta de certos homens com a divindade: Admitia a possibilidade de uma inspiração de uma voz íntima capaz de nos dar o pressentimento do futuro: e era isso que ele chamava a sua voz divina, e que se designa vulgarmente sob o nome de demônio de Sócrates.
sábado, 9 de janeiro de 2010
Riemann-Matemático
G. F. B. Riemann filho de um pastor luterano, foi educado em condições modestas. Era uma pessoa tímida e fisicamente frágil.
Teve boa instrução em Berlim e depois em Gottingen onde obteve seu doutoramento com uma tese sobre teoria das funções de variáveis complexas, onde aparecem as equações denominadas de Cauchy-Riemann, embora lá fossem conhecidas por Euler e D'Alembert. Neste trabalho já estabelece o conceito de superfície de Riemann que desempenharia papel fundamental em Análise.
Nomeado professor na Universidade de Gottingen em 1B54, apresentou um trabalho perante o corpo docente e que resultou na mais célebre conferência da história da Matemática. Nele estava uma ampla e profunda visão da Geometria e seus fundamentos que até então permanecia marginalizada.
Ao contrário de Euclides e em sentido mais amplo do que Lobachevsky, observou que seria necessário tratar-se de pontos, ou de retas, ou do espaço não no sentido comum mas como uma coleção de n-uplas que são combinadas segundo certas regras, uma das quais a de achar distancia entre dois pontos infinitamente próximos.
Para Riemann, o plano é uma superfície de uma esfera e reta é o círculo máximo sobre a esfera. De sua sugestão de estudar espaços métricos em geral com curvatura, tornou-se possível a teoria da relatividade, contribuindo assim para o desenvolvimento da Física.
Riemann conseguiu muitos teoremas em Teoria dos Números, relacionando-os com Análise, onde encontramos também a equação de Cauchy-Riernann que é uma concepção intuitiva e geométrica da Análise, em contraste com a aritmetização de Weierstrass.
Um de seus brilhantes resul;tados foi perceber que a integral exigia uma definição mais cuidadosa do que a de Cauchy e, baseado em seus conceitos geométricos, concluiu que as funções limitadas são sempre integráveis.
Em 1859, Riemann foi nomeado sucessor de Dirichlet na cadeira de Gottingen já ocupada por Euler. Com seu estado de saúde sempre precário, acabou por morrer em 1866 em conseqüência de uma tuberculose.
Teve boa instrução em Berlim e depois em Gottingen onde obteve seu doutoramento com uma tese sobre teoria das funções de variáveis complexas, onde aparecem as equações denominadas de Cauchy-Riemann, embora lá fossem conhecidas por Euler e D'Alembert. Neste trabalho já estabelece o conceito de superfície de Riemann que desempenharia papel fundamental em Análise.
Nomeado professor na Universidade de Gottingen em 1B54, apresentou um trabalho perante o corpo docente e que resultou na mais célebre conferência da história da Matemática. Nele estava uma ampla e profunda visão da Geometria e seus fundamentos que até então permanecia marginalizada.
Ao contrário de Euclides e em sentido mais amplo do que Lobachevsky, observou que seria necessário tratar-se de pontos, ou de retas, ou do espaço não no sentido comum mas como uma coleção de n-uplas que são combinadas segundo certas regras, uma das quais a de achar distancia entre dois pontos infinitamente próximos.
Para Riemann, o plano é uma superfície de uma esfera e reta é o círculo máximo sobre a esfera. De sua sugestão de estudar espaços métricos em geral com curvatura, tornou-se possível a teoria da relatividade, contribuindo assim para o desenvolvimento da Física.
Riemann conseguiu muitos teoremas em Teoria dos Números, relacionando-os com Análise, onde encontramos também a equação de Cauchy-Riernann que é uma concepção intuitiva e geométrica da Análise, em contraste com a aritmetização de Weierstrass.
Um de seus brilhantes resul;tados foi perceber que a integral exigia uma definição mais cuidadosa do que a de Cauchy e, baseado em seus conceitos geométricos, concluiu que as funções limitadas são sempre integráveis.
Em 1859, Riemann foi nomeado sucessor de Dirichlet na cadeira de Gottingen já ocupada por Euler. Com seu estado de saúde sempre precário, acabou por morrer em 1866 em conseqüência de uma tuberculose.
Poncelet-Matemático
Jean Victor Poncelet nasceu em Metz, no ano de 1788.
Tendo se destacado como estudante quando cursava a Escola Politécnica de Metz, Poncelet tornou-se conhecido como excelente professor de Matemática sendo convidado a servir como engenheiro no exército napoleônico.
Em 18l2, Poncelet lutou com as forças francesas na Rússia, caindo prisioneiro. Durante Os dezoito meses de cativeiro, começou a escrever um de seus trabalhos mais notáveis: a Geometria Projetiva, teoria em que Desargues e Pascal tinham dados os primeiros passos no século XVII.
Em 1814, Poncelet retornou à França e, a partir de 1815, começou a publicar suas criações nos "Anais da Matemática", Seus trabalhos iniciais versavam sobre os polígonos inscritos e circunscritos a uma cônica.
O grande trabalho de Poncelet, "Ensaio sobre as projetivas das seções cônicas só apareceu em 1820 e foi melhorado e reproduzido dois anos depois como "Tratado das propriedades projetivas das figuras". Nestas obras, Poncelet observou que certas propriedades das figuras se mantém constantes, quando as figuras sofrem deformações por projeções.
Poncelet foi ainda o criador da teoria polaridade e do princípio da dualidade, base sobre a qual outros matemáticos como De Morgan, Whitehead e Russel desenvolveram posteriormente seus trabalhos.
Finalmente, Poncelet atingiu o máximo de sua criação quando estabeleceu o conceito de razão dupla ou anarmônica. Com base nesta descoberta, posteriormente, Klein conseguiu unificar as geometrias numa só, criando a pan-geometria.
Poncelet faleceu em 1867 na mesma cidade onde nascera.
Tendo se destacado como estudante quando cursava a Escola Politécnica de Metz, Poncelet tornou-se conhecido como excelente professor de Matemática sendo convidado a servir como engenheiro no exército napoleônico.
Em 18l2, Poncelet lutou com as forças francesas na Rússia, caindo prisioneiro. Durante Os dezoito meses de cativeiro, começou a escrever um de seus trabalhos mais notáveis: a Geometria Projetiva, teoria em que Desargues e Pascal tinham dados os primeiros passos no século XVII.
Em 1814, Poncelet retornou à França e, a partir de 1815, começou a publicar suas criações nos "Anais da Matemática", Seus trabalhos iniciais versavam sobre os polígonos inscritos e circunscritos a uma cônica.
O grande trabalho de Poncelet, "Ensaio sobre as projetivas das seções cônicas só apareceu em 1820 e foi melhorado e reproduzido dois anos depois como "Tratado das propriedades projetivas das figuras". Nestas obras, Poncelet observou que certas propriedades das figuras se mantém constantes, quando as figuras sofrem deformações por projeções.
Poncelet foi ainda o criador da teoria polaridade e do princípio da dualidade, base sobre a qual outros matemáticos como De Morgan, Whitehead e Russel desenvolveram posteriormente seus trabalhos.
Finalmente, Poncelet atingiu o máximo de sua criação quando estabeleceu o conceito de razão dupla ou anarmônica. Com base nesta descoberta, posteriormente, Klein conseguiu unificar as geometrias numa só, criando a pan-geometria.
Poncelet faleceu em 1867 na mesma cidade onde nascera.
sexta-feira, 8 de janeiro de 2010
Poicaré-Matemático
* Trechos da nota introdutória do livro "Deus Joga Dados ? - a Matemática do Caos" de Ian Stewart
Hoje em dia, no final do século XX, seria quase um insulto perguntar a alguém se sabe quem foi Albert Einstein. Na verdade, a importância do seu trabalho não é ignorada por ninguém, embora, compreensivelmente, a natureza e os pormenores deste o sejam por muitos. A sua imagem, que se tornou emblemática na sociedade moderna, é reconhecida por todos, tendo-se tornado (ao contrário, estou convencido, do que o próprio Einstein teria gostado) símbolo de valores como pensamento, profundidade, transformação do mundo pela reflexão e outros proventura menos nobres mas bem explorados pela indústria do marketing. Einstein é o paradigma da genialidade: o homem é a imagem do gênio.
Devo dizer que concordo sem restrições, por razões que não vêm aqui a propósito, com a genialidade ímpar de Einstein. A questão é que, tal como a física, também a matemática teve o seu gênio ímpar, o seu Einstein. E no entanto, alguém se sentiria insultado ao ser-lhe perguntado se conhecia Henri Poicaré?
Dificilmente se encontrará, na história da ciência dos últimos dois séculos, figura mais capaz de ombrear com Einstein do que Henri Poincaré, o último universalista. Poincaré não só deixou uma vastíssima e importantíssima obra em todos os campos da matemática, e mesmo da física, do seu tempo, como a mecânica clássica, mecânica celeste, física matemática, teoria dos números, teoria das funções, equações diferenciais ou análise real e complexa ( a propósito deste paralelo, é curioso referir que Poincaré atingiu, independentemente de Einstein e ao mesmo tempo que este, em 1905, uma formulação da teoria da relatividade restrita), como também fundou mesmo, com seus trabalhos, um conjunto de novos ramos da matemática, como a topologia ou a teoria qualitativa das equações diferenciais,e as suas idéias seminais continuaram a influenciar decisivamente toda a investigação matemática do século XX, estando presente, como um espírito que assombra uma casa, em ramos da matemática cuja fundação é posterior à sua morte, como a topologia algébrica ou a geometria diferencial. O seu papel na história, como sendo o primeiro,e durante muito tempo o único, a dar-se conta da catástrofe conceitual que representava para os dogmas e convicções da física-matemática do seu tempo o fenômeno da Bifurcação Homoclínica, que só veio a ser redescoberto e valorizado oitenta anos depois, é paradigmático: o seu espírito profundo e penetrante continua a assombrar a grande casa da ciência.
Honra lhe seja feita: Poincaré merece, de fato, um lugar no pedestal dos grandes da ciência, ao lado de um Galileu, de um Newton, de um Darwin ou de um Einstein.
Qual a razão profunda do desconhecimento, por parte do grande público, da importância de Poincaré? O problema é complicado. Creio que não reside em Poincaré, mas sim na natureza da ciência que o apaixonou e a que se dedicou, radicalmente diferente da das ciências naturais. Cito, de memória, Leopold Kronecker: "A essência da matemática é a liberdade". A meu ver, esta frase resume uma característica fundamental da matemática, em contraposição às ciências naturais: estas, por mais abstratas e elaboradas que se sejam as teorias, estão confinadas a debater problemas relativos ao mundo natural, físico, químico ou biológico, e estão portanto sempre sujeitas ao veredicto final que a Natureza, através da experiência, decida conferir-lhes sobre a sua validade, enquanto que a matemática lida com um mundo puro de idéias. O próprio objeto da matemática são as idéias e não o mundo real. Enquanto se pode determinar se, por exemplo, uma teoria física está errada extraindo-lhe previsões concretas sobre o mundo real, que depois se verifica não estarem corretas, em matemática não existe tal critério de verdade. O único critério de verdade matemático é o da correção lógica dos resultados. Deste ponto de vista, a liberdade do matemático é muito maior do que a do cientista natural: um conjunto de idéias muito belas só pode ser refutado se estiver logicamente incorreto, e nunca por confronto com a Natureza. Se não estiver incorreto, ganhou direitos de cidadania na sua ciência. Por exemplo, o estatuto matemático das geometria euclidianas e não euclidianas é idêntico, independentemente de qual seja a geometria real do nosso universo; nenhuma é matematicamente "mais verdadeira" do que as outras. Já do ponto de vista físico isto não se passa...
Nesta perpectiva, a atividade matemática está muito mais próxima da artística do que da propriamente científica: a liberdade do matemático está mais próxima da do artista do que da do cientista natural.
Será esta a razão pela qual é mais difícil o grande público valorizar a atividade de uma matemático como Poincaré do que a de um físico como Einstein? O fato de, uma vez que a matemática lida com um mundo de idéias, e não com o mundo real, não existirem fatos concretos e palpáveis - desvios gravitacionais, ou sínteses de Miller-Urey, ou fósseis, ou bombas nucleares - para apresentar às pessoas, mas apenas idéias - distribuição de primos, ou teorema de Cauchy, ou conjectura de Poincaré, ou teorema de Atiyah-Singer-, poderá fazer com que o público tenha dificuldade em aperceber-se da real importância da matemática no conjunto das ciências? É possivel, embora tal seja demasiado complexo para poder ser aqui tratado.
Hoje em dia, no final do século XX, seria quase um insulto perguntar a alguém se sabe quem foi Albert Einstein. Na verdade, a importância do seu trabalho não é ignorada por ninguém, embora, compreensivelmente, a natureza e os pormenores deste o sejam por muitos. A sua imagem, que se tornou emblemática na sociedade moderna, é reconhecida por todos, tendo-se tornado (ao contrário, estou convencido, do que o próprio Einstein teria gostado) símbolo de valores como pensamento, profundidade, transformação do mundo pela reflexão e outros proventura menos nobres mas bem explorados pela indústria do marketing. Einstein é o paradigma da genialidade: o homem é a imagem do gênio.
Devo dizer que concordo sem restrições, por razões que não vêm aqui a propósito, com a genialidade ímpar de Einstein. A questão é que, tal como a física, também a matemática teve o seu gênio ímpar, o seu Einstein. E no entanto, alguém se sentiria insultado ao ser-lhe perguntado se conhecia Henri Poicaré?
Dificilmente se encontrará, na história da ciência dos últimos dois séculos, figura mais capaz de ombrear com Einstein do que Henri Poincaré, o último universalista. Poincaré não só deixou uma vastíssima e importantíssima obra em todos os campos da matemática, e mesmo da física, do seu tempo, como a mecânica clássica, mecânica celeste, física matemática, teoria dos números, teoria das funções, equações diferenciais ou análise real e complexa ( a propósito deste paralelo, é curioso referir que Poincaré atingiu, independentemente de Einstein e ao mesmo tempo que este, em 1905, uma formulação da teoria da relatividade restrita), como também fundou mesmo, com seus trabalhos, um conjunto de novos ramos da matemática, como a topologia ou a teoria qualitativa das equações diferenciais,e as suas idéias seminais continuaram a influenciar decisivamente toda a investigação matemática do século XX, estando presente, como um espírito que assombra uma casa, em ramos da matemática cuja fundação é posterior à sua morte, como a topologia algébrica ou a geometria diferencial. O seu papel na história, como sendo o primeiro,e durante muito tempo o único, a dar-se conta da catástrofe conceitual que representava para os dogmas e convicções da física-matemática do seu tempo o fenômeno da Bifurcação Homoclínica, que só veio a ser redescoberto e valorizado oitenta anos depois, é paradigmático: o seu espírito profundo e penetrante continua a assombrar a grande casa da ciência.
Honra lhe seja feita: Poincaré merece, de fato, um lugar no pedestal dos grandes da ciência, ao lado de um Galileu, de um Newton, de um Darwin ou de um Einstein.
Qual a razão profunda do desconhecimento, por parte do grande público, da importância de Poincaré? O problema é complicado. Creio que não reside em Poincaré, mas sim na natureza da ciência que o apaixonou e a que se dedicou, radicalmente diferente da das ciências naturais. Cito, de memória, Leopold Kronecker: "A essência da matemática é a liberdade". A meu ver, esta frase resume uma característica fundamental da matemática, em contraposição às ciências naturais: estas, por mais abstratas e elaboradas que se sejam as teorias, estão confinadas a debater problemas relativos ao mundo natural, físico, químico ou biológico, e estão portanto sempre sujeitas ao veredicto final que a Natureza, através da experiência, decida conferir-lhes sobre a sua validade, enquanto que a matemática lida com um mundo puro de idéias. O próprio objeto da matemática são as idéias e não o mundo real. Enquanto se pode determinar se, por exemplo, uma teoria física está errada extraindo-lhe previsões concretas sobre o mundo real, que depois se verifica não estarem corretas, em matemática não existe tal critério de verdade. O único critério de verdade matemático é o da correção lógica dos resultados. Deste ponto de vista, a liberdade do matemático é muito maior do que a do cientista natural: um conjunto de idéias muito belas só pode ser refutado se estiver logicamente incorreto, e nunca por confronto com a Natureza. Se não estiver incorreto, ganhou direitos de cidadania na sua ciência. Por exemplo, o estatuto matemático das geometria euclidianas e não euclidianas é idêntico, independentemente de qual seja a geometria real do nosso universo; nenhuma é matematicamente "mais verdadeira" do que as outras. Já do ponto de vista físico isto não se passa...
Nesta perpectiva, a atividade matemática está muito mais próxima da artística do que da propriamente científica: a liberdade do matemático está mais próxima da do artista do que da do cientista natural.
Será esta a razão pela qual é mais difícil o grande público valorizar a atividade de uma matemático como Poincaré do que a de um físico como Einstein? O fato de, uma vez que a matemática lida com um mundo de idéias, e não com o mundo real, não existirem fatos concretos e palpáveis - desvios gravitacionais, ou sínteses de Miller-Urey, ou fósseis, ou bombas nucleares - para apresentar às pessoas, mas apenas idéias - distribuição de primos, ou teorema de Cauchy, ou conjectura de Poincaré, ou teorema de Atiyah-Singer-, poderá fazer com que o público tenha dificuldade em aperceber-se da real importância da matemática no conjunto das ciências? É possivel, embora tal seja demasiado complexo para poder ser aqui tratado.
Pitágoras-Matemático
Pitágoras (c. 582-c. 500 a.C.), filósofo e matemático grego. Suas doutrinas influenciaram Platão. Até o ano 530 a.C., Pitágoras viveu em Crotona, uma colônia grega ao sul da Itália, onde fundou um movimento com propósitos religiosos, políticos e filosóficos, conhecido como pitagorismo. Sua filosofia só é conhecida através da obra de seus discípulos.
Os pitagóricos aconselhavam obediência, silêncio, abstinência de alimentos, simplicidade no vestir e nas posses e o hábito da auto-análise. Acreditavam na imortalidade e na transmigração da alma.
Entre as amplas investigações matemáticas realizadas pelos pitagóricos destacam-se os estudos dos números pares e ímpares, dos números primos e dos quadrados. Através destes estudos, foi estabelecido uma base científica para a matemática. Em geometria, a grande descoberta da escola foi o teorema da hipotenusa, conhecido como teorema de Pitágoras. A astronomia dos pitagóricos marcou um importante avanço no pensamento científico clássico já que foram eles os primeiros a considerar a Terra como um globo que gira, junto a outros planetas, em torno de um fogo central.
Os pitagóricos aconselhavam obediência, silêncio, abstinência de alimentos, simplicidade no vestir e nas posses e o hábito da auto-análise. Acreditavam na imortalidade e na transmigração da alma.
Entre as amplas investigações matemáticas realizadas pelos pitagóricos destacam-se os estudos dos números pares e ímpares, dos números primos e dos quadrados. Através destes estudos, foi estabelecido uma base científica para a matemática. Em geometria, a grande descoberta da escola foi o teorema da hipotenusa, conhecido como teorema de Pitágoras. A astronomia dos pitagóricos marcou um importante avanço no pensamento científico clássico já que foram eles os primeiros a considerar a Terra como um globo que gira, junto a outros planetas, em torno de um fogo central.
quinta-feira, 7 de janeiro de 2010
Pascal-Matemático
Blaise Pascal, francês, tinha como o pai, Etienne Pascal, inclinação para Matemática.
Pascal, aos doze anos, participava com seu pai de reuniões informais na Academia de Mersenne em Paris, onde conheceu as idéias de Desargues. Baseado nelas, aos dezesseis anos publicou "Ensaio para as Cônicas" com apenas uma página mas a de maior importância para a História. Nela estava o Teorema de Pascal sobre hexágonos inscritos numa cônica, a partir do que deduziria muitos corolários como, por exemplo, o que dá a construção da tangente a uma cônica por um ponto dela.
Aos dezoito anos Pascal dedicou-se à construção de uma máquina de calcular e no ano seguinte vendeu aproximadamente cinqüenta delas.
Em 1648 interessou-se por hidrostática do que resultaram experiências sobre peso do ar e pressão de fluidos.
Em 1654 voltou à Matemática com o trabalho "Obra Completa sobre Cônicas", que não chegou a ser publicada mas onde, segundo Leibniz, se utilizava de métodos sintéticos pois, Pascal não dava a merecida atenção e importância ao uso da álgebra simbólica e suas notações, estando neste aspecto bem atrasado em relação a seu tempo.
Em uma carta enviada a Fermat, Pascal dá o ponto de partida real para a moderna teoria das probabilidades, ligando este assunto ao triângulo aritmético de Cardan, que, desde então, é conhecido como "triângulo de Pascal", descobrindo algumas novas propriedades.
Em 1654, com habilidade excepcional no esclarecimento de conceitos, torna-se responsável, com Ferrnat e outros, pelo desenvolvimento dos métodos intuitivos ou "indução matemática".
A 23 de novembro de 1654 Pascal abandona a Matemática e Ciencia, dedicando-se inteiramente à Teologia sobre qual escreveu a obra "Cartas Provinciais" e "Pensamentos".
Mas, numa noite de 1658, impedido de dormir por uma dor de dentes ou mal estar e, para distrair-se, começou a estudar as ciclóides, achando volumes, áreas e centros de gravidade. A dor passou milagrosamente e Pascal tomou isso como sinal de aprovação de Deus ao seu estudo da Matemática. Esta foi a última notícia que se tem da obra deste matemático extremamente religioso.
Pascal, aos doze anos, participava com seu pai de reuniões informais na Academia de Mersenne em Paris, onde conheceu as idéias de Desargues. Baseado nelas, aos dezesseis anos publicou "Ensaio para as Cônicas" com apenas uma página mas a de maior importância para a História. Nela estava o Teorema de Pascal sobre hexágonos inscritos numa cônica, a partir do que deduziria muitos corolários como, por exemplo, o que dá a construção da tangente a uma cônica por um ponto dela.
Aos dezoito anos Pascal dedicou-se à construção de uma máquina de calcular e no ano seguinte vendeu aproximadamente cinqüenta delas.
Em 1648 interessou-se por hidrostática do que resultaram experiências sobre peso do ar e pressão de fluidos.
Em 1654 voltou à Matemática com o trabalho "Obra Completa sobre Cônicas", que não chegou a ser publicada mas onde, segundo Leibniz, se utilizava de métodos sintéticos pois, Pascal não dava a merecida atenção e importância ao uso da álgebra simbólica e suas notações, estando neste aspecto bem atrasado em relação a seu tempo.
Em uma carta enviada a Fermat, Pascal dá o ponto de partida real para a moderna teoria das probabilidades, ligando este assunto ao triângulo aritmético de Cardan, que, desde então, é conhecido como "triângulo de Pascal", descobrindo algumas novas propriedades.
Em 1654, com habilidade excepcional no esclarecimento de conceitos, torna-se responsável, com Ferrnat e outros, pelo desenvolvimento dos métodos intuitivos ou "indução matemática".
A 23 de novembro de 1654 Pascal abandona a Matemática e Ciencia, dedicando-se inteiramente à Teologia sobre qual escreveu a obra "Cartas Provinciais" e "Pensamentos".
Mas, numa noite de 1658, impedido de dormir por uma dor de dentes ou mal estar e, para distrair-se, começou a estudar as ciclóides, achando volumes, áreas e centros de gravidade. A dor passou milagrosamente e Pascal tomou isso como sinal de aprovação de Deus ao seu estudo da Matemática. Esta foi a última notícia que se tem da obra deste matemático extremamente religioso.
Lobachevski-matemático
Nicolai Lobachevsky nasceu na Rússia. Aos sete anos perdeu o pai. Apesar das dificuldades financeiras freqüentou a Universidade de Kazan, onde entrou em contato com professores vindos da Alemanha, entre eles Bartels, que havia ensinado Gauss. Deve-se a isto sua preferencia pela corrente alemã e geométrica, ao contrário de seu rival contemporâneo e também russo Ostrogradsky, que seguia as idéias francesas e a Análise de Cauchy.
Aos 21 anos Lobachevskv tornou-se professor na Universidade de Kazan onde mais tarde foi nomeado reitor, cargo que ocupou até o fim da vida.
Em 1823, em uma exposição, disse do postulado das paralelas de Euclides simplesmente que nunca foi descoberta uma prova rigorosa de sua validade" e em 1826 apresentou alguns teoremas sobre a nova teoria que defendia.
Em 1829 publicou um artigo "Sobre os Princípios da Geometria" que marca o nascimento da Geometria não euclidiana, ficando completamente convencido de que o quinto postulado de Euclides não pode ser provado com base nos outros quatro. Construiu esta nova geometria totalmente fundamentada na hipótese, contrária à de Euclides, de que "Por um ponto C fora de uma reta AB pode-se traçar mais de uma reta no plano que não encontra AB", parecia ela tão contraditória ao senso comum que o próprio Lobachevsky a chamou "Geometria imaginária". Por este resultado chamaram-no "Copérnico da Geometria", revolucionando o assunto e mostrando que a Geometria euclidiana não era a verdade absoluta suposta até então, e tornando necessário fazer-se uma revisão completa nos conceitos fundamentais da Matemática.
Em 1838 publicou "Novos Fundamentos da Geometria", em russo; em 1840 publicou "Invertigações geométricas sobre a teoria das para/elas", em alemão i finalmente em 1855 lançou seu livro "Pangeometria", em francês e russo. Lobachevsky nunca gozou de posição destacada na sociedade e era defensor entusiasta das causas liberais populares. Em 1842 foi eleito para a Sociedade Cientifica de Gottingen, porém suas descobertas só foram reconhecidas muito lentamente e este era seu maior desgosto. Os grandes matemáticos da época, como Gauss, tomando conhecimento de sua nova teoria elogiavam mas não tinham coragem de publicar comentários a respeito, com medo de serem ridicularizados.
Aos 21 anos Lobachevskv tornou-se professor na Universidade de Kazan onde mais tarde foi nomeado reitor, cargo que ocupou até o fim da vida.
Em 1823, em uma exposição, disse do postulado das paralelas de Euclides simplesmente que nunca foi descoberta uma prova rigorosa de sua validade" e em 1826 apresentou alguns teoremas sobre a nova teoria que defendia.
Em 1829 publicou um artigo "Sobre os Princípios da Geometria" que marca o nascimento da Geometria não euclidiana, ficando completamente convencido de que o quinto postulado de Euclides não pode ser provado com base nos outros quatro. Construiu esta nova geometria totalmente fundamentada na hipótese, contrária à de Euclides, de que "Por um ponto C fora de uma reta AB pode-se traçar mais de uma reta no plano que não encontra AB", parecia ela tão contraditória ao senso comum que o próprio Lobachevsky a chamou "Geometria imaginária". Por este resultado chamaram-no "Copérnico da Geometria", revolucionando o assunto e mostrando que a Geometria euclidiana não era a verdade absoluta suposta até então, e tornando necessário fazer-se uma revisão completa nos conceitos fundamentais da Matemática.
Em 1838 publicou "Novos Fundamentos da Geometria", em russo; em 1840 publicou "Invertigações geométricas sobre a teoria das para/elas", em alemão i finalmente em 1855 lançou seu livro "Pangeometria", em francês e russo. Lobachevsky nunca gozou de posição destacada na sociedade e era defensor entusiasta das causas liberais populares. Em 1842 foi eleito para a Sociedade Cientifica de Gottingen, porém suas descobertas só foram reconhecidas muito lentamente e este era seu maior desgosto. Os grandes matemáticos da época, como Gauss, tomando conhecimento de sua nova teoria elogiavam mas não tinham coragem de publicar comentários a respeito, com medo de serem ridicularizados.
quarta-feira, 6 de janeiro de 2010
John- Napier - Matemático
Napier viveu 67 anos, entre 1550 a 1617, na época do Renascimento. Shakespeare, na Inglaterra, com a fama de maior dramaturgo de todos os tempos, publicava Sonhos de uma Noite de Verão, Hamlet, O Mercador de Veneza, Otelo e Romeu e Julieta.
Miguel de Cervantes, na Espanha, escrevia um dos livros mais famosos da literatura mundial: Dom Quixote, no qual criticava a cultura medieval, na figura grotesca de seu personagem que investe contra moinhos de vento por imaginar estar lutando com gigantes.
Luis de Camões, em Portugal, lança seu Lusíadas, que traduz a epopéia do povo português conquistador dos mares. O livro, com seus poemas épicos, narra as inúmeras viagens do navegante e descobridor Vasco da Gama.
Martinho Lutero, fanático religioso alemão, defende suas idéias sobre a tendência dos católicos: serem donos do mundo material e espiritual. Seus pensamentos produzirão uma crise religiosa de proporções comprometedoras para o futuro da Igreja.
No século XVI acontecem profundas modificações políticas e econômicas na Europa, que, impulsionada pelo capitalismo e futuramente pela Revolução Industrial, induzira o nascimento de uma burguesia poderosa. Surgem então condições financeiras para o desenvolvimento da cultura européia.
Matemático escocês, John Napier, barão de Merchiston, nasceu no castelo de Merchiston, nas proximidades. de Edimburgo, no ano de 1550. Ao contrário de muitos homens importantes para a ciência, Napier viveu cercado de luxo: farta comida, boas roupas, excelentes professores, carruagens, enfim, tudo o que o dinheiro pode comprar. Seu tio materno, Adam Bothwere - primeiro bispo de Orkney, amigo do rei Jaime VI-, e seu pai possuíam grande influência política e financeira na Escócia daqueles dias. A família Napier detinha a cobiçada posição de estar entre as vinte maiores fortunas da Europa.
Desde pequeno, Napier mostrou-se diferente dos demais jovens da sua classe social. Em vez de dedicar-se à caça e à guerra, preferia as atividades intelectuais. Revelou-se brilhante estudioso, péssimo caçador e desajeitado guerreiro. Dotado de temperamento irascível, em uma tarde de 1569 procurou o seu vizinho, lorde Kalliran, para reclamar que seus pombos estavam invadindo o castelo de Merchiston e quebrando o silencio sepulcral de que precisava para estudar. Como Kalliran não tomasse nenhuma providência, não teve dúvidas: envenenou todos os pombos espalhando pelo castelo grãos de milho recheados com cianureto.
"...todos que me conhecem sabem
que detesto barulho. O silêncio é
o melhor aliado que um homem
pode ter para conhecer a natureza e
a si próprio. Detesto pombos..."
Ate os doze anos Napier teve aulas particulares em seu castelo, com importante professores escoceses, especialmente contratados por seu pai. Aos treze anos, ingressou na Universidade de St. Andrews, destacando-se como um dos melhores alunos. Por sua grande capacidade intelectual, o bispo de Orkney sugeriu à família de Napier que o mandasse à França, onde poderia ter acesso a mestres que então revolucionavam a Matemática e a Filosofia. Assim Napier foi para a França, onde só ficaria durante um ano, pois sentia falta da família e de Merchiston.
Ao regressar ao seu castelo, Napier trouxe consigo cinco professores de Matemática para ensiná-lo. Além da Matemática, passou a interessar-se por Teologia; prova disto é o livro que publicou em 1593 Descoberta evidente de toda Revelaçã0 de São João, onde critica radicalmente a Igreja, fazendo suas próprias interpretações das escrituras bíblicas:
"Deve-se interpretar a Bíblia de
um modo mais cientifico e menos
fanático".
Os assuntos tratados no livro são fúteis, sem nenhum conteúdo filosófico, mas nota-se que Napier assimilara a maneira grega de raciocinar. É interessante verificar que este seu livro, no qual afirma ser o papa o anticristo, teve vinte edições consecutivas em sua época, ao contrário de Miriftci Logarithmorum Canonís Discriptio (Uma Maravilhosa Descrição das Leis da Evolução), obra de arte em que cria os logaritmos e que teve apenas duas edições: 1614 e 1619.
"... ultimamente (1581) tenho dedicado o meu tempo a interpretação de uma outra forma de se fazer Matemática. Estudo também, a pedido do rei, máquinas de guerra..."
Napier ficou conhecido em toda a Escócia, no ano de 1585, quando inventou várias máquinas destinadas à guerra. Seus engenhos militares eram capazes de arremessar bolas de ferro a metros de distância, com uma precisão muito boa para a tecnologia da época. Napier iria arrepender-se por tais estudos e construções, condenando-se por ter dado a seus patrícios o poder da destruição.
Em 1590 descobriu os logaritmos e tornou-se famoso internacionalmente, passando a ser considerado um grande matemático e, principalmente, eficaz colaborador na resolução dos complicados problemas que apareciam na Astronomia. Esta descoberta revelou-se uma das mais importantes concepções matemáticas criadas pelo homem, antecipando os computadores na solução de contas indigestas. Os logaritmo eram não só um artifício que simplificava de maneira considerável a computação aritmética, mas também um incremento ao princípios fundamentais da análise matemática. A partir deles, sentiu-se necessidade de criar nova estrutura filosófica para comportar e interpretar tal instrumento de cálculo.
A descoberta dos logaritmos aconteceu quando Napier procurava uma relação de correspondência entre as progressões aritméticas e as progressões geométricas, quando teria escrito em latim:
Logarithmorum 2 basis 2 aequales 1.
Logarithmorum 4 basis 2 aequales 2.
Logarithmorum 8 basís 2 aequales 3.
E em português:
A evolução de 2 na base 2 é igual a 1.
A evolução de 4 na base 2 é igual a 2.
A evolução de 8 na base 2 é igual a 3.
A notação dos logaritmos como a conhecemos hoje é devida ao astrônomo e matemático Kepler que, em suas publicações de 1621, 1622 e 1624, escreveu respectivamente:
Logarithmorum 8basis 2 aequales 3
Logarithm 8 b2 = 3
Log2 8 = 3
Bonaventura Cavalieri, matemático italiano, foi o segundo a utilizar-se dessa notação simplificada no seu Directorium Generalis Uranometricum (Dados Gerais Medidos), escrito em 1632.
A descoberta de Napier seria de extrema importância para o Cálculo Diferencial, que surgiria tempos depois. Após a formalização da técnica, passou a trabalhar na construção de tábuas logarítmicas, que seriam publicadas posteriormente.
Mesmo antes de sua publicação, as tabelas despertariam grande curiosidade, principalmente em astrônomos como Tycho Brahe, que viu nos logaritmos um instrumento de trabalho muito importante, por minimizar o tempo gasto na resolução do cálculos das órbitas dos planetas.
O barão de Merchiston teve uma preocupação grande com o ensino da Aritmética; chegou mesmo a escrever, em 1617 um livro sobre educação matemática - Rabdologia - Nemerationis per Vírgulas Livri Duo (Dois Livros sobre as Operações dos Números com a Ajuda de Vírgulas). Neste introduziu, entre outras coisas, um processo muito criativo de agrupar números
Estrutura - a
9.9 + 7 = 88
98.9 + 6 = 888
987.9 + 5 = 8888
9876.9 + 4 = 88888
98765.9 + 3 = 888888
987654.9 + 2 = 8888888
9876543.9 + 1 = 8888888
98765432.9 + 0 = 888888888
Estrutura b
12345679.09 = 111111111
12345679.18 = 222222222
12345679.27 = 333333333
12345679.36 = 444444444
12345679.45 = 555555555
12345679.54 = 666666666
12345679.63 = 777777777
12345679.72 = 888888888
12345679.81 = 999999999
O ponto máximo do seu Rabdologia, porém, é o processo para multiplicar dois números, mundialmente conhecido como Método das Tiras de Napier.
".... chamo de Tira ao processo que inventei para multiplicar dois números. Esse trabalho resultou da dificuldade que verifico em fazermos contas com os algoritmos modernos (1617). Todos são pobres e nada práticos De certo modo, as escolas e seus professores devém se preocupar em não confundir o pensamento dos seus alunos. Pois bem. se continuarem a ensinar esses processos de multiplicação e não a Tira, sabe-se que..."
".... descobri esse novo método de multiplicar dois números enquanto brincava com seqüências. Escrevia diversos números em fitas de papel e as deslocava para cima e para baixo: procurava uma lógica. Ficava horas e mesmo dias brincando...,'
Napier morreu a 4 de abril de 1617 em seu castelo de Merchiston, aos 67 anos vítima de um ataque cardíaco.
Miguel de Cervantes, na Espanha, escrevia um dos livros mais famosos da literatura mundial: Dom Quixote, no qual criticava a cultura medieval, na figura grotesca de seu personagem que investe contra moinhos de vento por imaginar estar lutando com gigantes.
Luis de Camões, em Portugal, lança seu Lusíadas, que traduz a epopéia do povo português conquistador dos mares. O livro, com seus poemas épicos, narra as inúmeras viagens do navegante e descobridor Vasco da Gama.
Martinho Lutero, fanático religioso alemão, defende suas idéias sobre a tendência dos católicos: serem donos do mundo material e espiritual. Seus pensamentos produzirão uma crise religiosa de proporções comprometedoras para o futuro da Igreja.
No século XVI acontecem profundas modificações políticas e econômicas na Europa, que, impulsionada pelo capitalismo e futuramente pela Revolução Industrial, induzira o nascimento de uma burguesia poderosa. Surgem então condições financeiras para o desenvolvimento da cultura européia.
Matemático escocês, John Napier, barão de Merchiston, nasceu no castelo de Merchiston, nas proximidades. de Edimburgo, no ano de 1550. Ao contrário de muitos homens importantes para a ciência, Napier viveu cercado de luxo: farta comida, boas roupas, excelentes professores, carruagens, enfim, tudo o que o dinheiro pode comprar. Seu tio materno, Adam Bothwere - primeiro bispo de Orkney, amigo do rei Jaime VI-, e seu pai possuíam grande influência política e financeira na Escócia daqueles dias. A família Napier detinha a cobiçada posição de estar entre as vinte maiores fortunas da Europa.
Desde pequeno, Napier mostrou-se diferente dos demais jovens da sua classe social. Em vez de dedicar-se à caça e à guerra, preferia as atividades intelectuais. Revelou-se brilhante estudioso, péssimo caçador e desajeitado guerreiro. Dotado de temperamento irascível, em uma tarde de 1569 procurou o seu vizinho, lorde Kalliran, para reclamar que seus pombos estavam invadindo o castelo de Merchiston e quebrando o silencio sepulcral de que precisava para estudar. Como Kalliran não tomasse nenhuma providência, não teve dúvidas: envenenou todos os pombos espalhando pelo castelo grãos de milho recheados com cianureto.
"...todos que me conhecem sabem
que detesto barulho. O silêncio é
o melhor aliado que um homem
pode ter para conhecer a natureza e
a si próprio. Detesto pombos..."
Ate os doze anos Napier teve aulas particulares em seu castelo, com importante professores escoceses, especialmente contratados por seu pai. Aos treze anos, ingressou na Universidade de St. Andrews, destacando-se como um dos melhores alunos. Por sua grande capacidade intelectual, o bispo de Orkney sugeriu à família de Napier que o mandasse à França, onde poderia ter acesso a mestres que então revolucionavam a Matemática e a Filosofia. Assim Napier foi para a França, onde só ficaria durante um ano, pois sentia falta da família e de Merchiston.
Ao regressar ao seu castelo, Napier trouxe consigo cinco professores de Matemática para ensiná-lo. Além da Matemática, passou a interessar-se por Teologia; prova disto é o livro que publicou em 1593 Descoberta evidente de toda Revelaçã0 de São João, onde critica radicalmente a Igreja, fazendo suas próprias interpretações das escrituras bíblicas:
"Deve-se interpretar a Bíblia de
um modo mais cientifico e menos
fanático".
Os assuntos tratados no livro são fúteis, sem nenhum conteúdo filosófico, mas nota-se que Napier assimilara a maneira grega de raciocinar. É interessante verificar que este seu livro, no qual afirma ser o papa o anticristo, teve vinte edições consecutivas em sua época, ao contrário de Miriftci Logarithmorum Canonís Discriptio (Uma Maravilhosa Descrição das Leis da Evolução), obra de arte em que cria os logaritmos e que teve apenas duas edições: 1614 e 1619.
"... ultimamente (1581) tenho dedicado o meu tempo a interpretação de uma outra forma de se fazer Matemática. Estudo também, a pedido do rei, máquinas de guerra..."
Napier ficou conhecido em toda a Escócia, no ano de 1585, quando inventou várias máquinas destinadas à guerra. Seus engenhos militares eram capazes de arremessar bolas de ferro a metros de distância, com uma precisão muito boa para a tecnologia da época. Napier iria arrepender-se por tais estudos e construções, condenando-se por ter dado a seus patrícios o poder da destruição.
Em 1590 descobriu os logaritmos e tornou-se famoso internacionalmente, passando a ser considerado um grande matemático e, principalmente, eficaz colaborador na resolução dos complicados problemas que apareciam na Astronomia. Esta descoberta revelou-se uma das mais importantes concepções matemáticas criadas pelo homem, antecipando os computadores na solução de contas indigestas. Os logaritmo eram não só um artifício que simplificava de maneira considerável a computação aritmética, mas também um incremento ao princípios fundamentais da análise matemática. A partir deles, sentiu-se necessidade de criar nova estrutura filosófica para comportar e interpretar tal instrumento de cálculo.
A descoberta dos logaritmos aconteceu quando Napier procurava uma relação de correspondência entre as progressões aritméticas e as progressões geométricas, quando teria escrito em latim:
Logarithmorum 2 basis 2 aequales 1.
Logarithmorum 4 basis 2 aequales 2.
Logarithmorum 8 basís 2 aequales 3.
E em português:
A evolução de 2 na base 2 é igual a 1.
A evolução de 4 na base 2 é igual a 2.
A evolução de 8 na base 2 é igual a 3.
A notação dos logaritmos como a conhecemos hoje é devida ao astrônomo e matemático Kepler que, em suas publicações de 1621, 1622 e 1624, escreveu respectivamente:
Logarithmorum 8basis 2 aequales 3
Logarithm 8 b2 = 3
Log2 8 = 3
Bonaventura Cavalieri, matemático italiano, foi o segundo a utilizar-se dessa notação simplificada no seu Directorium Generalis Uranometricum (Dados Gerais Medidos), escrito em 1632.
A descoberta de Napier seria de extrema importância para o Cálculo Diferencial, que surgiria tempos depois. Após a formalização da técnica, passou a trabalhar na construção de tábuas logarítmicas, que seriam publicadas posteriormente.
Mesmo antes de sua publicação, as tabelas despertariam grande curiosidade, principalmente em astrônomos como Tycho Brahe, que viu nos logaritmos um instrumento de trabalho muito importante, por minimizar o tempo gasto na resolução do cálculos das órbitas dos planetas.
O barão de Merchiston teve uma preocupação grande com o ensino da Aritmética; chegou mesmo a escrever, em 1617 um livro sobre educação matemática - Rabdologia - Nemerationis per Vírgulas Livri Duo (Dois Livros sobre as Operações dos Números com a Ajuda de Vírgulas). Neste introduziu, entre outras coisas, um processo muito criativo de agrupar números
Estrutura - a
9.9 + 7 = 88
98.9 + 6 = 888
987.9 + 5 = 8888
9876.9 + 4 = 88888
98765.9 + 3 = 888888
987654.9 + 2 = 8888888
9876543.9 + 1 = 8888888
98765432.9 + 0 = 888888888
Estrutura b
12345679.09 = 111111111
12345679.18 = 222222222
12345679.27 = 333333333
12345679.36 = 444444444
12345679.45 = 555555555
12345679.54 = 666666666
12345679.63 = 777777777
12345679.72 = 888888888
12345679.81 = 999999999
O ponto máximo do seu Rabdologia, porém, é o processo para multiplicar dois números, mundialmente conhecido como Método das Tiras de Napier.
".... chamo de Tira ao processo que inventei para multiplicar dois números. Esse trabalho resultou da dificuldade que verifico em fazermos contas com os algoritmos modernos (1617). Todos são pobres e nada práticos De certo modo, as escolas e seus professores devém se preocupar em não confundir o pensamento dos seus alunos. Pois bem. se continuarem a ensinar esses processos de multiplicação e não a Tira, sabe-se que..."
".... descobri esse novo método de multiplicar dois números enquanto brincava com seqüências. Escrevia diversos números em fitas de papel e as deslocava para cima e para baixo: procurava uma lógica. Ficava horas e mesmo dias brincando...,'
Napier morreu a 4 de abril de 1617 em seu castelo de Merchiston, aos 67 anos vítima de um ataque cardíaco.
Hibert-matemático
Os conjuntos invadem a geometria
David Hilbert nasceu em Konigsberg, na Prússia Oriental.
Dinâmico e com idéias notavelmente originais, participou de quase todos os Congressos internacionais de Matemática que, a partir de 1893, eram realizados com freqüência.
Em 1899 publicou os "Fundamentos da Geometria",que exerceu grande influência sobre a Matemática do século XX.
Hilbert percebeu que nem todos os termos podem ser definidos e por esta razão iniciou sua Geometria com três objetos não definidos-ponto, reta e plano- e seis relações não definidas - estar sobre, estar em, ser congruente, ser paralelo e ser contínuo -, formulando vinte e um postulados conhecidos como Axiomas de Hilbert. A Teoria dos Conjuntos passa a invadir a Geometria num grau crescente de generalização e abstração.
Em 1900, Hilbert já era afamado professor em Gottingem, Alemanha, e depois de muito analisar as pesquisas dos fins do século XIX, durante sua participação no Congresso de Paris, apresentou e propôs vinte e três problemas os quais, segundo acreditava, ocupariam a atenção dos matemáticos do século XX, numa tentativa de prenunciar os rumos que tomaria o progresso neste século. Dizia ele: "se quisermos ter uma idéia do desenvolvimento provável do conhecimento matemático no futuro imediato devemos fazer passar por nossas mentes as questões não resolvidas e olhar os problemas que a Ciência de hoje coloca e cujas soluções esperamos no futuro. Destes problemas, o primeiro trata de Teoria dos conjuntos o segundo é sobre os axiomas da Matemática, e os outros são sobre Topologia, Equações Diferenciais, Cálculo das Variações e demais campos. Pode-se afirmar que muitos deles ainda não estão resolvidos e que a Matemática neste século se desenvolveu em muitas direções não previstas como disse o próprio Hilbert: "enquanto um ramo da Ciência oferece uma abundância de problemas, ele está vivo".
Depois do Congresso de 1900, os matemáticos se agruparam em duas escolas, dependendo da sua linha de pensamento: os "formalistas" liderados por Hilbert, e os "logicistas" tendo à frente Russel.
Hilbert interessou-se por todos os aspectos da Matemática Pura, contribuindo para a Teoria dos Números, Lógica Matemática, Equações Diferenciais e também para a Física Matemática, sendo considerado uma figura importante de transição entre os séculos XIX e XX.
David Hilbert nasceu em Konigsberg, na Prússia Oriental.
Dinâmico e com idéias notavelmente originais, participou de quase todos os Congressos internacionais de Matemática que, a partir de 1893, eram realizados com freqüência.
Em 1899 publicou os "Fundamentos da Geometria",que exerceu grande influência sobre a Matemática do século XX.
Hilbert percebeu que nem todos os termos podem ser definidos e por esta razão iniciou sua Geometria com três objetos não definidos-ponto, reta e plano- e seis relações não definidas - estar sobre, estar em, ser congruente, ser paralelo e ser contínuo -, formulando vinte e um postulados conhecidos como Axiomas de Hilbert. A Teoria dos Conjuntos passa a invadir a Geometria num grau crescente de generalização e abstração.
Em 1900, Hilbert já era afamado professor em Gottingem, Alemanha, e depois de muito analisar as pesquisas dos fins do século XIX, durante sua participação no Congresso de Paris, apresentou e propôs vinte e três problemas os quais, segundo acreditava, ocupariam a atenção dos matemáticos do século XX, numa tentativa de prenunciar os rumos que tomaria o progresso neste século. Dizia ele: "se quisermos ter uma idéia do desenvolvimento provável do conhecimento matemático no futuro imediato devemos fazer passar por nossas mentes as questões não resolvidas e olhar os problemas que a Ciência de hoje coloca e cujas soluções esperamos no futuro. Destes problemas, o primeiro trata de Teoria dos conjuntos o segundo é sobre os axiomas da Matemática, e os outros são sobre Topologia, Equações Diferenciais, Cálculo das Variações e demais campos. Pode-se afirmar que muitos deles ainda não estão resolvidos e que a Matemática neste século se desenvolveu em muitas direções não previstas como disse o próprio Hilbert: "enquanto um ramo da Ciência oferece uma abundância de problemas, ele está vivo".
Depois do Congresso de 1900, os matemáticos se agruparam em duas escolas, dependendo da sua linha de pensamento: os "formalistas" liderados por Hilbert, e os "logicistas" tendo à frente Russel.
Hilbert interessou-se por todos os aspectos da Matemática Pura, contribuindo para a Teoria dos Números, Lógica Matemática, Equações Diferenciais e também para a Física Matemática, sendo considerado uma figura importante de transição entre os séculos XIX e XX.
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