Padre refugia-se na Matemática
Bernhard Bolzano nasceu e morreu em Praga, Tchecoslováquia, e embora fosse padre tinha idéias contrárias às da Igreja.
Suas descobertas matemáticas foram muito pouco reconhecidas por seus contemporâneos.
Em 1817 publicou o livro "Rein Analytisches Beweis (Prova puramente analítica), provando através de métodos aritméticos o teorema de locação em Álgebra, exigindo para isso um conceito não geométrico de continuidade de uma curva ou função.
Bolzano, a essa época, já havia percebido tão bem a necessidade de rigor em Análise, que Klein o chamou "pai da aritmetizaçao", embora tivesse menos influência que Cauchy com sua análise baseada em conceitos geométricos mas, embora os dois nunca tivessem se encontrado, suas definições de limite, derivada, continuidade e convergência eram bem semelhantes.
Em uma obra póstuma de 1850, Bolzano chegou a enunciar propriedades importantes dos conjuntos finitos e, apoiando-se nas teorias de Galileu, mostrou que existem tantos números reais entre O e 1, quanto entre O e 2, ou tantos em um segmento de reta de um centímetro quanto em um segmento de reta de dois centímetros.
Parece ter percebido que a infinidade de números reais é de tipo diferente de infinidade de números inteiros, sendo não enumeráveis, estando mais próximo da Matemática moderna do que qualquer um de seus contemporâneos.
Em 1834, Bolzano havia imaginado uma função contínua num intervalo e que não tinha derivada em nenhum ponto desse intervalo mas o exemplo dado não ficou conhecido em sua época, sendo todos os méritos dados a Weierstrass que se ocupou em redescobrir esses resultados, depois de cinqüenta anos. Conhecemos hoje como teorema de Bolzaro-Weierstrass aquele segundo o qual um conjunto limitado contendo infinitos elementos, pontos ou números, tem ao menos um ponto de acumulação.
O mesmo aconteceu com os critérios de convergência de séries infinitas que levam hoje o nome de Cauchy e assim também com outros resultados.
Há quem diga que Bolzano era "uma voz clamando no deserto".
domingo, 3 de janeiro de 2010
Bhaskara-Matematico
A Índia foi berço de nascimento de um dos maiores matemáticos do mundo, Bhaskara.
... nasci na cidade de Ujein, às margens do rio local, de uma mulher que possuía uma boa saúde, mas, por infelicidade e complicação de parto, morreu ao me dar à luz em 1114. Meu pai era um alto funcionário do marajá local, e isso permitiu que eu tivesse oportunidade de me instruir nas ciências e nas leis.
Com a morte de seu pai, em 1134, Bhaskara assumiu o cargo de secretário do governo de Ujein, espécie de juiz especializado em inventários:
"...foi então que Brabmagta me convidou para ser o matemático do governo. Trabalhava particularmente com problemas de quadrado, os quais se relacionavam às partilhas dos inventários. Divertia-me resolvendo aqueles exercícios, que para muitos eram complicados, mas com minha técnica de solução...
O que Bhaskara chama de problemas de quadrado refere-se hoje as equações do segundo grau.
... o quadrado da quantidade de ouro referente ao primeiro Órfão mais três vezes essa mesma quantidade doada ao seguinte órfão deverá ser igual, por Justiça, a trinta e oito gramas...
Bhaskara imortalizou-se aos 25 anos quando escreveu seu célebre Lilavati Vijaganita Grahagonita Gola, cujas palavras traduzidas individualmente, são: bonita cálculo - planetas - esfera. Aparentemente o manuscrito que teria sido escrito por Bhaskara e achado em Cachemira no século passado era dividido em quatro capítulos: Poesia, Matemática, Astronomia e Geometria. Daí o título confuso. É interessante notar que o trabalho desse matemático é todo escrito em versos destinados a sua filha:
"...minha filha, minha filha, a coisa mais bonita da Índia, me fale de suas dúvidas. Oh, querida, você esteve a tarde contando macacos, uns estavam nas arvores, outros no alto da montanha.....
O Lilavati Vijaganita traz ao público inúmeras descobertas de seu autor, sendo a mais célebre a fórmula que resolve as equações do segundo grau, seguida da clássica regra de três que Bhaskara chamou regra de quatro (três valores conhecidos e um desconhecido). Aparece também o valor de p como sendo 3, 14, resquícios da trigonometria de Ptolomeu e o Teorema de Pitágoras
minha filha Lilavati tem me questionado sobre os valores do lado oposto e adjacente de um triângulo retângulo.
Os gregos nos ensinaram a responder sobre o seno e o co-seno de um ângulo...
Nesse trecho do Lilavati víjaganita o autor chama sua filha de Lilavati, o que tem induzido muitos escritores a pensar que a melhor tradução do titulo de seu livro seja Matemática de Lilavati.
Sobre a filha de Bhaskara, existem duas versões nos textos antigos do século
XIII registrados pelos padres do mosteiro de Constantinopla:
"...quando os bárbaros invadiram a cidade de Uzein, seqüestraram todas as pessoas importantes, bem como seus bens. Lilavati tinha apenas treze anos. Seu pai, questionado pelos invasores sobre sua fórmula de resolver problemas, recusou-se a falar. Dizia tê-la esquecido já há muitos anos. Para ajuda-lo com a memória, levaram sua filha para o alto de uma torre, despiram-na e amarraram -lhe as pernas, abertas. Solta, ela deslizou sobre os bambus que conduziam a uma lâmina afiada que dividiu seu corpo em duas partes...
.... Bhaskara prometeu a Lilavati um horóscopo que identificasse o dia e hora ideal que deveria se casar. Uma vez determinado o momento, Lilavati esperou dois anos para desposar um jovem hindu. Quando faltavam alguns minutos para a cerimônia ao casamento, a jovem perdeu uma pérola que tinha pertencido à sua mãe e, entretida em procura-la, esqueceu do casamento. Bhaskara então recusou-se a casá-la e Lilavati cometeu suicídio...
A obra deste hindu traz, além de informações matemáticas, um raio X da sociedade de sua época. Relata que uma escrava alcançava preço máximo de quinze para dezesseis anos. Caso fosse bonita e virgem, valia oito bois; bonita e não virgem, quatro; feia e virgem, seis; e feia e não virgem, dois bois. Os juros praticados em seu tempo eram de quatro por cento ao mês, e o prazo de pagamento dos empréstimos não ultrapassava cinco meses. As dívidas não honradas davam ao credor o direito de escravizar a mulher e filhos do devedor, o qual, porém, não sofria nenhuma punição. Bhaskara teria escrito.
esses homens que pedem clemência, quando da execução judicial, não entendem nossas leis. Por que emprestam dinheiro e arrendam terras se sabem que não poderão cumprir com as dívidas contraídas? Minha função é julgar e partilhar como prescreve nosso livro maior (espécie de Constituição)...
Em 1185, Bhaskara, então com 71 anos, morreu afogado num rio onde teria ido nadar.
... nasci na cidade de Ujein, às margens do rio local, de uma mulher que possuía uma boa saúde, mas, por infelicidade e complicação de parto, morreu ao me dar à luz em 1114. Meu pai era um alto funcionário do marajá local, e isso permitiu que eu tivesse oportunidade de me instruir nas ciências e nas leis.
Com a morte de seu pai, em 1134, Bhaskara assumiu o cargo de secretário do governo de Ujein, espécie de juiz especializado em inventários:
"...foi então que Brabmagta me convidou para ser o matemático do governo. Trabalhava particularmente com problemas de quadrado, os quais se relacionavam às partilhas dos inventários. Divertia-me resolvendo aqueles exercícios, que para muitos eram complicados, mas com minha técnica de solução...
O que Bhaskara chama de problemas de quadrado refere-se hoje as equações do segundo grau.
... o quadrado da quantidade de ouro referente ao primeiro Órfão mais três vezes essa mesma quantidade doada ao seguinte órfão deverá ser igual, por Justiça, a trinta e oito gramas...
Bhaskara imortalizou-se aos 25 anos quando escreveu seu célebre Lilavati Vijaganita Grahagonita Gola, cujas palavras traduzidas individualmente, são: bonita cálculo - planetas - esfera. Aparentemente o manuscrito que teria sido escrito por Bhaskara e achado em Cachemira no século passado era dividido em quatro capítulos: Poesia, Matemática, Astronomia e Geometria. Daí o título confuso. É interessante notar que o trabalho desse matemático é todo escrito em versos destinados a sua filha:
"...minha filha, minha filha, a coisa mais bonita da Índia, me fale de suas dúvidas. Oh, querida, você esteve a tarde contando macacos, uns estavam nas arvores, outros no alto da montanha.....
O Lilavati Vijaganita traz ao público inúmeras descobertas de seu autor, sendo a mais célebre a fórmula que resolve as equações do segundo grau, seguida da clássica regra de três que Bhaskara chamou regra de quatro (três valores conhecidos e um desconhecido). Aparece também o valor de p como sendo 3, 14, resquícios da trigonometria de Ptolomeu e o Teorema de Pitágoras
minha filha Lilavati tem me questionado sobre os valores do lado oposto e adjacente de um triângulo retângulo.
Os gregos nos ensinaram a responder sobre o seno e o co-seno de um ângulo...
Nesse trecho do Lilavati víjaganita o autor chama sua filha de Lilavati, o que tem induzido muitos escritores a pensar que a melhor tradução do titulo de seu livro seja Matemática de Lilavati.
Sobre a filha de Bhaskara, existem duas versões nos textos antigos do século
XIII registrados pelos padres do mosteiro de Constantinopla:
"...quando os bárbaros invadiram a cidade de Uzein, seqüestraram todas as pessoas importantes, bem como seus bens. Lilavati tinha apenas treze anos. Seu pai, questionado pelos invasores sobre sua fórmula de resolver problemas, recusou-se a falar. Dizia tê-la esquecido já há muitos anos. Para ajuda-lo com a memória, levaram sua filha para o alto de uma torre, despiram-na e amarraram -lhe as pernas, abertas. Solta, ela deslizou sobre os bambus que conduziam a uma lâmina afiada que dividiu seu corpo em duas partes...
.... Bhaskara prometeu a Lilavati um horóscopo que identificasse o dia e hora ideal que deveria se casar. Uma vez determinado o momento, Lilavati esperou dois anos para desposar um jovem hindu. Quando faltavam alguns minutos para a cerimônia ao casamento, a jovem perdeu uma pérola que tinha pertencido à sua mãe e, entretida em procura-la, esqueceu do casamento. Bhaskara então recusou-se a casá-la e Lilavati cometeu suicídio...
A obra deste hindu traz, além de informações matemáticas, um raio X da sociedade de sua época. Relata que uma escrava alcançava preço máximo de quinze para dezesseis anos. Caso fosse bonita e virgem, valia oito bois; bonita e não virgem, quatro; feia e virgem, seis; e feia e não virgem, dois bois. Os juros praticados em seu tempo eram de quatro por cento ao mês, e o prazo de pagamento dos empréstimos não ultrapassava cinco meses. As dívidas não honradas davam ao credor o direito de escravizar a mulher e filhos do devedor, o qual, porém, não sofria nenhuma punição. Bhaskara teria escrito.
esses homens que pedem clemência, quando da execução judicial, não entendem nossas leis. Por que emprestam dinheiro e arrendam terras se sabem que não poderão cumprir com as dívidas contraídas? Minha função é julgar e partilhar como prescreve nosso livro maior (espécie de Constituição)...
Em 1185, Bhaskara, então com 71 anos, morreu afogado num rio onde teria ido nadar.
sábado, 2 de janeiro de 2010
EXERCÍCIOS de regras de tres
Regra de três é o cálculo ou processo matemático utilizado para resolver problemas que envolvam duas ou mais grandezas diretas ou grandezas inversamente proporcionais.
O problema que envolve somente duas grandezas diretamente é mais comumente chamado de regra de três simples.
Exercício de fixação da definição:
Um automóvel percorre um espaço de 480 Km em 02 horas. Quantos kms ele percorrerá em 06 horas?
Grandeza 1: Distância percorrida
Grandeza 2: Tempo necessário
Cálculo:
Distância 1 = 480 Km - 02 horas
Distância 2 = ? Km - 06 horas
01 hora percorrida = 240 km
06 horas percorrida = 240 Km x 6
Resultado: 1440 Kms
Método mais prático de solução da regra de três simples
Faça um X na equação, pegue o primeiro número de cima (480) e multiplique pelo segundo número de baixo (06) depois é só dividir pelo número que restou (02) - O que você deseja saber está em Km, portanto a resposta será em Km
480 km - 02 horas
X
? km - 06 horas
Resp: ? = 480 . 06 / 02 = 1440 Km
Regra de três composta – Este tipo de cálculo de regra de três envolve mais de duas grandezas proporcionais.
Exercícios de fixação da definição:
1) Se 20 homens trabalhando durante 15 dias constroem 500 metros de um muro, quantos homens serão necessários para construir mais 1000 metros deste muro em 30 dias?
Grandeza 1 : Número de homens trabalhando
Grandeza 2 : Tempo de duração do trabalho
Grandeza 3 : Tamanho do muro
2) Se 10 carros consomem em 05 dias a quantidade de 1000 litros de gasolina, quantos carros usaremos para consumir somente 500 litros de gasolina no espaço de 02 dias??
Grandeza 1: Número de carros
Grandeza 2: Número de dias
Grandeza 3: Quantidade combustível
Método mais prático de solução da regra de três composta
Faça a comparação da grandeza que irá determinar com as demais grandezas. Se esta grandeza for inversa, invertemos os dados dessa grandeza das demais grandezas.
A grandeza a se determinar não se altera, então, igualamos a razão das grandezas e determinamos o valor que se procura.
Veja:
1) Na alimentação de 02 bois, durante 08 dias, são consumidos 2420 kgs de ração. Se mais 02 bois são comprados, quantos quilos de ração serão necessários para alimentá-los durante 12 dias.
Definição
Assim: serão necessários 7260 Kgs de ração
2) Se 10 metros de um tecido custam R$ 50,00, quanto custará 22 metros ?
Solução: O problema envolve duas grandezas (quantidade de tecidos e preço da compra)
Assim: 22 metros custarão R$ 110,00
3) Em 06 dias de trabalho, 12 confeiteiros fazem 960 tortas. Em quantos dias 04 confeiteiros poderão fazer 320 tortas
Solução: O problema envolve três grandezas (tempo, número de confeiteiros, quantidade de tortas)
Exercícios de regra de três simples e composta
As respostas estão no final da página.
01 – Com 10 kg de trigo podemos fabricar 7kg de farinha. Quantos quilogramas de trigo são necessários para fabricar 28 kg de farinha?
02 – Com 50 kg de milho, obtemos 35 kg de fubá. Quantas sacas de 60 kg de fubá podemos obter com 1 200 kg de milho ?
03 – Sete litros de leite dão 1,5 quilos de manteiga. Quantos litros de leite serão necessários para se obterem 9 quilos de manteiga ?
04 – Em um banco, contatou-se que um caixa leva, em média, 5 minutos para atender 3 clientes. Qual é o tempo que esse caixa vai levar para atender 36 clientes ?
05 – Paguei R$ 6,00 por 1.250 kg de uma substância. Quanto pagaria por 0,750 kg dessa mesma substância ?
06 – Seis máquinas escavam um túnel em 2 dias. Quantas máquinas idênticas serão necessárias para escavar esse túnel em um dia e meio ?
07 – Uma fonte fornece 39 litros de água em 5 minutos. Quantos litros fornecerá em uma hora e meia ?
08 – Abrimos 32 caixas e encontramos 160 bombons. Quantas caixas iguais necessitamos para obter 385 bombons ?
09 – Um automóvel percorre 380 km em 5 horas. Quantos quilômetros percorrerá em 7 horas, mantendo a mesma velocidade média ?
10 – Um automóvel gasta 24 litros de gasolina para percorrer 192 km. Quantos litros de gasolina gastará para percorrer 120 km ?
11 – Uma torneira despeja 30 litros de água a cada 15 minutos. Quanto tempo levará para encher um reservatório de 4m3 de volume?
12 – Um relógio adianta 40 segundos em 6 dias. Quantos minutos adiantará em 54 dias ?
13 – Um relógio atrasa 3 minutos a cada 24 horas.
a) Quantos minutos atrasará em 72 horas ?
b) Quantos minutos atrasará em 18 dias ?
c) Quantos dias levará para o relógio ficar atrasado 45 minutos ?
14 – Quero ampliar uma foto 3 x 4 (3 cm de largura e 4 cm de comprimento) de forma que a nova foto tenha 10,5 m de largura. Qual será o comprimento da foto ampliada?
15 – Uma foto mede 2,5 cm por 3,5 cm e se quer ampliá-la de tal maneira que o lado maior meça 14 cm. Quanto deve medir o lado menor da foto ampliada ?
16 – Duas piscinas têm o mesmo comprimento, a mesma largura e profundidades diferentes. A piscina A tem 1,75 m de profundidade e um volume de água de 35 m3. Qual é o volume de água da piscina B, que tem 2 m de profundidade?
17 – Uma roda de automóvel dá 2750 voltas em 165 segundos. Se a velocidade permanecer constante, quantas voltas essa roda dará em 315 segundos?
18 – A combustão de 48 g de carbono fornece 176 gás carbônico. A combustão de 30 g de carbono fornece quantos gramas de gás carbônico?
19 – Num mapa, a distância Rio-Bahia, que é de 1.600 km, está representada por 24 cm. A quantos centímetros corresponde, nesse mapa, a distância Brasília-Salvador, que é de 1200 km ?
20 – Sabendo-se que, para cada 5 fitas de música brasileira, tenho 2 fitas de música estrangeira, quantas fitas de música brasileira eu tenho se possuo 22 fitas estrangeiras ?
21 – Duas piscinas têm a mesma largura e a mesma profundidade e comprimentos diferentes. Na piscina que tem 8 m de comprimento, a quantidade de água que cabe na piscina é de 45.000 litros. Quantos litros de água cabem na piscina que tem 10 m de comprimento ?
22 – Em uma prova de valor 6, Cristina obteve a nota 4,8. Se o valor da prova fosse 10, qual seria a nota obtida por Cristina?
23 – Uma vara de 3 m em posição vertical projeta uma sombra de 0,80 m. Nesse mesmo instante, um prédio projeta uma sombra de 2,40 m. Qual a altura do prédio ?
24 – Uma tábua de 2 m, quando colocada verticalmente, produz uma sombra de 80 cm. Qual é a altura de um edifício que, no mesmo instante, projeta uma sombra de 12 m ?
25 – Uma tábua com 1,5 m de comprimento foi colocada verticalmente em relação ao chão e projetou urna sombra de 53 cm. Qual seria a sombra projetada no mesmo instante por um poste que tem 10,5 m de altura?
26 – Se 3/7 da capacidade de um reservatório correspondem a 8.400 litros, a quantos litros correspondem 2/5 da capacidade do mesmo tanque?
27 – Uma circunferência, com 8 cm de diâmetro, tem 25,1 cm de comprimento. Qual é o comprimento de outra circunferência que tem 14 cm de diâmetro ?
28 – Uma folha de alumínio tem 400 cm2 de área e tem uma massa de 900 g. Qual será, em g, a massa de uma peça quadrada, da mesma folha de alumínio, que tem 40 cm de lado? ( Determine a área da peça quadrada ).
29 – Para azulejar uma parede retangular, que tem 6,5 m de comprimento por 3 m de altura, foram usados 390 azulejos. Quantos azulejos iguais a esses seriam usados para azulejar uma parede que tem 15 m2 de área?
30 – Sabe-se que 100 graus aferidos na escala Celsius (100°C) correspondem a 212 graus aferidos na escala Fahrenheit (212°F). Em Miami, nos Estados Unidos, uma temperatura, lida no termômetro Fahrenheit, registrou 84,8 graus. Qual é a temperatura correspondente se lida no termômetro Celsius?
31 – Com 4 latas de tinta pintei 280 m2 de parede. Quantos metros quadrados poderiam ser pintados com 11 latas dessa tinta?
32 – Um corredor de Fórmula 1 manteve, em um treino, a velocidade média de 153 km/h. Sabendo-se que 1 h = 3 600 s, qual foi a velocidade desse corredor em m/s ?
33 – A velocidade de um móvel é de 30m/s, Qual será sua velocidade em km/h ?
34 – Para fazer um recenseamento, chegou-se à seguinte conclusão: para visitar 102 residências, é necessário contratar 9 recenseadores. Numa região em que existem 3 060 residências, quantos recenseadores precisam ser contratados ?
35 – O ponteiro de um relógio de medição funciona acoplado a uma engrenagem, de modo que 4 voltas completas da engrenagem acarretam uma volta completa no mostrador do relógio. Quantas voltas completas, no mostrador do relógio, o ponteiro dá quando a engrenagem dá 4.136 voltas ?
36 – O ponteiro menor de um relógio percorre um ângulo de 30 graus em 60 minutos. Nessas condições, responda :
a) Quanto tempo ele levará para percorrer um ângulo de 42 graus ?
b) Se O relógio foi acertado às 12 horas ( meio-dia ), que horas ele estará marcando?
37 – Uma rua tem 600 m de comprimento e está sendo asfaltada. Em seis dias foram asfaltados 180 m da rua Supondo-se que o ritmo de trabalho continue o mesmo, em quantos dias o trabalho estará terminado?
38 – Um muro deverá ter 49 m de comprimento. Em quatro dias, foram construídos 14 m do muro. Supondo-se que o trabalho continue a ser feito no mesmo ritmo, em quantos dias será construído o restante do muro?
39 – Um automóvel percorreu uma distância em 2 horas, à velocidade média de 90 km por hora. Se a velocidade média fosse de 45 km por hora, em quanto tempo o automóvel faria a mesma distância?
40 – Com a velocidade de 75 km/h, um ônibus faz percurso em 40 minutos. Devido a um pequeno congestionamento, esse ônibus fez o percurso de volta em 50 minutos. Qual a velocidade média desse ônibus no percurso de volta?
41 – Para transportar material bruto para uma construção, foram usados 16 caminhões com capacidade de 5 cm3 cada um. Se a capacidade de cada caminhão fosse de 4m3, quantos caminhões seriam necessários para fazer o mesmo serviço ?
42 – Com o auxílio de uma corda, que julgava ter 2 m de comprimento, medi o comprimento de um fio elétrico e encontrei 40 m. Descobri, mais tarde, que a corda media na realidade, 2,05 m. Qual é o comprimento verdadeiro do fio?
43 – Com uma certa quantidade de arame pode.se fazer uma tela de 50 m de comprimento por 1,20 m de largura. Aumentando-se a largura em 1,80 m, qual será o comprimento de uma outra tela feita com a mesma quantidade de arame da tela anterior ?
44 – Para construir a cobertura de uma quadra de basquete, 25 operários levaram 48 dias. Se fosse construída uma cobertura idêntica em outra quadra e fossem contratados 30 operários de mesma capacidade que os primeiros, em quantos dias a cobertura estaria pronta ?
45 – Para forrar as paredes de uma sala, foram usadas 21 peças de papel de parede com 80 cm de largura. Se houvesse peças desse mesmo papel que tivessem 1,20 m de largura, quantas dessas peças seriam usadas para forrar a mesma parede ?
46 – Para pintar um barco, 12 pessoas levaram 8 dias, Quantas pessoas, de mesma capacidade de trabalho que as primeiras, são necessárias para pintar o mesmo barco em 6 dias ?
47 – Uma torneira, despejando 4,25 litros de água por minuto, enche uma caixa em 3 horas e meia. Em quanto tempo uma torneira que despeja 3,5 I de água por minuto encherá uma caixa de mesma capacidade que a primeira ?
48 – Oito pedreiros fazem um muro em 72 horas. Quanto tempo levarão 6 pedreiros para fazer o mesmo muro ?
49 – Dez operários constroem uma parede em 5 horas. Quantos operários serão necessários para construir a mesma parede em 2 horas ?
50 – Uma certa quantidade de azeite foi colocada em latas de 2 litros cada uma, obtendo-se assim 60 latas. Se fossem usadas latas de 3 litros, quantas latas seriam necessárias para colocar a mesma quantidade de azeite ?
51 – Um corredor gastou 2 minutos para dar uma volta num circuito à velocidade média de 210 km/h. Quanto tempo o corredor gastaria para percorrer o circuito à velocidade média de 140km/h ?
52 – Para se transportar cimento para a construção de um edifício, foram necessários 15 caminhões de 2m3 cada um. Quantos caminhões de 3m3 seriam necessários para se fazer o mesmo serviço?
53 – Uma torneira despeja 16 litros por minuto e enche uma caixa em 5 horas. Quanto tempo levará para encher a mesma caixa uma torneira que despeja 20 litros por minuto?
54 – Com certa quantidade de fio, um tear produz 35 m de tecido com 50 cm de largura. Quantos m de tecido com 70 cm de largura esse tear pode produzir com a mesma quantidade de fio ?
55 – A área de um terreno é dada pelo produto do comprimento pela largura. Um terreno retangular tem 50 m de comprimento por 32 m de largura. Se você diminuir 7 m da largura, de quantos m deverá aumentar o comprimento para que a área do terreno seja mantida ?
56 – Na construção de uma quadra de basquete, 20 pedreiros levam 15 dias. Quanto tempo levariam 18 pedreiros para construir a mesma quadra ?
57 – Um livro possui 240 páginas e cada página 40 linhas. Qual seria o número de páginas desse livro se fossem colocadas apenas 30 linhas em cada página ?
58 – Para paginar um livro que tem 45 linhas em cada páginas são necessárias 280 páginas. Quantas páginas com 30 linhas cada uma seriam necessárias para paginar o mesmo livro?
59 – Com velocidade média de 60 km/h, fui de carro de uma cidade A para uma cidade B em 16 min. Se a volta foi feita em 12 minutos, qual a velocidade média da volta ?
60 – ( MACK – SP ) Uma engrenagem de 36 dentes movimenta outra de 48 dentes. Quantas voltas dá a maior enquanto a menor dá 100 voltas ?
61 – Um caminhão percorre 1.116 km em 6 dias, correndo 12 horas por dia. Quantos quilômetros percorrerá 10 dias, correndo 14 horas por dia?
62 – Uma certa máquina, funcionando 4 horas por dia, fabrica 12.000 pregos durante 6 dias. Quantas horas por essa máquina deveria funcionar para fabricar 20.000 pregos em 20 dias?
63 – Um ciclista percorre 75km em 2 dias, pedalando 3 horas por dia. Em quantos dias faria uma viagem 200 km, pedalando 4 horas por dia?
64 – Foram empregados 4 kg de fio para tecer 14 m de fazenda de 0,8 m de largura. Quantos quilogramas serão precisos para produzir 350 m de fazenda com 1,2 m de largura ?
65 – Em 30 dias, uma frota de 25 táxis consome 100.000 l de combustível. Em quantos dias uma frota de 36 táxis consumiria 240.000 de combustível?
66 – Um folheto enviado pela Sabesp informa que uma torneira, pingando 20 gotas por minuto, em 30 dias, ocasiona um desperdício de 100 l de água. Na casa de Helena, uma torneira esteve pingando 30 gotas por minuto durante 50 dias. Calcule quantos litros de água foram desperdiçados.
67 – Numa fábrica de calçados, trabalham 16 operários que produzem, em 8 horas de serviço diário, 240 pares de calçados. Quantos operários São necessários para produzir 600 pares de calçados por dia, com 10 horas de trabalho diário?
68 – Meia dúzia de datilógrafos preparam 720 páginas em 18 dias. Em quantos dias 8 datilógrafos, com a mesma capacidade dos primeiros, prepararão 800 páginas ?
69 – Para erguer um muro com 2,5 m de altura e 30 m de comprimento, certo número de operários levou 24 dias. Em quantos dias esse mesmo número de operários ergueria um muro de 2 m de altura e 25 m de comprimento ?
70 – Um automóvel, com velocidade média de 60 km/h, roda 8 h por dia e leva 6 dias para fazer certo percurso. Se a sua velocidade fosse de 80 km/h e se rodasse 9 horas por dia, em quanto tempo ele faria o mesmo percurso?
71 – Dois carregadores levam caixas do depósito para um caminhão. Um deles leva 4 caixas por vez e demora 3 minutos para ir e voltar. O outro leva 6 caixas por vez e demora 5 minutos para ir e voltar. Enquanto o mais rápido leva 240 caixas, quantas caixas leva o outro ?
72 – O consumo de 8 lâmpadas, acesas durante 5 horas por dia, em 18 dias, é de 14 quilowatts. Qual será o consumo em 15 dias, deixando apenas 6 dessas lâmpadas acesas durante 4 horas por dia?
73 – Em 6 dias, 6 galinhas botam 6 ovos. Quantos ovos botam 12 galinhas em 12 dias?
74 – Se 5 gatos pegam 5 ratos em 5 minutos, 100 gatos pegam 100 ratos em quantos minutos ?
75 – ( UNIV. BRASíLIA ) Com 16 máquinas de costura aprontaram 720 uniformes em 6 dias de trabalho. Quantas máquinas serão necessárias para confeccionar 2.160 uniformes em 24 dias?
76 – ( USP – SP ) Uma família composta de 6 pessoas consome em 2 dias 3 kg de pão. Quantos quilos de pão serão necessários para alimentá-la durante 5 dias, estando ausentes 2 pessoas?
77 – ( CEFETQ – 1991 ) Quinze operários trabalhando oito horas por dia, em 16 dias, constroem um muro de 80 metros de comprimento. Em quantas horas por dia, 10 operários construirão um muro de 90 metros de comprimento, da mesma altura e espessura do anterior, em 24 dias ?
78 – ( CEFET – 1993 ) Os desabamentos, em sua maioria, são causados por grande acúmulo de lixo nas encostas dos morros. Se 10 pessoas retiram 135 toneladas de lixo em 9 dias, quantas toneladas serão retiradas por 40 pessoas em 30 dias ?
79 – ( CEFETQ – 1996 ) Uma frota de caminhões percorreu 3 000 km para transportar uma mercadoria, com velocidade média de 60 km/h, gastando 10 dias. Quantos dias serão necessários para que, nas mesmas condições, uma frota idêntica percorra 4 500 km com uma velocidade média de 50 km/h ?
80 – ( CEFETQ – 1997 ) Há 40 dias, um torneira na casa de Neilson está apresentando um vazamento de 45 gotas por minuto. Se um vazamento de 20 gotas por minuto, apresentado pela mesma torneira, desperdiça 100 litros de água em 30 dias, calcular o número de litros de água já desperdiçados na casa de Neilson.
81 – ( EsPECEx – 1981 ) Se 12 recenseadores visitam 1440 famílias em 5 dias de trabalho de 8 horas por dia, quantas famílias serão visitadas por 5 recenseadores, em 6 dias, trabalhando 4 horas por dia ?
82 – ( EsPECEx – 1982 ) Um grupo de jovens, em 16 dias, fabricam 320 colares de 1,20 m de cada. Quantos colares de 1,25 m serão fabricados em 5 dias ?
83 – ( EsPECEx – 1983 ) Um trem percorreu 200 km em certo tempo. Se tivesse aumentado sua velocidade em 10 km/h, teria percorrido essa distância em 1 hora menos. Determinar a velocidade do trem, em km/h.
Regra de Três – Questões Objetivas
84 – Se 4 máquinas fazem um serviço em 6 dias, então 3 dessas máquinas farão o mesmo serviço em:
a) 7 dias b) 8 dias c) 9 dias d) 4,5 dias
85 – Um quilo de algodão custa R$ 50,00. Um pacote de 40 gramas do mesmo algodão custa :
a) R$ 1,80 b) R$ 2,00 c) R$ 2,20 d) R$ 2,50
86 – Um litro de água do mar contém 25 gramas de sal. Então, para se obterem 50 kg de sal, o número necessário de litros de água do mar será:
a) 200 b) 500 c) 2 000 d) 5 000
87 – Um avião percorre 2 700 km em quatro horas. Em uma hora e 20 minutos de vôo percorrerá:
a) 675 km b) 695 km c) 810 km d) 900 km
88 – Na fabricação de 20 camisetas, 8 máquinas gastam 4 horas. Para produzir 15 dessas camisetas, 4 máquinas gastariam quantas horas ?
a) 3 horas b) 6 horas c) 5 horas d) 4 horas
89 – Em 7 dias, 40 cachorros consomem 100 kg de ração. Em quantos dias 3/8 deles comeriam 75 kg de ração ?
a) 10 dias. b) 12 dias. c) 14 dias. d) 18 dias
90 – Três máquinas imprimem 9.000 cartazes em uma dúzia de dias. Em quantos dias 8/3 dessas máquinas imprimem 4/3 dos cartazes, trabalhando o mesmo número de horas por dia?
a) 4 dias. b) 6 dias. c) 9 dias. d) 12 dias
91 – ( VESTIBULINHO – SP ) Numa corrida de FórmuIa 1, um corredor dá uma volta na pista em 1 minuto e 30 segundos com velocidade média de 200 km por hora. Se sua velocidade média cair para 180km por hora, o tempo gasto para a mesma volta na pista será de:
a) 2 min b) 2 min e 19 segundos
c) 1 min e 40 segundos d) 1 min e 50 segundos
92 – ( UMC – SP ) Um carro consumiu 50 litros de álcool para percorrer 600 km. Supondo condições equivalentes, esse mesmo carro, para percorrer 840 km, consumirá :
a) 68 litros b) 80 litros c) 75 litros d) 70 litros
93 – ( UF – MG ) Uma empresa tem 750 empregados e comprou marmitas individuais congeladas suficientes para o almoço deles durante 25 dias. Se essa empresa tivesse mais 500 empregados, a quantidade de marmitas já adquiridas seria suficiente para um numero de dias igual a:
a) 10 b) 12 c) 15 d) 18
94 – ( UDF ) Uma máquina varredeira limpa uma área de 5.100 m2 em 3 horas de trabalho. Nas mesmas condições, em quanto tempo limpará uma área de 11.900 m2 ?
a) 4 horas b) 5 horas c) 7 horas d) 9 horas
95 – ( PUC – SP ) Um motorista de táxi, trabalhando 6 horas por dia durante 10 dias, gasta R$ 1.026,00 de gás. Qual será o seu gasto mensal, se trabalhar 4 horas por dia ?
a) R$ 1.026,00 b) R$ 2.052,00
c) R$ 3.078,00 d) R$ 4.104,00
96 – ( VUNESP – SP ) Um secretário gastou 15 dias para desenvolver um certo projeto, trabalhando 7 horas por dia. Se o prazo concedido fosse de 21 dias para realizar o mesmo projeto, poderia ter trabalhado :
a) 2 horas a menos por dia. b) 2 horas a mais por dia.
c) 3 horas a menos por dia. d) 3 horas a mais por dia.
97 – ( MACK – SP ) Se 15 operários em 9 dias de 8 horas ganham R$ 10.800,00; 23 operários em 12 dias de 6 horas ganhariam :
a) R$ 16.560,00 b) R$ 17.560,00.
c) R$ 26.560,00. d) R$ 29.440,00
98 – ( SANTA CASA – SP ) Sabe-se que 4 máquinas, operando 4 horas por dia, durante 4 dias, produzem 4 toneladas de certo produto Quantas toneladas do mesmo produto seriam produzidas por 6 máquinas daquele tipo, operando 6 horas por dia, durante 6 dias ?
a) 8 b) 15 c) 10,5 d) 13,5
99 – ( FEP – PA ) Para asfaltar 1 km de estrada, 30 homens gastaram 12 dias trabalhando 8 horas por horas por dia. Vinte homens, para asfaltar 2 km da mesma estrada, trabalhando 12 horas por dia, gastarão :
a) 6 dias. b) 12 dias. c) 24 dias. d) 28 dias.
100 – ( PUCCAMP-SP ) Operando 12 horas por dia horas, 20 máquinas produzem 6000 peças em 6 dias. Com 4 horas a menos de trabalho diário, 15 daquelas máquinas produzirão 4.000 peças em:
a) 8 dias b) 9 dias
c) 9 dias e 6 horas. d) 8 dias e 12 horas.
101 – ( USP – SP ) Uma família de 6 pessoas consome em 2 dias 3 kg de pão. Quantos quilos serão necessários para alimentá-lo durante 5 dias estando ausentes 2 pessoas ?
a) 3 quilos b) 4 quilos c) 5 quilos d) 6 quilos
102 – ( Unimep – SP ) Se dois gatos comem dois ratos em dois minutos, para comer 60 ratos em 30 minutos são necessários:
a) 4 gatos b) 3 gatos c) 2 gatos
d) 5 gatos e) 6 gatos
102 – ( FAAP – SP ) Numa campanha de divulgação do vestibular, o diretor mandou confeccionar cinqüenta mil folhetos. A gráfica realizou o serviço em cinco dias, utilizando duas máquinas de mesmo rendimento, oito horas por dia. O diretor precisou fazer nova encomenda. Desta vez, sessenta mil folhetos. Nessa ocasião, uma das máquinas estava quebrada. Para atender o pedido, a gráfica prontificou-se a trabalhar 12 horas por dia, executando o serviço em :
a) 5 dias b) 8 dias c) 10 dias d) 12 dias
103 – ( PUC Campinas 2001 ) Em uma fábrica, constatou-se que eram necessários 8 dias para produzir certo nº de aparelhos, utilizando-se os serviços de 7 operários, trabalhando 3 horas a cada dia. Para reduzir a dois dias o tempo de produção, é necessário :
a) triplicar o nº de operários
b) triplicar o nº de horas trabalhadas por dia
c) triplicar o nº de horas trabalhadas por dia e o nº de
operários
d) duplicar o nº de operários
e) duplicar o nº de operários e o número de horas
trabalhadas por dia
104 – ( UNICAMP 2001. ) Uma obra será executada por 13 operários (de mesma capacidade de trabalho) trabalhando durante 11 dias com jornada de trabalho de 6 horas por dia. Decorridos 8 dias do início da obra 3 operários adoeceram e a obra deverá ser concluída pelos operários restantes no prazo estabelecido anteriormente. Qual deverá ser a jornada diária de trabalho dos operários restantes nos dias que faltam para a conclusão da obra no prazo previsto ?
a) 7h 42 min
b) 7h 44 min
c) 7h 46 min
d) 7h 48 min
e) 7h 50 min
105 – ( CEFET – 1990 ) Uma fazenda tem 30 cavalos e ração estocada para alimentá-los durante 2 meses. Se forem vendidos 10 cavalos e a ração for reduzida à metade. Os cavalos restantes poderão ser alimentados durante:
a) 10 dias b) 15 dias c) 30 dias
d) 45 dias e) 180 dias
106 – ( CEFETQ – 1980 ) Em um laboratório de Química, trabalham 16 químicos e produzem em 8 horas de trabalho diário, 240 frascos de uma certa substância. Quantos químicos são necessários para produzir 600 frascos da mesma substância, com 10 horas de trabalho por dia ?
a) 30 b) 40 c) 45 d) 50
Respostas dos Exercícios de Regra de Três Simples e Composta
01) 40 kg
02) 14 sacas
03) 42 litros
04) 60 min
05) 60 minutos = 1 hora
06) 8 máquinas
07) 702 litros
08) 77 caixas
09) 532 km
10) 15 litros
11) 33 h 20 min
12) 6 minutos
13) 9 min / 54 min / 15 dias
14) 14 cm
15) 10 cm
16) 40 m3
17) 5.250 voltas
18) 110 g
19) 18 cm
20) 55 fitas
21) 56.250 litros
22) Nota 8
23) 9 metros
24) 30 m
25) 371 cm ou 3,71 m
26) 7.840 litros
27) 43.925 cm
28) 3.600 g
29) 300 azulejos
30) 40 graus
31) 770 m2
32) 42 m/s
33) 108 km/h
34) 270 recenseadores
35) 1.034 voltas
36) a)84 min b) 1 h 24 min
37) 14 dias
38) 10 dias
39) 4 horas
40) 60 km/h
41) 20 caminhões
42) 41 m
43) 20 metros
44) 40 dias
45) 14 peças
46) 16 pessoas
47) 4 h 15 min
48) 96 horas
49) 25 operários
50) 40 latas
51) 3 minutos
52) 10 caminhões
53) 4 horas
54) 25 m
55) 20 cm
56) 16 dias e 16 horas
57) 320 páginas
58) 420 páginas
59) 80 km/h
60) 75 voltas
61) 2.170 km
62) 2 horas
63) 4 dias
64) 150 kg
65) 50 dias
66) 250 litros
67) 12 operários
68) 15 dias
69) 16 dias
70) 4 dias
71) 216 caixas
72) 7 kw
73) 24 ovos
74) 5 min
75) 12 máquinas
76) 5 kg
77) 9 horas
78) 1.800 toneladas
79) 18 dias
80) 300 litros
81) 360 famílias
82) 480 colares
83) 5 horas
84) letra d
85) letra b
86) letra c
87) letra d
88) letra b
89) letra c
90) letra b
91) letra c
92) letra d
93) letra c
94) letra c
95) letra b
96) letra a
97) letra a
98) letra d
99) letra c
100) letra a
101) letra c
102) letra a
103) letra e
104) letra d
105) letra d
106) letra d
107) letra e
O problema que envolve somente duas grandezas diretamente é mais comumente chamado de regra de três simples.
Exercício de fixação da definição:
Um automóvel percorre um espaço de 480 Km em 02 horas. Quantos kms ele percorrerá em 06 horas?
Grandeza 1: Distância percorrida
Grandeza 2: Tempo necessário
Cálculo:
Distância 1 = 480 Km - 02 horas
Distância 2 = ? Km - 06 horas
01 hora percorrida = 240 km
06 horas percorrida = 240 Km x 6
Resultado: 1440 Kms
Método mais prático de solução da regra de três simples
Faça um X na equação, pegue o primeiro número de cima (480) e multiplique pelo segundo número de baixo (06) depois é só dividir pelo número que restou (02) - O que você deseja saber está em Km, portanto a resposta será em Km
480 km - 02 horas
X
? km - 06 horas
Resp: ? = 480 . 06 / 02 = 1440 Km
Regra de três composta – Este tipo de cálculo de regra de três envolve mais de duas grandezas proporcionais.
Exercícios de fixação da definição:
1) Se 20 homens trabalhando durante 15 dias constroem 500 metros de um muro, quantos homens serão necessários para construir mais 1000 metros deste muro em 30 dias?
Grandeza 1 : Número de homens trabalhando
Grandeza 2 : Tempo de duração do trabalho
Grandeza 3 : Tamanho do muro
2) Se 10 carros consomem em 05 dias a quantidade de 1000 litros de gasolina, quantos carros usaremos para consumir somente 500 litros de gasolina no espaço de 02 dias??
Grandeza 1: Número de carros
Grandeza 2: Número de dias
Grandeza 3: Quantidade combustível
Método mais prático de solução da regra de três composta
Faça a comparação da grandeza que irá determinar com as demais grandezas. Se esta grandeza for inversa, invertemos os dados dessa grandeza das demais grandezas.
A grandeza a se determinar não se altera, então, igualamos a razão das grandezas e determinamos o valor que se procura.
Veja:
1) Na alimentação de 02 bois, durante 08 dias, são consumidos 2420 kgs de ração. Se mais 02 bois são comprados, quantos quilos de ração serão necessários para alimentá-los durante 12 dias.
Definição
Assim: serão necessários 7260 Kgs de ração
2) Se 10 metros de um tecido custam R$ 50,00, quanto custará 22 metros ?
Solução: O problema envolve duas grandezas (quantidade de tecidos e preço da compra)
Assim: 22 metros custarão R$ 110,00
3) Em 06 dias de trabalho, 12 confeiteiros fazem 960 tortas. Em quantos dias 04 confeiteiros poderão fazer 320 tortas
Solução: O problema envolve três grandezas (tempo, número de confeiteiros, quantidade de tortas)
Exercícios de regra de três simples e composta
As respostas estão no final da página.
01 – Com 10 kg de trigo podemos fabricar 7kg de farinha. Quantos quilogramas de trigo são necessários para fabricar 28 kg de farinha?
02 – Com 50 kg de milho, obtemos 35 kg de fubá. Quantas sacas de 60 kg de fubá podemos obter com 1 200 kg de milho ?
03 – Sete litros de leite dão 1,5 quilos de manteiga. Quantos litros de leite serão necessários para se obterem 9 quilos de manteiga ?
04 – Em um banco, contatou-se que um caixa leva, em média, 5 minutos para atender 3 clientes. Qual é o tempo que esse caixa vai levar para atender 36 clientes ?
05 – Paguei R$ 6,00 por 1.250 kg de uma substância. Quanto pagaria por 0,750 kg dessa mesma substância ?
06 – Seis máquinas escavam um túnel em 2 dias. Quantas máquinas idênticas serão necessárias para escavar esse túnel em um dia e meio ?
07 – Uma fonte fornece 39 litros de água em 5 minutos. Quantos litros fornecerá em uma hora e meia ?
08 – Abrimos 32 caixas e encontramos 160 bombons. Quantas caixas iguais necessitamos para obter 385 bombons ?
09 – Um automóvel percorre 380 km em 5 horas. Quantos quilômetros percorrerá em 7 horas, mantendo a mesma velocidade média ?
10 – Um automóvel gasta 24 litros de gasolina para percorrer 192 km. Quantos litros de gasolina gastará para percorrer 120 km ?
11 – Uma torneira despeja 30 litros de água a cada 15 minutos. Quanto tempo levará para encher um reservatório de 4m3 de volume?
12 – Um relógio adianta 40 segundos em 6 dias. Quantos minutos adiantará em 54 dias ?
13 – Um relógio atrasa 3 minutos a cada 24 horas.
a) Quantos minutos atrasará em 72 horas ?
b) Quantos minutos atrasará em 18 dias ?
c) Quantos dias levará para o relógio ficar atrasado 45 minutos ?
14 – Quero ampliar uma foto 3 x 4 (3 cm de largura e 4 cm de comprimento) de forma que a nova foto tenha 10,5 m de largura. Qual será o comprimento da foto ampliada?
15 – Uma foto mede 2,5 cm por 3,5 cm e se quer ampliá-la de tal maneira que o lado maior meça 14 cm. Quanto deve medir o lado menor da foto ampliada ?
16 – Duas piscinas têm o mesmo comprimento, a mesma largura e profundidades diferentes. A piscina A tem 1,75 m de profundidade e um volume de água de 35 m3. Qual é o volume de água da piscina B, que tem 2 m de profundidade?
17 – Uma roda de automóvel dá 2750 voltas em 165 segundos. Se a velocidade permanecer constante, quantas voltas essa roda dará em 315 segundos?
18 – A combustão de 48 g de carbono fornece 176 gás carbônico. A combustão de 30 g de carbono fornece quantos gramas de gás carbônico?
19 – Num mapa, a distância Rio-Bahia, que é de 1.600 km, está representada por 24 cm. A quantos centímetros corresponde, nesse mapa, a distância Brasília-Salvador, que é de 1200 km ?
20 – Sabendo-se que, para cada 5 fitas de música brasileira, tenho 2 fitas de música estrangeira, quantas fitas de música brasileira eu tenho se possuo 22 fitas estrangeiras ?
21 – Duas piscinas têm a mesma largura e a mesma profundidade e comprimentos diferentes. Na piscina que tem 8 m de comprimento, a quantidade de água que cabe na piscina é de 45.000 litros. Quantos litros de água cabem na piscina que tem 10 m de comprimento ?
22 – Em uma prova de valor 6, Cristina obteve a nota 4,8. Se o valor da prova fosse 10, qual seria a nota obtida por Cristina?
23 – Uma vara de 3 m em posição vertical projeta uma sombra de 0,80 m. Nesse mesmo instante, um prédio projeta uma sombra de 2,40 m. Qual a altura do prédio ?
24 – Uma tábua de 2 m, quando colocada verticalmente, produz uma sombra de 80 cm. Qual é a altura de um edifício que, no mesmo instante, projeta uma sombra de 12 m ?
25 – Uma tábua com 1,5 m de comprimento foi colocada verticalmente em relação ao chão e projetou urna sombra de 53 cm. Qual seria a sombra projetada no mesmo instante por um poste que tem 10,5 m de altura?
26 – Se 3/7 da capacidade de um reservatório correspondem a 8.400 litros, a quantos litros correspondem 2/5 da capacidade do mesmo tanque?
27 – Uma circunferência, com 8 cm de diâmetro, tem 25,1 cm de comprimento. Qual é o comprimento de outra circunferência que tem 14 cm de diâmetro ?
28 – Uma folha de alumínio tem 400 cm2 de área e tem uma massa de 900 g. Qual será, em g, a massa de uma peça quadrada, da mesma folha de alumínio, que tem 40 cm de lado? ( Determine a área da peça quadrada ).
29 – Para azulejar uma parede retangular, que tem 6,5 m de comprimento por 3 m de altura, foram usados 390 azulejos. Quantos azulejos iguais a esses seriam usados para azulejar uma parede que tem 15 m2 de área?
30 – Sabe-se que 100 graus aferidos na escala Celsius (100°C) correspondem a 212 graus aferidos na escala Fahrenheit (212°F). Em Miami, nos Estados Unidos, uma temperatura, lida no termômetro Fahrenheit, registrou 84,8 graus. Qual é a temperatura correspondente se lida no termômetro Celsius?
31 – Com 4 latas de tinta pintei 280 m2 de parede. Quantos metros quadrados poderiam ser pintados com 11 latas dessa tinta?
32 – Um corredor de Fórmula 1 manteve, em um treino, a velocidade média de 153 km/h. Sabendo-se que 1 h = 3 600 s, qual foi a velocidade desse corredor em m/s ?
33 – A velocidade de um móvel é de 30m/s, Qual será sua velocidade em km/h ?
34 – Para fazer um recenseamento, chegou-se à seguinte conclusão: para visitar 102 residências, é necessário contratar 9 recenseadores. Numa região em que existem 3 060 residências, quantos recenseadores precisam ser contratados ?
35 – O ponteiro de um relógio de medição funciona acoplado a uma engrenagem, de modo que 4 voltas completas da engrenagem acarretam uma volta completa no mostrador do relógio. Quantas voltas completas, no mostrador do relógio, o ponteiro dá quando a engrenagem dá 4.136 voltas ?
36 – O ponteiro menor de um relógio percorre um ângulo de 30 graus em 60 minutos. Nessas condições, responda :
a) Quanto tempo ele levará para percorrer um ângulo de 42 graus ?
b) Se O relógio foi acertado às 12 horas ( meio-dia ), que horas ele estará marcando?
37 – Uma rua tem 600 m de comprimento e está sendo asfaltada. Em seis dias foram asfaltados 180 m da rua Supondo-se que o ritmo de trabalho continue o mesmo, em quantos dias o trabalho estará terminado?
38 – Um muro deverá ter 49 m de comprimento. Em quatro dias, foram construídos 14 m do muro. Supondo-se que o trabalho continue a ser feito no mesmo ritmo, em quantos dias será construído o restante do muro?
39 – Um automóvel percorreu uma distância em 2 horas, à velocidade média de 90 km por hora. Se a velocidade média fosse de 45 km por hora, em quanto tempo o automóvel faria a mesma distância?
40 – Com a velocidade de 75 km/h, um ônibus faz percurso em 40 minutos. Devido a um pequeno congestionamento, esse ônibus fez o percurso de volta em 50 minutos. Qual a velocidade média desse ônibus no percurso de volta?
41 – Para transportar material bruto para uma construção, foram usados 16 caminhões com capacidade de 5 cm3 cada um. Se a capacidade de cada caminhão fosse de 4m3, quantos caminhões seriam necessários para fazer o mesmo serviço ?
42 – Com o auxílio de uma corda, que julgava ter 2 m de comprimento, medi o comprimento de um fio elétrico e encontrei 40 m. Descobri, mais tarde, que a corda media na realidade, 2,05 m. Qual é o comprimento verdadeiro do fio?
43 – Com uma certa quantidade de arame pode.se fazer uma tela de 50 m de comprimento por 1,20 m de largura. Aumentando-se a largura em 1,80 m, qual será o comprimento de uma outra tela feita com a mesma quantidade de arame da tela anterior ?
44 – Para construir a cobertura de uma quadra de basquete, 25 operários levaram 48 dias. Se fosse construída uma cobertura idêntica em outra quadra e fossem contratados 30 operários de mesma capacidade que os primeiros, em quantos dias a cobertura estaria pronta ?
45 – Para forrar as paredes de uma sala, foram usadas 21 peças de papel de parede com 80 cm de largura. Se houvesse peças desse mesmo papel que tivessem 1,20 m de largura, quantas dessas peças seriam usadas para forrar a mesma parede ?
46 – Para pintar um barco, 12 pessoas levaram 8 dias, Quantas pessoas, de mesma capacidade de trabalho que as primeiras, são necessárias para pintar o mesmo barco em 6 dias ?
47 – Uma torneira, despejando 4,25 litros de água por minuto, enche uma caixa em 3 horas e meia. Em quanto tempo uma torneira que despeja 3,5 I de água por minuto encherá uma caixa de mesma capacidade que a primeira ?
48 – Oito pedreiros fazem um muro em 72 horas. Quanto tempo levarão 6 pedreiros para fazer o mesmo muro ?
49 – Dez operários constroem uma parede em 5 horas. Quantos operários serão necessários para construir a mesma parede em 2 horas ?
50 – Uma certa quantidade de azeite foi colocada em latas de 2 litros cada uma, obtendo-se assim 60 latas. Se fossem usadas latas de 3 litros, quantas latas seriam necessárias para colocar a mesma quantidade de azeite ?
51 – Um corredor gastou 2 minutos para dar uma volta num circuito à velocidade média de 210 km/h. Quanto tempo o corredor gastaria para percorrer o circuito à velocidade média de 140km/h ?
52 – Para se transportar cimento para a construção de um edifício, foram necessários 15 caminhões de 2m3 cada um. Quantos caminhões de 3m3 seriam necessários para se fazer o mesmo serviço?
53 – Uma torneira despeja 16 litros por minuto e enche uma caixa em 5 horas. Quanto tempo levará para encher a mesma caixa uma torneira que despeja 20 litros por minuto?
54 – Com certa quantidade de fio, um tear produz 35 m de tecido com 50 cm de largura. Quantos m de tecido com 70 cm de largura esse tear pode produzir com a mesma quantidade de fio ?
55 – A área de um terreno é dada pelo produto do comprimento pela largura. Um terreno retangular tem 50 m de comprimento por 32 m de largura. Se você diminuir 7 m da largura, de quantos m deverá aumentar o comprimento para que a área do terreno seja mantida ?
56 – Na construção de uma quadra de basquete, 20 pedreiros levam 15 dias. Quanto tempo levariam 18 pedreiros para construir a mesma quadra ?
57 – Um livro possui 240 páginas e cada página 40 linhas. Qual seria o número de páginas desse livro se fossem colocadas apenas 30 linhas em cada página ?
58 – Para paginar um livro que tem 45 linhas em cada páginas são necessárias 280 páginas. Quantas páginas com 30 linhas cada uma seriam necessárias para paginar o mesmo livro?
59 – Com velocidade média de 60 km/h, fui de carro de uma cidade A para uma cidade B em 16 min. Se a volta foi feita em 12 minutos, qual a velocidade média da volta ?
60 – ( MACK – SP ) Uma engrenagem de 36 dentes movimenta outra de 48 dentes. Quantas voltas dá a maior enquanto a menor dá 100 voltas ?
61 – Um caminhão percorre 1.116 km em 6 dias, correndo 12 horas por dia. Quantos quilômetros percorrerá 10 dias, correndo 14 horas por dia?
62 – Uma certa máquina, funcionando 4 horas por dia, fabrica 12.000 pregos durante 6 dias. Quantas horas por essa máquina deveria funcionar para fabricar 20.000 pregos em 20 dias?
63 – Um ciclista percorre 75km em 2 dias, pedalando 3 horas por dia. Em quantos dias faria uma viagem 200 km, pedalando 4 horas por dia?
64 – Foram empregados 4 kg de fio para tecer 14 m de fazenda de 0,8 m de largura. Quantos quilogramas serão precisos para produzir 350 m de fazenda com 1,2 m de largura ?
65 – Em 30 dias, uma frota de 25 táxis consome 100.000 l de combustível. Em quantos dias uma frota de 36 táxis consumiria 240.000 de combustível?
66 – Um folheto enviado pela Sabesp informa que uma torneira, pingando 20 gotas por minuto, em 30 dias, ocasiona um desperdício de 100 l de água. Na casa de Helena, uma torneira esteve pingando 30 gotas por minuto durante 50 dias. Calcule quantos litros de água foram desperdiçados.
67 – Numa fábrica de calçados, trabalham 16 operários que produzem, em 8 horas de serviço diário, 240 pares de calçados. Quantos operários São necessários para produzir 600 pares de calçados por dia, com 10 horas de trabalho diário?
68 – Meia dúzia de datilógrafos preparam 720 páginas em 18 dias. Em quantos dias 8 datilógrafos, com a mesma capacidade dos primeiros, prepararão 800 páginas ?
69 – Para erguer um muro com 2,5 m de altura e 30 m de comprimento, certo número de operários levou 24 dias. Em quantos dias esse mesmo número de operários ergueria um muro de 2 m de altura e 25 m de comprimento ?
70 – Um automóvel, com velocidade média de 60 km/h, roda 8 h por dia e leva 6 dias para fazer certo percurso. Se a sua velocidade fosse de 80 km/h e se rodasse 9 horas por dia, em quanto tempo ele faria o mesmo percurso?
71 – Dois carregadores levam caixas do depósito para um caminhão. Um deles leva 4 caixas por vez e demora 3 minutos para ir e voltar. O outro leva 6 caixas por vez e demora 5 minutos para ir e voltar. Enquanto o mais rápido leva 240 caixas, quantas caixas leva o outro ?
72 – O consumo de 8 lâmpadas, acesas durante 5 horas por dia, em 18 dias, é de 14 quilowatts. Qual será o consumo em 15 dias, deixando apenas 6 dessas lâmpadas acesas durante 4 horas por dia?
73 – Em 6 dias, 6 galinhas botam 6 ovos. Quantos ovos botam 12 galinhas em 12 dias?
74 – Se 5 gatos pegam 5 ratos em 5 minutos, 100 gatos pegam 100 ratos em quantos minutos ?
75 – ( UNIV. BRASíLIA ) Com 16 máquinas de costura aprontaram 720 uniformes em 6 dias de trabalho. Quantas máquinas serão necessárias para confeccionar 2.160 uniformes em 24 dias?
76 – ( USP – SP ) Uma família composta de 6 pessoas consome em 2 dias 3 kg de pão. Quantos quilos de pão serão necessários para alimentá-la durante 5 dias, estando ausentes 2 pessoas?
77 – ( CEFETQ – 1991 ) Quinze operários trabalhando oito horas por dia, em 16 dias, constroem um muro de 80 metros de comprimento. Em quantas horas por dia, 10 operários construirão um muro de 90 metros de comprimento, da mesma altura e espessura do anterior, em 24 dias ?
78 – ( CEFET – 1993 ) Os desabamentos, em sua maioria, são causados por grande acúmulo de lixo nas encostas dos morros. Se 10 pessoas retiram 135 toneladas de lixo em 9 dias, quantas toneladas serão retiradas por 40 pessoas em 30 dias ?
79 – ( CEFETQ – 1996 ) Uma frota de caminhões percorreu 3 000 km para transportar uma mercadoria, com velocidade média de 60 km/h, gastando 10 dias. Quantos dias serão necessários para que, nas mesmas condições, uma frota idêntica percorra 4 500 km com uma velocidade média de 50 km/h ?
80 – ( CEFETQ – 1997 ) Há 40 dias, um torneira na casa de Neilson está apresentando um vazamento de 45 gotas por minuto. Se um vazamento de 20 gotas por minuto, apresentado pela mesma torneira, desperdiça 100 litros de água em 30 dias, calcular o número de litros de água já desperdiçados na casa de Neilson.
81 – ( EsPECEx – 1981 ) Se 12 recenseadores visitam 1440 famílias em 5 dias de trabalho de 8 horas por dia, quantas famílias serão visitadas por 5 recenseadores, em 6 dias, trabalhando 4 horas por dia ?
82 – ( EsPECEx – 1982 ) Um grupo de jovens, em 16 dias, fabricam 320 colares de 1,20 m de cada. Quantos colares de 1,25 m serão fabricados em 5 dias ?
83 – ( EsPECEx – 1983 ) Um trem percorreu 200 km em certo tempo. Se tivesse aumentado sua velocidade em 10 km/h, teria percorrido essa distância em 1 hora menos. Determinar a velocidade do trem, em km/h.
Regra de Três – Questões Objetivas
84 – Se 4 máquinas fazem um serviço em 6 dias, então 3 dessas máquinas farão o mesmo serviço em:
a) 7 dias b) 8 dias c) 9 dias d) 4,5 dias
85 – Um quilo de algodão custa R$ 50,00. Um pacote de 40 gramas do mesmo algodão custa :
a) R$ 1,80 b) R$ 2,00 c) R$ 2,20 d) R$ 2,50
86 – Um litro de água do mar contém 25 gramas de sal. Então, para se obterem 50 kg de sal, o número necessário de litros de água do mar será:
a) 200 b) 500 c) 2 000 d) 5 000
87 – Um avião percorre 2 700 km em quatro horas. Em uma hora e 20 minutos de vôo percorrerá:
a) 675 km b) 695 km c) 810 km d) 900 km
88 – Na fabricação de 20 camisetas, 8 máquinas gastam 4 horas. Para produzir 15 dessas camisetas, 4 máquinas gastariam quantas horas ?
a) 3 horas b) 6 horas c) 5 horas d) 4 horas
89 – Em 7 dias, 40 cachorros consomem 100 kg de ração. Em quantos dias 3/8 deles comeriam 75 kg de ração ?
a) 10 dias. b) 12 dias. c) 14 dias. d) 18 dias
90 – Três máquinas imprimem 9.000 cartazes em uma dúzia de dias. Em quantos dias 8/3 dessas máquinas imprimem 4/3 dos cartazes, trabalhando o mesmo número de horas por dia?
a) 4 dias. b) 6 dias. c) 9 dias. d) 12 dias
91 – ( VESTIBULINHO – SP ) Numa corrida de FórmuIa 1, um corredor dá uma volta na pista em 1 minuto e 30 segundos com velocidade média de 200 km por hora. Se sua velocidade média cair para 180km por hora, o tempo gasto para a mesma volta na pista será de:
a) 2 min b) 2 min e 19 segundos
c) 1 min e 40 segundos d) 1 min e 50 segundos
92 – ( UMC – SP ) Um carro consumiu 50 litros de álcool para percorrer 600 km. Supondo condições equivalentes, esse mesmo carro, para percorrer 840 km, consumirá :
a) 68 litros b) 80 litros c) 75 litros d) 70 litros
93 – ( UF – MG ) Uma empresa tem 750 empregados e comprou marmitas individuais congeladas suficientes para o almoço deles durante 25 dias. Se essa empresa tivesse mais 500 empregados, a quantidade de marmitas já adquiridas seria suficiente para um numero de dias igual a:
a) 10 b) 12 c) 15 d) 18
94 – ( UDF ) Uma máquina varredeira limpa uma área de 5.100 m2 em 3 horas de trabalho. Nas mesmas condições, em quanto tempo limpará uma área de 11.900 m2 ?
a) 4 horas b) 5 horas c) 7 horas d) 9 horas
95 – ( PUC – SP ) Um motorista de táxi, trabalhando 6 horas por dia durante 10 dias, gasta R$ 1.026,00 de gás. Qual será o seu gasto mensal, se trabalhar 4 horas por dia ?
a) R$ 1.026,00 b) R$ 2.052,00
c) R$ 3.078,00 d) R$ 4.104,00
96 – ( VUNESP – SP ) Um secretário gastou 15 dias para desenvolver um certo projeto, trabalhando 7 horas por dia. Se o prazo concedido fosse de 21 dias para realizar o mesmo projeto, poderia ter trabalhado :
a) 2 horas a menos por dia. b) 2 horas a mais por dia.
c) 3 horas a menos por dia. d) 3 horas a mais por dia.
97 – ( MACK – SP ) Se 15 operários em 9 dias de 8 horas ganham R$ 10.800,00; 23 operários em 12 dias de 6 horas ganhariam :
a) R$ 16.560,00 b) R$ 17.560,00.
c) R$ 26.560,00. d) R$ 29.440,00
98 – ( SANTA CASA – SP ) Sabe-se que 4 máquinas, operando 4 horas por dia, durante 4 dias, produzem 4 toneladas de certo produto Quantas toneladas do mesmo produto seriam produzidas por 6 máquinas daquele tipo, operando 6 horas por dia, durante 6 dias ?
a) 8 b) 15 c) 10,5 d) 13,5
99 – ( FEP – PA ) Para asfaltar 1 km de estrada, 30 homens gastaram 12 dias trabalhando 8 horas por horas por dia. Vinte homens, para asfaltar 2 km da mesma estrada, trabalhando 12 horas por dia, gastarão :
a) 6 dias. b) 12 dias. c) 24 dias. d) 28 dias.
100 – ( PUCCAMP-SP ) Operando 12 horas por dia horas, 20 máquinas produzem 6000 peças em 6 dias. Com 4 horas a menos de trabalho diário, 15 daquelas máquinas produzirão 4.000 peças em:
a) 8 dias b) 9 dias
c) 9 dias e 6 horas. d) 8 dias e 12 horas.
101 – ( USP – SP ) Uma família de 6 pessoas consome em 2 dias 3 kg de pão. Quantos quilos serão necessários para alimentá-lo durante 5 dias estando ausentes 2 pessoas ?
a) 3 quilos b) 4 quilos c) 5 quilos d) 6 quilos
102 – ( Unimep – SP ) Se dois gatos comem dois ratos em dois minutos, para comer 60 ratos em 30 minutos são necessários:
a) 4 gatos b) 3 gatos c) 2 gatos
d) 5 gatos e) 6 gatos
102 – ( FAAP – SP ) Numa campanha de divulgação do vestibular, o diretor mandou confeccionar cinqüenta mil folhetos. A gráfica realizou o serviço em cinco dias, utilizando duas máquinas de mesmo rendimento, oito horas por dia. O diretor precisou fazer nova encomenda. Desta vez, sessenta mil folhetos. Nessa ocasião, uma das máquinas estava quebrada. Para atender o pedido, a gráfica prontificou-se a trabalhar 12 horas por dia, executando o serviço em :
a) 5 dias b) 8 dias c) 10 dias d) 12 dias
103 – ( PUC Campinas 2001 ) Em uma fábrica, constatou-se que eram necessários 8 dias para produzir certo nº de aparelhos, utilizando-se os serviços de 7 operários, trabalhando 3 horas a cada dia. Para reduzir a dois dias o tempo de produção, é necessário :
a) triplicar o nº de operários
b) triplicar o nº de horas trabalhadas por dia
c) triplicar o nº de horas trabalhadas por dia e o nº de
operários
d) duplicar o nº de operários
e) duplicar o nº de operários e o número de horas
trabalhadas por dia
104 – ( UNICAMP 2001. ) Uma obra será executada por 13 operários (de mesma capacidade de trabalho) trabalhando durante 11 dias com jornada de trabalho de 6 horas por dia. Decorridos 8 dias do início da obra 3 operários adoeceram e a obra deverá ser concluída pelos operários restantes no prazo estabelecido anteriormente. Qual deverá ser a jornada diária de trabalho dos operários restantes nos dias que faltam para a conclusão da obra no prazo previsto ?
a) 7h 42 min
b) 7h 44 min
c) 7h 46 min
d) 7h 48 min
e) 7h 50 min
105 – ( CEFET – 1990 ) Uma fazenda tem 30 cavalos e ração estocada para alimentá-los durante 2 meses. Se forem vendidos 10 cavalos e a ração for reduzida à metade. Os cavalos restantes poderão ser alimentados durante:
a) 10 dias b) 15 dias c) 30 dias
d) 45 dias e) 180 dias
106 – ( CEFETQ – 1980 ) Em um laboratório de Química, trabalham 16 químicos e produzem em 8 horas de trabalho diário, 240 frascos de uma certa substância. Quantos químicos são necessários para produzir 600 frascos da mesma substância, com 10 horas de trabalho por dia ?
a) 30 b) 40 c) 45 d) 50
Respostas dos Exercícios de Regra de Três Simples e Composta
01) 40 kg
02) 14 sacas
03) 42 litros
04) 60 min
05) 60 minutos = 1 hora
06) 8 máquinas
07) 702 litros
08) 77 caixas
09) 532 km
10) 15 litros
11) 33 h 20 min
12) 6 minutos
13) 9 min / 54 min / 15 dias
14) 14 cm
15) 10 cm
16) 40 m3
17) 5.250 voltas
18) 110 g
19) 18 cm
20) 55 fitas
21) 56.250 litros
22) Nota 8
23) 9 metros
24) 30 m
25) 371 cm ou 3,71 m
26) 7.840 litros
27) 43.925 cm
28) 3.600 g
29) 300 azulejos
30) 40 graus
31) 770 m2
32) 42 m/s
33) 108 km/h
34) 270 recenseadores
35) 1.034 voltas
36) a)84 min b) 1 h 24 min
37) 14 dias
38) 10 dias
39) 4 horas
40) 60 km/h
41) 20 caminhões
42) 41 m
43) 20 metros
44) 40 dias
45) 14 peças
46) 16 pessoas
47) 4 h 15 min
48) 96 horas
49) 25 operários
50) 40 latas
51) 3 minutos
52) 10 caminhões
53) 4 horas
54) 25 m
55) 20 cm
56) 16 dias e 16 horas
57) 320 páginas
58) 420 páginas
59) 80 km/h
60) 75 voltas
61) 2.170 km
62) 2 horas
63) 4 dias
64) 150 kg
65) 50 dias
66) 250 litros
67) 12 operários
68) 15 dias
69) 16 dias
70) 4 dias
71) 216 caixas
72) 7 kw
73) 24 ovos
74) 5 min
75) 12 máquinas
76) 5 kg
77) 9 horas
78) 1.800 toneladas
79) 18 dias
80) 300 litros
81) 360 famílias
82) 480 colares
83) 5 horas
84) letra d
85) letra b
86) letra c
87) letra d
88) letra b
89) letra c
90) letra b
91) letra c
92) letra d
93) letra c
94) letra c
95) letra b
96) letra a
97) letra a
98) letra d
99) letra c
100) letra a
101) letra c
102) letra a
103) letra e
104) letra d
105) letra d
106) letra d
107) letra e
EXERCÍCIOS
01 – O consecutivo e o antecedente de um número natural n serão respectivamente :
02 – Se n é par, o consecutivo par de n será ........... Se n é ímpar, o consecutivo ímpar de n será ...........
03 – O consecutivo e o antecedente de um número par será, necessariamente, um número :
04 – Se n é um número natural significativo, diga se são números pares ou ímpares, as expressões abaixo : 2n +1 ; 8n – 6 ; 6n – 1 ; 5n + 3
05 – Quantas classes e quantas ordens possui um número de 8 algarismos ?
06 – Determine o número formado por : 5 dezenas de milhar, 2 unidades de milhar, 7 unidades de 3ª ordem e 48 unidades simples.
07 – No número formado por 5 unidades de 4ª ordem, 3 unidades de 3ª ordem e 7 unidades simples, o Valor relativo do algarismo 3 acrescido do valor absoluto do algarismo 5 é :
08 – A soma dos valores relativos dos algarismos de um número é sempre igual ao ..................... .
09 – Em que ordem a diferença entre os valores relativo e absoluto de um algarismos é nula ?
10 – A diferença entre o V.A. e o V.R. de um algarismo em um número é 396. Que algarismos é esse ? e que ordem ele ocupa nesse número ?
11 – Quantas dezenas possui o número cujo triplo da soma dos valores relativos de seus algarismos é 873 ?
12 – Qual é o maior e o menor número natural de dois algarismos ?
13 – Qual é o maior e o menor número de dois algarismos diferentes ?
14 – Qual é o maior e o menor número natural de três algarismos diferentes?
15 – Qual é o maior e o menor número natural de três algarismos pares e diferentes ?
16 – Qual é o maior e o menor número de quatro algarismos, significativos e diferentes ?
17 – Qual é o maior e o menor número par de quatro algarismos, significativos e diferentes ?
18 – Qual é o maior e o menor número ímpar de quatro algarismos diferentes ?
19 – Qual é o maior e o menor número de cinco algarismos ímpares e diferentes ?
20 – Determine a diferença entre o menor número par de quatro algarismos diferentes e o maior número de 3 algarismos ímpares e diferentes.
21 – Quantos algarismos utilizo para escrever os 150 primeiros números naturais ?
22 – Para escrevermos de 27 até 498, inclusive, utilizamos ............. números e .............. algarismos .
23 – Quantos algarismos serão necessários para escrevermos de 33 até 1.498 ?
24 – Quantos algarismos são necessários para se escrever os números pares situados entre 63 e 709 ?
25 – Quantos algarismos serão necessários para se escrever os números ímpares situados entre 45 e 585?
26 – Quantos algarismos são necessários para escrevermos todos os números pares de três algarismos?
27 – Quantos algarismos utilizo ao escrever todos os múltiplos de 3 compreendidos entre 23 e 314 ?
28 – Quantos algarismos serão utilizados para escre-vermos todos os múltiplos pares de 7 compreendidos no intervalo numérico 42, 43, 44, ....444 ?
29 – Quantos algarismos são necessários para escre-vermos os números de n algarismos ?
30 – Quantos tipos de um algarismos são necessários para numerar as páginas de um livro de 314 páginas numeradas ?
31 – Foram gastos para paginar um livro 792 tipos de um algarismo. Quantas páginas tem esse livro ?
32 – Um aluno escreveu, sem separar os algarismos, a sucessão dos números naturais maiores que zero. Que algarismo ocupará a 1.467º posição ?
33 – Um aluno escreveu, sem separar os algarismos, a sucessão dos números naturais maiores que zero. Que algarismo ocupará a posição de número 454 ?
34 – Ao escrevermos todos os números naturais menores que 1.236, quantas vezes o algarismo 5 aparece na ordem das unidades simples ?
35 – Ao escrevermos todos os números naturais menores que 2.235, quantas vezes o algarismo 2 aparece na ordem das centenas simples ?
36 – Na sucessão dos naturais : 0, 1, 2, ........4.639, quantas vezes aparece o algarismo 6
37 – Qual é o número que aumenta de 513 unidades quando acrescentamos a sua direita o algarismo “0” ?
38 – Qual é o número que aumenta de 346 quando acrescentamos um 4 à sua direita ?
39 – Qual é o número que aumenta de 2 793 quando acrescentamos à sua direita o número 21 ?
40 – Qual é o maior número ímpar de dois algarismos que aumenta de 180 unidades quando colocamos um zero entre seus dois algarismos ?
41 – Um aluno digitou em seu PC a sucessão dos números naturais até 465. Por um problema em seu teclado, cada vez que era digitado o algarismo 7,aparecia em seu lugar o algarismo 3. Dessa forma, quantas vezes apareceu o dígito 3 nessa sucessão ?
42 – Um jovem escreveu, sem separar os algarismos, a sucessão dos naturais menores que 1.279. Quantas vezes nessa sucessão aparecerá o grupo “12” ?
43 – ( Colégio Naval ) – Determinar o números de algarismos necessários para escrever os números ímpares de 5 até 175 inclusive.
44 – ( Colégio Naval ) – Um aluno escreveu todos os números naturais de 1 até 2.850. Quantas vezes ele escreveu o algarismo 7 ?
45 – ( Colégio Naval ) – Um número de seis algarismos começa, à esquerda, pelo algarismo 1. Levando-se esse algarismo 1, para o último lugar, à direita, conservando a seqüência dois demais algarismos, o novo número é o triplo do número primitivo. O número primitivo é :
A) 100.006 B) múltiplo de 11 C) múltiplo de 4
D) maior que 180 000 E) divisível por 5
46 – ( XXII Olimpíada Brasileira de Matemática ) – Os números inteiros positivos de 1 a 1.000 são escritos lado a lado, em ordem crescente, formando a seqüência: 123456789101112131415...9991000. Nessa seqüência, quantas vezes aparece o grupo "89"?
a) 98
b) 32
c) 22
d) 89
e) 21
47 – ( XXIII Olimpíada Brasileira de Matemática ) – São escritos todos os números de 1 a 999 nos quais o algarismo 1 aparece exatamente 2 vezes (tais como, 11, 121, 411, etc). A soma de todos estes números é:
a) 6882
b) 5994
c) 4668
d) 7224
e) 3448
48 – ( EFEI – 2000 ) Qual é o número natural de dois algarismos que fica aumentado de 178 unidades quando acrescentamos, à sua direita, o algarismo 7?
49 – ( XXIII Olimpíada Brasileira de Matemática ) – São escolhidos dois números inteiros entre 1 e 100 inclusive, tais que a diferença é 7 e o produto é múltiplo de 5. De quantas maneiras pode ser feita a escolha ?
50 – ( Olimpíada Brasileira de Matemática ) – O número 10 pode ser escrito de duas formas como soma de dois números primos: 10 = 5 + 5 e 10 = 7 + 3. De quantas maneiras podemos expressar o número 25 como uma soma de dois números primos ?
A) 4
B) 1
C) 2
D) 3
E) nenhuma
51 – ( EsPeCEx ) Empregaram-se 1.507 algarismos para escrever números inteiros e consecutivos, dos quais o menor é 23. O maior deles será :
52 – ( Questão Desafio 1 ) – Quantos algarismos utilizo para escrever todos os múltiplos naturais de 3 inferiores a 330 e que não sejam múltiplos de 5.
53 – ( Questão Desafio 2 ) – Quantos algarismos “3” utilizo para escrever todos os números naturais começando no 33 e terminando no número 333 ?
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
01) n + 1 e n – 1
02) n + 2 e n – 2
03) ímpar
04) 2n +1 e 6n – 1 è impar
8n – 6 è par
5n + 3 è depende de n
05) 8 ordens e 3 classes
06) 52.748
07) 305
08) próprio número
09) unidades simples
10) 4 e 3ª ordem
11) 9 dezenas
12) 99 e 10
13) 98 e 10
14) 987 e 102
15) 204 e 864
16) 9.876 e 1.234
17) 9.876 e 1.234
18) 9.875 e 1235
19) 13.579 e 97.531
20) 49
21) 340
22) 472 e 1.343
23) 4.830
24) 951
25) 783
26) 1.350
27) 265
28) 82
29) x para n>1
30) 1.887
31) 300 páginas
32) 5
33) 1
34) 124
35) 236
36) 1.364
37) 57
38) 38
39) 28
40) 29
41) 273
42) 93
43) 207
44) 865
45) letra b
46) 23
47) letra a
48) 19
49) 37 maneiras
50) 1 è 2 + 23
51) 400
52) 234
53) 636
02 – Se n é par, o consecutivo par de n será ........... Se n é ímpar, o consecutivo ímpar de n será ...........
03 – O consecutivo e o antecedente de um número par será, necessariamente, um número :
04 – Se n é um número natural significativo, diga se são números pares ou ímpares, as expressões abaixo : 2n +1 ; 8n – 6 ; 6n – 1 ; 5n + 3
05 – Quantas classes e quantas ordens possui um número de 8 algarismos ?
06 – Determine o número formado por : 5 dezenas de milhar, 2 unidades de milhar, 7 unidades de 3ª ordem e 48 unidades simples.
07 – No número formado por 5 unidades de 4ª ordem, 3 unidades de 3ª ordem e 7 unidades simples, o Valor relativo do algarismo 3 acrescido do valor absoluto do algarismo 5 é :
08 – A soma dos valores relativos dos algarismos de um número é sempre igual ao ..................... .
09 – Em que ordem a diferença entre os valores relativo e absoluto de um algarismos é nula ?
10 – A diferença entre o V.A. e o V.R. de um algarismo em um número é 396. Que algarismos é esse ? e que ordem ele ocupa nesse número ?
11 – Quantas dezenas possui o número cujo triplo da soma dos valores relativos de seus algarismos é 873 ?
12 – Qual é o maior e o menor número natural de dois algarismos ?
13 – Qual é o maior e o menor número de dois algarismos diferentes ?
14 – Qual é o maior e o menor número natural de três algarismos diferentes?
15 – Qual é o maior e o menor número natural de três algarismos pares e diferentes ?
16 – Qual é o maior e o menor número de quatro algarismos, significativos e diferentes ?
17 – Qual é o maior e o menor número par de quatro algarismos, significativos e diferentes ?
18 – Qual é o maior e o menor número ímpar de quatro algarismos diferentes ?
19 – Qual é o maior e o menor número de cinco algarismos ímpares e diferentes ?
20 – Determine a diferença entre o menor número par de quatro algarismos diferentes e o maior número de 3 algarismos ímpares e diferentes.
21 – Quantos algarismos utilizo para escrever os 150 primeiros números naturais ?
22 – Para escrevermos de 27 até 498, inclusive, utilizamos ............. números e .............. algarismos .
23 – Quantos algarismos serão necessários para escrevermos de 33 até 1.498 ?
24 – Quantos algarismos são necessários para se escrever os números pares situados entre 63 e 709 ?
25 – Quantos algarismos serão necessários para se escrever os números ímpares situados entre 45 e 585?
26 – Quantos algarismos são necessários para escrevermos todos os números pares de três algarismos?
27 – Quantos algarismos utilizo ao escrever todos os múltiplos de 3 compreendidos entre 23 e 314 ?
28 – Quantos algarismos serão utilizados para escre-vermos todos os múltiplos pares de 7 compreendidos no intervalo numérico 42, 43, 44, ....444 ?
29 – Quantos algarismos são necessários para escre-vermos os números de n algarismos ?
30 – Quantos tipos de um algarismos são necessários para numerar as páginas de um livro de 314 páginas numeradas ?
31 – Foram gastos para paginar um livro 792 tipos de um algarismo. Quantas páginas tem esse livro ?
32 – Um aluno escreveu, sem separar os algarismos, a sucessão dos números naturais maiores que zero. Que algarismo ocupará a 1.467º posição ?
33 – Um aluno escreveu, sem separar os algarismos, a sucessão dos números naturais maiores que zero. Que algarismo ocupará a posição de número 454 ?
34 – Ao escrevermos todos os números naturais menores que 1.236, quantas vezes o algarismo 5 aparece na ordem das unidades simples ?
35 – Ao escrevermos todos os números naturais menores que 2.235, quantas vezes o algarismo 2 aparece na ordem das centenas simples ?
36 – Na sucessão dos naturais : 0, 1, 2, ........4.639, quantas vezes aparece o algarismo 6
37 – Qual é o número que aumenta de 513 unidades quando acrescentamos a sua direita o algarismo “0” ?
38 – Qual é o número que aumenta de 346 quando acrescentamos um 4 à sua direita ?
39 – Qual é o número que aumenta de 2 793 quando acrescentamos à sua direita o número 21 ?
40 – Qual é o maior número ímpar de dois algarismos que aumenta de 180 unidades quando colocamos um zero entre seus dois algarismos ?
41 – Um aluno digitou em seu PC a sucessão dos números naturais até 465. Por um problema em seu teclado, cada vez que era digitado o algarismo 7,aparecia em seu lugar o algarismo 3. Dessa forma, quantas vezes apareceu o dígito 3 nessa sucessão ?
42 – Um jovem escreveu, sem separar os algarismos, a sucessão dos naturais menores que 1.279. Quantas vezes nessa sucessão aparecerá o grupo “12” ?
43 – ( Colégio Naval ) – Determinar o números de algarismos necessários para escrever os números ímpares de 5 até 175 inclusive.
44 – ( Colégio Naval ) – Um aluno escreveu todos os números naturais de 1 até 2.850. Quantas vezes ele escreveu o algarismo 7 ?
45 – ( Colégio Naval ) – Um número de seis algarismos começa, à esquerda, pelo algarismo 1. Levando-se esse algarismo 1, para o último lugar, à direita, conservando a seqüência dois demais algarismos, o novo número é o triplo do número primitivo. O número primitivo é :
A) 100.006 B) múltiplo de 11 C) múltiplo de 4
D) maior que 180 000 E) divisível por 5
46 – ( XXII Olimpíada Brasileira de Matemática ) – Os números inteiros positivos de 1 a 1.000 são escritos lado a lado, em ordem crescente, formando a seqüência: 123456789101112131415...9991000. Nessa seqüência, quantas vezes aparece o grupo "89"?
a) 98
b) 32
c) 22
d) 89
e) 21
47 – ( XXIII Olimpíada Brasileira de Matemática ) – São escritos todos os números de 1 a 999 nos quais o algarismo 1 aparece exatamente 2 vezes (tais como, 11, 121, 411, etc). A soma de todos estes números é:
a) 6882
b) 5994
c) 4668
d) 7224
e) 3448
48 – ( EFEI – 2000 ) Qual é o número natural de dois algarismos que fica aumentado de 178 unidades quando acrescentamos, à sua direita, o algarismo 7?
49 – ( XXIII Olimpíada Brasileira de Matemática ) – São escolhidos dois números inteiros entre 1 e 100 inclusive, tais que a diferença é 7 e o produto é múltiplo de 5. De quantas maneiras pode ser feita a escolha ?
50 – ( Olimpíada Brasileira de Matemática ) – O número 10 pode ser escrito de duas formas como soma de dois números primos: 10 = 5 + 5 e 10 = 7 + 3. De quantas maneiras podemos expressar o número 25 como uma soma de dois números primos ?
A) 4
B) 1
C) 2
D) 3
E) nenhuma
51 – ( EsPeCEx ) Empregaram-se 1.507 algarismos para escrever números inteiros e consecutivos, dos quais o menor é 23. O maior deles será :
52 – ( Questão Desafio 1 ) – Quantos algarismos utilizo para escrever todos os múltiplos naturais de 3 inferiores a 330 e que não sejam múltiplos de 5.
53 – ( Questão Desafio 2 ) – Quantos algarismos “3” utilizo para escrever todos os números naturais começando no 33 e terminando no número 333 ?
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
01) n + 1 e n – 1
02) n + 2 e n – 2
03) ímpar
04) 2n +1 e 6n – 1 è impar
8n – 6 è par
5n + 3 è depende de n
05) 8 ordens e 3 classes
06) 52.748
07) 305
08) próprio número
09) unidades simples
10) 4 e 3ª ordem
11) 9 dezenas
12) 99 e 10
13) 98 e 10
14) 987 e 102
15) 204 e 864
16) 9.876 e 1.234
17) 9.876 e 1.234
18) 9.875 e 1235
19) 13.579 e 97.531
20) 49
21) 340
22) 472 e 1.343
23) 4.830
24) 951
25) 783
26) 1.350
27) 265
28) 82
29) x para n>1
30) 1.887
31) 300 páginas
32) 5
33) 1
34) 124
35) 236
36) 1.364
37) 57
38) 38
39) 28
40) 29
41) 273
42) 93
43) 207
44) 865
45) letra b
46) 23
47) letra a
48) 19
49) 37 maneiras
50) 1 è 2 + 23
51) 400
52) 234
53) 636
sexta-feira, 1 de janeiro de 2010
DICAS 1
1. A primeira dica que eu gostaria de ressaltar é sobre a leitura da questão de matemática. Muitos alunos começam a ler a questão e, sem terminar de ler todo o enunciado, acham que já sabem o que o problema está pedindo e saem fazendo as contas. Mas, na verdade, não sabem realmente qual a pergunta do problema. Isso é muito ruim, pois em muitos problemas a pergunta está justamente no finalzinho do enunciado. Eu vou dar um exemplo: imaginem a seguinte questão - resolvendo a equação 3x = 12... Aí o aluno pára e fala: 3x = 12 eu sei; então x é 12 dividido por 3; então x é 4. Aí ele bate o olho na alternativa A : está escrito 4 na solução. Então, ele fala, "ah, acertei", então ele vai lá e marca. Só que olha como era o enunciado: resolvendo a equação 3x=12, então o valor de X ao quadrado é... Com esse exemplo, você vê que uma questão muito fácil pode ser jogada fora por causa de uma má leitura do enunciado. O que eu aconselho para você é o seguinte: faça uma primeira leitura do enunciado para você se familiarizar com o problema; é preciso que você compreenda o problema. Numa segunda leitura, analise os dados e a pergunta do problema; você precisa encontrar a conexão entre os dados e a incógnita. Encontrada essa conexão, aí sim você deve partir para a resolução do problema.
2. Em toda prova, existem questões fáceis, médias e difíceis. Ao começar resolver a prova, encare as questões como um jogo de pega-varetas. Resolva primeiro as questões que você achar que são fáceis, só para depois você fazer as médias e só depois de tudo isso encarar as difíceis. Se ao ler uma questão e perceber que você sabe sobre o assunto pedido naquele problema, mas naquele momento você não se lembra de um pequeno detalhe ou de uma formulazinha para poder solucionar o problema, pule para a próxima. Só volte para essa questão depois de ter lido as restantes e resolvido aquelas que apresentam soluções bem simples. Nunca fique muito tempo em uma única questão. Quando você perde muito tempo em uma questão, além de ficar nervoso, você joga fora a possibilidade de estar resolvendo questões mais fáceis, ou seja, está jogando fora a possibilidade de somar mais alguns pontinhos.
3. Existem alguns assuntos de matemática que são muito cobrados em praticamente todos os vestibulares, os quais muito provavelmente irão aparecer em sua prova. Eu vou listar esses assuntos e, se você tiver alguma dúvida sobre alguns deles, consulte seu professor ou pergunte pra algum amigo, pro vizinho, pro pai, pra mãe, pra qualquer pessoa, mas não vá fazer a prova sem estar familiarizado com o assunto. Bom, os assuntos são:
porcentagem;
logaritmos - não esqueça da definição, da condição de existência e das propriedades;
semelhança de triângulos;
teorema de Pitágoras;
progressão aritmética - não se esqueça do termo geral e da expressão da soma dos termos. Também não se esqueça de que, quando temos um número ímpar de termos numa PA, o termo do meio é igual à média aritmética dos extremos;
progressão geométrica - não se esqueça do termo geral e da expressão da soma dos termos da PG finita e da infinita. Também não se esqueça de que, quando temos um número ímpar de termos em PG, o termo do meio é a média geométrica dos extremos;
área de figuras planas;
olinômios;
análise combinatória - tenha muito clara, em sua cabeça, a diferença entre arranjos e combinações;
equações de reta e de circunferência;
números complexos.
Além desses assuntos, já faz algum tempo que a Fuvest não pede nada sobre matrizes e determinantes nas provas da primeira fase. Meu palpite diz que vale a pena dar uma olhadinha nesses assuntos, ou seja, operações com matrizes, cálculos de determinantes e propriedades.
4. Analisando as últimas provas da Fuvest, a gente percebe que a tendência do vestibular é cobrar o raciocínio lógico do aluno e não a simples "decoreba" de fórmulas, ou grandes cálculos algébricos para conferir se a gente sabe ou não fazer contas. Os examinadores estão preocupados em analisar se você sabe ou não interpretar o texto, analisar os dados, fazer interligações entre assuntos e disciplinas e, a partir dessa interligação e dessa análise de texto, encontrar alguma seqüência lógica para solucionar o problema. Se ao resolver um exercício você se deparar com contas imensas, números extremamente grandes, desconfie: o caminho que você está seguindo não é o correto ou deve existir um caminho mais fácil e menos trabalhoso para solucionar o exercício.
Ainda dentro dessa dica, queria falar sobre questões que apresentam enunciados muito longos, daquelas que você já olha e fica assustado - "isso aqui não sei". Geralmente, nesse tipo de questão, quando o aluno chega ao fim da leitura do enunciado, já se esqueceu o que dizia o começo do problema: aí fica nervoso e acaba considerando a questão difícil. Tome muito cuidado: quando os enunciados são cumpridos, nem sempre a questão é muito difícil. Nesse tipo de questão, o examinador costuma apresentar uma receita, tipo uma receita de bolo. O que você deve fazer então ? Com calma, leia novamente o texto, interprete o problema em si e siga os passos da receita apresentada. Com certeza, você chegará à solução.
5. Equação do segundo grau é toda equação que pode ser escrita na forma
, com 
. Na equação do segundo grau, o "a", o "b" e o "c" são os coeficientes, e o "x" é a incógnita. Para resolvermos uma equação do segundo grau, podemos utilizar a forma resolutiva de Bhaskara, que é dada por:
em que
. Eu sei que você já está bem familiarizado com esta fórmula, mas o que eu gostaria mesmo de frisar é o delta. Quando aparecem questões sobre equação de segundo grau e o examinador faz referências ao delta, ele não fala delta e sim discriminante, ou seja, no meio de uma questão aparece uma frase do tipo "o discriminante de uma equação do segundo grau".... Se o aluno não sabe o que é discriminante, se assusta e pára a questão. Então, não se esqueça: o discriminante é o delta da equação do segundo grau.
Dentro ainda do assunto de equação de segundo grau, queria relembrar soma e produto. A soma das raízes da equação do segundo grau, ou seja:
.
e o produto, que é
.
Quando você tem que usar soma e produto? Existem alguns casos em que vale a pena a gente dar uma olhadinha. Quando o exercício nos dá uma relação entre as raízes, ou está pedindo uma relação entre as raízes, do tipo
, quanto que vale? Geralmente, quando é pedida uma relação entre as raízes e o aluno não sabe soma e produto, as contas se tornam grandes, pois o delta desse tipo de equação não costuma dar um quadrado perfeito e você acaba se enroscando no meio das contas.
06. Dicas para quem vai prestar o vestibular da Fuvest este ano. Se você quer dar aquela revisada mas o tempo é curto, selecione alguns assuntos quase que inevitáveis, ou seja, aqueles que possuem uma probabilidade maior de ocorrência na primeira fase da Fuvest.
A Álgebra, como sabemos, é a campeã das aparições. Priorize funções de primeiro e segundo graus, assim como inequações e análise de gráficos - ou seja, procure identificar os pontos notáveis para a obtenção de gráficos; por exemplo, ponto de máximo e mínimo, coeficiente linear...
Quanto a matrizes, enfatize o produto entre matrizes, além do cálculo de determinante de terceira ordem; fixe-se bem em conceitos e propriedades. Agora, se o assunto é Logaritmos, preste atenção nas definições e, principalmente, nas propriedades.
Em Trigonometria, procure amadurecer bem a trigonometria no triângulo retângulo e enxergar os eixos seno, cosseno e tangente - e , principalmente, ter a percepção de que os ângulos não estão nos eixos coordenados, embora normalmente sejam a incógnita de uma equação trigonométrica. Falando em equação trigonométrica, é bom não esquecer a famosa relação fundamental: o seno ao quadrado de um ângulo, mais o cosseno ao quadrado do mesmo ângulo, é sempre igual a um. Na maioria dos casos, em Trigonometria essa relação é a salvadora da pátria, e dificilmente te deixa na mão.
07. Questões criativas e bem formuladas de Geometria Plana têm sido cobradas com muita freqüência pela Fuvest. Dentro desse assunto, dê prioridade à semelhança entre triângulos, além do cálculo de áreas de figuras planas de uma forma geral: quadriláteros, triângulos, círculos, etc. Atente, principalmente, para polígonos com "n" lados e procure enxergar figuras mais simples em sua composição, como, por exemplo, o cálculo da área de um hexágono, que é visto como seis vezes a área de um triângulo equilátero de lado igual ao lado do hexágono.
Ainda em geometria plana: evite, nos exercícios de semelhança, desenhar as figuras semelhantes fora do desenho normalmente dado - é pura perda de tempo: nem sempre (ou melhor, nunca) há espaço suficiente para isso na folha de rascunho. Procure - através dos ângulos nas figuras, que, em geral, são triângulos - identificar a semelhança entre elas e estabelecer uma correspondência entre os lados proporcionais e seus respectivos ângulos. Isso suaviza o exercício e, o que é melhor, você ganha tempo para se dedicar a outros exercícios que exijam conhecimentos mais específicos da matéria.
08. Um toque especial, para quem concorre a uma vaga nesse vestibular, é que apesar da Álgebra continuar reinando absoluta, a Geometria Plana e a Aritmética têm chegado lá com muita força. Uma boa pedida para investir tempo de estudo nessa altura do campeonato é em questões de Aritmética, em especial envolvendo porcentagens. Nos últimos anos, cobra-se mais o raciocínio lógico do que propriamente o acúmulo de fórmulas na cabeça; eu costumo até dizer que o cara que sabe bem regra de três e, conseqüentemente, a relação entre o todo e a parte, já tem meio caminho andado para se dar bem nas provas de Química, Física, Matemática e até mesmo de Biologia. Além disso, é provável que esse ano sejam misturados postulados e teoremas de Geometria de Posição com Geometria Espacial. Nesse tópico, estude Pirâmides, Cones e Cilindros e seus respectivos troncos, e preste atenção nas partes da esfera, além dos conjuntos de sólidos que podem ser inseridos um no outro - por exemplo, um cubo dentro de uma esfera. Quanto à Geometria Analítica, é fatal: retas e circunferências têm roubado a cena. Posições relativas entre reta e reta, reta e circunferência e o conceito de coeficiente angular têm de estar bem amadurecidos. Preste atenção: o coeficiente angular representa a tangente do ângulo que a reta forma com o eixo "x". Procure interligar os assuntos, não os veja em compartimentos estanques, pois tudo acaba se encontrando. Além disso, sempre que possível em geometria analítica, faça um desenho para ajudar: não é a saída para todos os exercícios, mas na maioria dos casos ajuda bastante.
2. Em toda prova, existem questões fáceis, médias e difíceis. Ao começar resolver a prova, encare as questões como um jogo de pega-varetas. Resolva primeiro as questões que você achar que são fáceis, só para depois você fazer as médias e só depois de tudo isso encarar as difíceis. Se ao ler uma questão e perceber que você sabe sobre o assunto pedido naquele problema, mas naquele momento você não se lembra de um pequeno detalhe ou de uma formulazinha para poder solucionar o problema, pule para a próxima. Só volte para essa questão depois de ter lido as restantes e resolvido aquelas que apresentam soluções bem simples. Nunca fique muito tempo em uma única questão. Quando você perde muito tempo em uma questão, além de ficar nervoso, você joga fora a possibilidade de estar resolvendo questões mais fáceis, ou seja, está jogando fora a possibilidade de somar mais alguns pontinhos.
3. Existem alguns assuntos de matemática que são muito cobrados em praticamente todos os vestibulares, os quais muito provavelmente irão aparecer em sua prova. Eu vou listar esses assuntos e, se você tiver alguma dúvida sobre alguns deles, consulte seu professor ou pergunte pra algum amigo, pro vizinho, pro pai, pra mãe, pra qualquer pessoa, mas não vá fazer a prova sem estar familiarizado com o assunto. Bom, os assuntos são:
porcentagem;
logaritmos - não esqueça da definição, da condição de existência e das propriedades;
semelhança de triângulos;
teorema de Pitágoras;
progressão aritmética - não se esqueça do termo geral e da expressão da soma dos termos. Também não se esqueça de que, quando temos um número ímpar de termos numa PA, o termo do meio é igual à média aritmética dos extremos;
progressão geométrica - não se esqueça do termo geral e da expressão da soma dos termos da PG finita e da infinita. Também não se esqueça de que, quando temos um número ímpar de termos em PG, o termo do meio é a média geométrica dos extremos;
área de figuras planas;
olinômios;
análise combinatória - tenha muito clara, em sua cabeça, a diferença entre arranjos e combinações;
equações de reta e de circunferência;
números complexos.
Além desses assuntos, já faz algum tempo que a Fuvest não pede nada sobre matrizes e determinantes nas provas da primeira fase. Meu palpite diz que vale a pena dar uma olhadinha nesses assuntos, ou seja, operações com matrizes, cálculos de determinantes e propriedades.
4. Analisando as últimas provas da Fuvest, a gente percebe que a tendência do vestibular é cobrar o raciocínio lógico do aluno e não a simples "decoreba" de fórmulas, ou grandes cálculos algébricos para conferir se a gente sabe ou não fazer contas. Os examinadores estão preocupados em analisar se você sabe ou não interpretar o texto, analisar os dados, fazer interligações entre assuntos e disciplinas e, a partir dessa interligação e dessa análise de texto, encontrar alguma seqüência lógica para solucionar o problema. Se ao resolver um exercício você se deparar com contas imensas, números extremamente grandes, desconfie: o caminho que você está seguindo não é o correto ou deve existir um caminho mais fácil e menos trabalhoso para solucionar o exercício.
Ainda dentro dessa dica, queria falar sobre questões que apresentam enunciados muito longos, daquelas que você já olha e fica assustado - "isso aqui não sei". Geralmente, nesse tipo de questão, quando o aluno chega ao fim da leitura do enunciado, já se esqueceu o que dizia o começo do problema: aí fica nervoso e acaba considerando a questão difícil. Tome muito cuidado: quando os enunciados são cumpridos, nem sempre a questão é muito difícil. Nesse tipo de questão, o examinador costuma apresentar uma receita, tipo uma receita de bolo. O que você deve fazer então ? Com calma, leia novamente o texto, interprete o problema em si e siga os passos da receita apresentada. Com certeza, você chegará à solução.
5. Equação do segundo grau é toda equação que pode ser escrita na forma
, com 
. Na equação do segundo grau, o "a", o "b" e o "c" são os coeficientes, e o "x" é a incógnita. Para resolvermos uma equação do segundo grau, podemos utilizar a forma resolutiva de Bhaskara, que é dada por:
em que
. Eu sei que você já está bem familiarizado com esta fórmula, mas o que eu gostaria mesmo de frisar é o delta. Quando aparecem questões sobre equação de segundo grau e o examinador faz referências ao delta, ele não fala delta e sim discriminante, ou seja, no meio de uma questão aparece uma frase do tipo "o discriminante de uma equação do segundo grau".... Se o aluno não sabe o que é discriminante, se assusta e pára a questão. Então, não se esqueça: o discriminante é o delta da equação do segundo grau.Dentro ainda do assunto de equação de segundo grau, queria relembrar soma e produto. A soma das raízes da equação do segundo grau, ou seja:
.
e o produto, que é
.
Quando você tem que usar soma e produto? Existem alguns casos em que vale a pena a gente dar uma olhadinha. Quando o exercício nos dá uma relação entre as raízes, ou está pedindo uma relação entre as raízes, do tipo
, quanto que vale? Geralmente, quando é pedida uma relação entre as raízes e o aluno não sabe soma e produto, as contas se tornam grandes, pois o delta desse tipo de equação não costuma dar um quadrado perfeito e você acaba se enroscando no meio das contas.06. Dicas para quem vai prestar o vestibular da Fuvest este ano. Se você quer dar aquela revisada mas o tempo é curto, selecione alguns assuntos quase que inevitáveis, ou seja, aqueles que possuem uma probabilidade maior de ocorrência na primeira fase da Fuvest.
A Álgebra, como sabemos, é a campeã das aparições. Priorize funções de primeiro e segundo graus, assim como inequações e análise de gráficos - ou seja, procure identificar os pontos notáveis para a obtenção de gráficos; por exemplo, ponto de máximo e mínimo, coeficiente linear...
Quanto a matrizes, enfatize o produto entre matrizes, além do cálculo de determinante de terceira ordem; fixe-se bem em conceitos e propriedades. Agora, se o assunto é Logaritmos, preste atenção nas definições e, principalmente, nas propriedades.
Em Trigonometria, procure amadurecer bem a trigonometria no triângulo retângulo e enxergar os eixos seno, cosseno e tangente - e , principalmente, ter a percepção de que os ângulos não estão nos eixos coordenados, embora normalmente sejam a incógnita de uma equação trigonométrica. Falando em equação trigonométrica, é bom não esquecer a famosa relação fundamental: o seno ao quadrado de um ângulo, mais o cosseno ao quadrado do mesmo ângulo, é sempre igual a um. Na maioria dos casos, em Trigonometria essa relação é a salvadora da pátria, e dificilmente te deixa na mão.
07. Questões criativas e bem formuladas de Geometria Plana têm sido cobradas com muita freqüência pela Fuvest. Dentro desse assunto, dê prioridade à semelhança entre triângulos, além do cálculo de áreas de figuras planas de uma forma geral: quadriláteros, triângulos, círculos, etc. Atente, principalmente, para polígonos com "n" lados e procure enxergar figuras mais simples em sua composição, como, por exemplo, o cálculo da área de um hexágono, que é visto como seis vezes a área de um triângulo equilátero de lado igual ao lado do hexágono.
Ainda em geometria plana: evite, nos exercícios de semelhança, desenhar as figuras semelhantes fora do desenho normalmente dado - é pura perda de tempo: nem sempre (ou melhor, nunca) há espaço suficiente para isso na folha de rascunho. Procure - através dos ângulos nas figuras, que, em geral, são triângulos - identificar a semelhança entre elas e estabelecer uma correspondência entre os lados proporcionais e seus respectivos ângulos. Isso suaviza o exercício e, o que é melhor, você ganha tempo para se dedicar a outros exercícios que exijam conhecimentos mais específicos da matéria.
08. Um toque especial, para quem concorre a uma vaga nesse vestibular, é que apesar da Álgebra continuar reinando absoluta, a Geometria Plana e a Aritmética têm chegado lá com muita força. Uma boa pedida para investir tempo de estudo nessa altura do campeonato é em questões de Aritmética, em especial envolvendo porcentagens. Nos últimos anos, cobra-se mais o raciocínio lógico do que propriamente o acúmulo de fórmulas na cabeça; eu costumo até dizer que o cara que sabe bem regra de três e, conseqüentemente, a relação entre o todo e a parte, já tem meio caminho andado para se dar bem nas provas de Química, Física, Matemática e até mesmo de Biologia. Além disso, é provável que esse ano sejam misturados postulados e teoremas de Geometria de Posição com Geometria Espacial. Nesse tópico, estude Pirâmides, Cones e Cilindros e seus respectivos troncos, e preste atenção nas partes da esfera, além dos conjuntos de sólidos que podem ser inseridos um no outro - por exemplo, um cubo dentro de uma esfera. Quanto à Geometria Analítica, é fatal: retas e circunferências têm roubado a cena. Posições relativas entre reta e reta, reta e circunferência e o conceito de coeficiente angular têm de estar bem amadurecidos. Preste atenção: o coeficiente angular representa a tangente do ângulo que a reta forma com o eixo "x". Procure interligar os assuntos, não os veja em compartimentos estanques, pois tudo acaba se encontrando. Além disso, sempre que possível em geometria analítica, faça um desenho para ajudar: não é a saída para todos os exercícios, mas na maioria dos casos ajuda bastante.
Determinante de uma Matriz
Se A é uma matriz quadrada A de ordem 2, dada por:
a11 a12
a21 a22
definimos o determinante desta matriz A, denotado por det(A), como:
det(A) = a11.a22 - a21.a12
Se A é uma matriz quadrada A de ordem 3, dada por:
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
definimos o determinante desta matriz A, como:
det(A) = a11.a22.a33 + a21.a32.a13 + a31.a12.a23
- a11.a32.a23 - a21.a12.a33 - a31.a22.a13
---------------------------------------------------------
Propriedades dos determinantes
Seja A uma matriz quadrada de ordem n maior ou igual a 2.
Se uma linha (ou coluna) da matriz A for nula, então:
det(A)=0
O determinante da transposta de A é igual ao determinante de A, isto é:
det(At)= det(A)
Se B é a matriz obtida pela multiplicação de uma linha (ou coluna) da matriz A por um escalar k, então:
det(B) = k det(A)
Se B é a matriz obtida pela troca de duas linhas (ou colunas) de A, então:
det(B) = - det(A)
Se A tem duas linhas (ou colunas) iguais, então:
det(A) = 0
Se uma linha ( ou coluna) de A for múltipla de uma outra linha (ou coluna) de A, então:
det(A) = 0
a11 a12
a21 a22
definimos o determinante desta matriz A, denotado por det(A), como:
det(A) = a11.a22 - a21.a12
Se A é uma matriz quadrada A de ordem 3, dada por:
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
definimos o determinante desta matriz A, como:
det(A) = a11.a22.a33 + a21.a32.a13 + a31.a12.a23
- a11.a32.a23 - a21.a12.a33 - a31.a22.a13
---------------------------------------------------------
Propriedades dos determinantes
Seja A uma matriz quadrada de ordem n maior ou igual a 2.
Se uma linha (ou coluna) da matriz A for nula, então:
det(A)=0
O determinante da transposta de A é igual ao determinante de A, isto é:
det(At)= det(A)
Se B é a matriz obtida pela multiplicação de uma linha (ou coluna) da matriz A por um escalar k, então:
det(B) = k det(A)
Se B é a matriz obtida pela troca de duas linhas (ou colunas) de A, então:
det(B) = - det(A)
Se A tem duas linhas (ou colunas) iguais, então:
det(A) = 0
Se uma linha ( ou coluna) de A for múltipla de uma outra linha (ou coluna) de A, então:
det(A) = 0
quinta-feira, 31 de dezembro de 2009
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